【正文】 到零點對應于啟裂點。 （ 14） （ 13） （ 15） 2 1 2 1 211ijc A A ijWWW dx dx dx dx dxxx???????? ? ?? ?? ??ij ijWd????ijijW ??? ??2 1 21ijijcAW d x d x d xx?? ???? ?? （ 2） J積分與裂紋尖端的應力應變場 在線彈性情況下，裂紋尖端區(qū)域應力應變的漸近表達式為： 式中， ， 分別應力分量和應變分量的角因子。故 r → 0，上式左邊有 1/ r的奇異性，因而右邊也必須有這種奇異性。 式（ 30）表示在線彈性狀態(tài)下， J積分與應力強度因子 KI以及裂紋擴展能量釋放率 GI之間的關(guān)系。 由式（ 26）的 HRR解，取 u1=ux， u2=uy ，令 θ=π有 : 由變形后的情況及 δt的定義 : 將式（ 35）代入式（ 36），并記 ； （ 35） （ 36） ? ?? ?110 120110 120,nnnxxnnnnyynEJu r u nE IEJu r u nE I????????????????? ?? ???? ? ??????? ????? ?xyr u u??? ? ? ?,xxu n u n? ?? ? ? ?,yyu n u n? ?? ? ? ?? ?110 120nnnxynEJr r u n u nE I?????????????? 求得 : 將上述 r代入式（ 35）的 uy中，其中 得 : 上式中 : 式（ 38）、（ 39）適用于平面應力與平面應變兩種情況，但其相應的 dn值不同。為便于分析，先研究帶圓弧切口的二維彈性體，顯然，當切口圓弧半徑趨于零時，彈性體就成為二維裂紋體了。由于裂紋長度不同， a和 a+da的兩物體產(chǎn)生相同的位移 Δ所需要的力也不同，分別為 P1和P2 。 對不同的位移（例如 Δ1， Δ2， …… ）和不同的裂紋長度 a，可得到不同的 U/B，于是可畫出在某 Δi下U/B與 a之間的關(guān)系曲線（圖 c），按由式（ 51） 。將式（ 52）代入式（ 51）得： 上式中的第一項代表線彈性 J積分值，由式（ 30）知： （ 53） （ 52） （ 55） （ 54） 0 ePU P d U U?? ? ? ??1 1 1e PePU UUJ J JB a B a B a? ??? ?? ?? ????? ? ? ? ? ? ??? ????? ? ??? ????2IeI KJGE?? ?12IPaKfWBW??? ????27 . 5 1 3 . 0 0 . 5 s e c 22a a a af t gW W W W????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 第二項代表塑性 J積分值。 測定 JIC時，臨界點的確定可通過電位法，電阻法，聲發(fā)射法，氧化發(fā)藍法等，與 COD中的方法相同。 （ 2）單試樣法測 JIC 單試樣法是采用單個深裂紋（ a/W≥），短跨距（ S/W =3~5）的三點彎曲試樣，由其 P~Δ曲線來測定值 JIC 。由式（ 51）可知，求 J的關(guān)鍵在于找出 U/B~a之間的關(guān)系。外力功 W=P Δ，應變能 ，即 P~ Δ曲線下的面積；位能 ， U*為 P~ Δ曲線與縱軸所圍成的面積，稱為余能。 其證明如下： 對彈性（線性或非線性）二維物體，其單位厚度的總位能 : aJ ?????? ?????12i i i ic D cU T u d s W d x d x T u d s? ? ? ? ?? ?? ?（ 41） 式中， U是單位厚度應變能， W是應變能密度，C是物體的邊界， D是物體的面積。 (c) 按 HRR奇異場解導出 J與 δ的關(guān)系 Rice建議用下圖所示兩條從裂紋頂端發(fā)射的 45176。