北京交通大學(xué)劉曉分布擬合檢驗(yàn)(已修改)
2025-01-06 12:49 本頁面
【正文】 檢驗(yàn)分布擬合的 2?1 提出的．分類數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問題中首先是在出來的．這個(gè)檢驗(yàn)方法年提于統(tǒng)計(jì)學(xué)家檢驗(yàn)是著名的英國分布擬合的1 90 0K. P ea rs on2χ2 檢驗(yàn)一、分類數(shù)據(jù)的 2?3 19 世紀(jì)，偉大的生物學(xué)家 M e nde l 按照顏色與形狀把豌豆分為四類： 黃而圓的，青而圓的，黃而有角的，青而有角的 ． M e nde l 根據(jù)遺傳學(xué)的理論指出， 這四類的豌豆個(gè)數(shù)之比應(yīng)當(dāng)為 9 ︰ 3 ︰ 3 ︰ 1 ． 他在556?n粒豌豆中，觀察到這四類豌豆的個(gè)數(shù)分別為： 315 ， 108 ，101 ， 32 ．在實(shí)際觀察中，由于有隨機(jī)性，觀察數(shù)一般不會恰好呈現(xiàn) 9 ︰ 3 ︰ 3 ︰ 1 的比例，因此就需要根據(jù)這些觀察數(shù)據(jù)，對 M e nde l的理論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)． 4 2?檢驗(yàn)正是為了這種需要而產(chǎn)生的．除此之外， M e nde l 的其它許多數(shù)據(jù)都曾用2?檢驗(yàn)法檢驗(yàn)過．可見 P e a r s on 的2?檢驗(yàn)對確立他的遺傳學(xué)說起了一定的作用．而 M e nde l的實(shí)踐向統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了一個(gè)很有意義的問題，也促進(jìn)了統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展． 5 上述這種分類數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問題的一般提法如下：根據(jù)某項(xiàng)指標(biāo)，總體被分成r類： rAAA , 21 ?． 對此，我們最關(guān)心的是其比例問題，即屬于各類的個(gè)體數(shù)在總體中所占的比例的大小．通常我們可從理論上、經(jīng)驗(yàn)上提出一個(gè)如下假設(shè)： 0H：類iA所占的比例為ip， ? ?ri ,2,1 ??． 由于分類是完全的，所以11???riip． 6 我們進(jìn)行觀察，從該總體中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體．假設(shè)其中屬于類iA的觀察個(gè)數(shù)為in，? ?ri ,2,1 ??．顯然，nnrii??? 1． 在0H成立時(shí)，n個(gè)個(gè)體中屬于iA類的 “ 期望個(gè)數(shù) ” 應(yīng)當(dāng)為ipn ?，? ?ri ,2,1 ??．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，ipn ?稱為理論頻數(shù)；in稱為實(shí)際頻數(shù)．在假設(shè)0H為真時(shí)，實(shí)際頻數(shù)in應(yīng)接近于理論頻數(shù)ipn ?． 7 P e ar son 提出用 ? ???????ri iiipnpnn122? 作為衡量實(shí)際頻數(shù)與理論頻數(shù)的偏差的綜合指標(biāo)．在假設(shè)0H為真時(shí)，2?的值傾向于較??；否則，就傾向于取較大的值．因此檢驗(yàn)的拒絕域應(yīng)當(dāng)為 ? ?? ?cxxxW n ?? 2211 :, ??． 8 P e ar s on 證明了下面的極限定理，根據(jù)這個(gè)2?定理，我們可以由給定的顯著性水平 ? ，近似地確定出臨界值 c ． 定理 在假設(shè)0H成立時(shí)，有 ? ?122 ?? rL??． 9 注： ⑴ 分類數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問題的顯著性水平近似等于?的檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)? ? ? ? ?? ?1:, 212211 ??? ? rxxxW n ????． ⑵ 在實(shí)際使用這個(gè)2?檢驗(yàn)法時(shí)，樣本量n必須充分地大，并且在每個(gè)類中的實(shí)際頻數(shù)都不應(yīng)小于5． 10 例 在 M e n d e l 的豌豆試驗(yàn)問題中，豌豆被分成了四類．按照 M e n d e l 的理論，這四類豌豆個(gè)數(shù)之比為 9 ︰ 3 ︰ 3 ︰ 1 ． 這相當(dāng)于說，任取一顆豌豆，它屬于這四類的概率分別為161,163,163,169．如果 M e n d e l 的理論是正確的，則在被觀察的556?n顆豌豆中，屬于這四類的“理論頻數(shù)”分別為 161556,163556,163556,169556 ????????． 取??，所以? ? ? ? 2 ???? ?? ? r，因此檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)? ? ?? ?:, 2211 ?? ?nxxxW ?． 11 而我們所觀察到的實(shí)際頻數(shù)分別為32,1 0 1,1 0 8,3 1 5，由此算得2?統(tǒng)計(jì)量的值為 ? ? ? ?? ? ? ?22222??????????． 由于? ? ? ? 2 ????? ?? ? r，所以不拒絕0H，可以認(rèn)為 M e n d e l 的理論是正確的． 12 為方便計(jì)算，可列出如下的表格： 表 1 M e nde l 豌豆試驗(yàn)的2?檢驗(yàn)計(jì)算表 i in ipn ? ? ?iiipnpnn???2 1 3 1 5 1 2 2 1 0 8 0 4 3 1 0 1 0 4 1 0 1 4 32 ? ?? 13 檢驗(yàn)χ的二、帶參數(shù)的分類數(shù)據(jù) 214 在上述所討論的分類數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問題中，當(dāng)原假設(shè)0H成立時(shí)，各類的比例（也就是所有的ip）都是完全已知的．但是在許多應(yīng)用問題中，它們有可能只是部分已知的，其中還包含著有限個(gè)未知的實(shí)參數(shù)．看下面的例子：
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