【正文】 ??由 Schwarz 不等式可得.4)1()(32022sinsin20sin0sin????????????dxxaadxxx故結(jié)論成立.例 試證明：.)(241cossin)(41 22022 badxbxab ?????????證 由 Schwarz 不等式得臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 14 .)(241)cossin(cossin21212022022 badxbxadxbxa?????????.因?yàn)椋?cosin)()cossin()cosin222222 ?????? xbaxbaxba（所以，xx2222 cssicssi?積分便得.dxbxab?????2022cossin)()(41?綜上，命題得證. 重積分證明積分不等式當(dāng)積分不等式中出現(xiàn)兩個(gè)積分，可以將兩個(gè)積分的積分變量換成不同符號，即化為二重積分，從而再求出結(jié)果.例 設(shè) 在 上連續(xù)，且 ，證明：)(xf??ba, 0)(?xf21)(abdfba???.證 記,dxyfffxxIDbaba???)()(1)(且臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 15 dxyfffdxxIDbaba???)()(1)(,兩式相加，得 2)()()(abdxyxyffID?????，其中 ，0)(?yfx即 .2)()1abdxfbaba??例 設(shè)函數(shù) 是 上單調(diào)遞減且恒大于 0 的連續(xù)函數(shù)，求證：??1,0dxfdxf???10202)()(.證 令 dyxfydyffdxf xfI?????102 10210102210)() )((())()同理 兩邊相加整理得：xfI10()(??dyxfyyfI?10 )()()2.由于 且在 上單調(diào)遞減，因此， ，)(?xf??, 0)(??f從而 ，故命題得證.?I 積分中值定理證明積分不等式引理 [11]（積分第一中值定理） 若 在 上連續(xù)，則至少存)(xf??ba,在一點(diǎn) ，使得??ba,??)(fdxfba????.臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 16 引理 [11]（推廣的積分第一中值定理） 若 與 都在 上)(xfg??ba,連續(xù)，且 在 上不變號，則至少存在一點(diǎn) ，使得)(xg??ba, ??ba,??.dgfdxgfbba???)()(引理 [11]（積分第二中值定理） 設(shè)函數(shù) 在 上可積.)(xf,（i）若函數(shù) 在 上遞減，且 ，則存在 ，使得)(xg??, 0)(???ba?dfagdxfba????)(；（ii）若函數(shù) 在 上遞增，且 ，則存在 ，使得)(,)(,??xfbfba?)()(.引理 [11]（推廣的積分第二中值定理） 設(shè)函數(shù) 在 ??ba,若 為單調(diào)函數(shù)，則存在 ，使得)(xg??b,??.dxfbgdxfagdxfba ???????)()()(例 設(shè) 在 上連續(xù)且單調(diào)遞增，求證：, xfxfbaba???)(2)(.證 1 （推廣的積分第一中值定理）因?yàn)?.0)(()(2)( ????????? dxfxdfdxf bababa又，??0)(8)( )2(2())(( 2 22???????? ??? ????fab dxbafdxbf ffxxfbx bbaaba其中 ， .????????2,a????????,2?故 .dxfbdxfaba??)()(證 2 （推廣的積分第二中值定理）因?yàn)?單調(diào)，由積分第二中值定理得)(xf臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 17 ??)()2()2(12()(2( afbabdxfdxafdxfbax bb ????????????? ??? ??? ,其中 .??ba,??而 , .0)2(2???）（ 0)(?afb又因?yàn)?單調(diào)遞增，故 .)xf 2(???dxfxa例 設(shè)函數(shù) 在 上有定義，而且單調(diào)不減，證明：對于任何)f??1,0有)1,0(?a.dxfaxfa???100)()(證 （推廣的積分第一中值定理）對任意 ，由 ，)1,0(affdfaa?????1010 )()()(得 .dxxxdxf? ??0函數(shù) 在 上有定義，且單調(diào)不減，即是說 在 連續(xù).)(??1, )(f??1,0從而,)()(11)1())( 100100 ??faafdxfxdfadxfaxf aa ???????其中 ，)1,0(),(???，再 在 上有定義，且單調(diào)不減，而 ，xf?? )1,0(),(??，于是 ，即 .)(f?dxfaxfa???100))(臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 18 結(jié) 論積分不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，論證積分不等式的方法很多，利用微積分的思想證明積分不等式, 可使積分不等式的證明過程大大簡化, 技巧性降低；同時(shí)能夠體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用．本文著重介紹用微積分知識證明積分不等式的幾種常用方法，常見的方法有 Lagrange 中值定理，Taylor 公式，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的凹凸性，定積分的性質(zhì)，Schwarz 不等式,重積分法，積分中值定理．這些方法能夠使積分不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解．臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 19 參 考 文 獻(xiàn)[1]Wilfred Kaplan. Advanced Calculus[M]. (Fifth Edition)China:Publishing House of Electronics Industry,2022.[2]James Stewart. Calculus[M]. (Fifth Edition) China:Higher Education Press,2022.[3]Marvin L. Bittinger. Calculus and Its Applications[J].China Machine Press,2022,19:135145.[