因此， J積分理論可以用來分析線彈性平面裂紋問題。由于 J積分的守恒性只在簡單加載條件下才能成立，不允許有卸載，因此，不允許裂紋發(fā)生亞臨界擴展，斷裂準則為啟裂準則。 J積分是一個與積分回路無關(guān)的常數(shù)，即具有守恒性，即 J積分像線彈性問題中的 K因子一樣，反映了裂紋尖端的某種力學特性或應力應變場強度。壓斷試樣后，斷口如上圖所示。 ** 電位法： 在試樣兩端加一恒值穩(wěn)定電流 I，并在裂紋兩側(cè)焊上電位測頭。 Vp為位移的塑性分量。但由于 COD試驗又具有本身的一些特點。 （ b）裂紋長度修正 壓力容器上的表面裂紋或深埋裂紋應換算為等效穿透裂紋。實際應用時，為偏于安全，曾提出如下經(jīng)驗設計曲線作為裂紋容限和合理選材的計算依據(jù)。該結(jié)果與 Irwin有效裂紋模型所得的結(jié)果式（ 3）比較，可見它們的形式相同，只是系數(shù)稍有差別。 （ 2）帶狀塑性區(qū)的大小 R 假想地把塑性區(qū)挖去，在彈性區(qū)與塑性區(qū)界面上加上均勻拉應力 σs ，于是得到如圖 2b所示的裂紋長度為 2c，在遠場應力 σ和界面應力 σs作用下的線彈性問題。 3） Irwin小范圍屈服條件下的 COD 在討論小范圍屈服的塑性區(qū)修正時，曾引入有效裂紋長度 的概念，這意味著為考慮塑性區(qū)的影響假想地把原裂紋 O移至 O’， 。 COD是英文（ Crack Opening Displaement）的縮寫，其意是“裂紋張開位移”。第三章 彈塑性斷裂力學 第一節(jié) 彈塑性斷裂力學概述 第二節(jié) COD理論 第三節(jié) J積分理論 第一節(jié) 彈塑性斷裂力學概述 1）線彈性斷裂力學的適用范圍 （ 1）脆性材料，如玻璃、陶瓷、巖石，及高強度鋼等材料。 第二節(jié) COD理論 1） COD定義 1961年 Wells提出 COD理論。（ 3） COD準則的工程應用。 于是，可以認為模型在遠場均勻拉應力 σ作用下裂紋長度從 2a延長到 2c，塑性區(qū)尺寸 R=ca，當以帶狀塑性區(qū)尖端點 c為“裂尖”點時，原裂紋（ 2a）的端點的張開量就是裂紋尖端張開位移。由式（ 9），將函數(shù)展開為冪級數(shù)得： （ 9） 8 l n se c2ssaE? ???????? ????248 112 2 1 2 2sssaE? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 當 σ/σs ＜ ＜ ，即小范圍屈服時，可只取首項，故有 因為 ，所以有： 式（ 11）表示在小范圍屈服條件下裂尖張開位移 δ與 KI、 GI之間的關(guān)系。 由圖可以看出，實驗數(shù)據(jù)構(gòu)成一個較寬的分散帶。 M系數(shù)與裂紋長度 2a、容器半徑 R和壁厚 t有關(guān)： （ 16） 其中 β為 （圓筒軸向裂紋）； （圓筒徑向裂紋）；（球形容器裂紋）。譬如利用同樣的夾式引伸儀和載荷傳感器來獲得載荷 位移曲線。 對彈塑性情況， δ可由彈性的 δe和塑性的 δp兩部分組成，即： ? ?? ?r W aV z a r W a? ??? ? ?? ?? ?r W a Vz a r W a???? ? ? 式中， δe為對應于載荷 P的裂紋尖端彈性張開位移，其計算公式參見式（ 20）為： δp是韌帶塑性變形所產(chǎn)生的裂紋尖端性張開位移，由式（ 29）有： 將式（ 22）、（ 24）代入式（ 21）得平面應變狀態(tài)下 δ的計算公式： （ 21） eP? ? ???（平面應力） （ 22） （平面應變） （ 23） （ 24） 2IessKGE? ????? ? 222 2IIessKKEE????????? ?? ?PPr W a Vz a r W a???? ? ? 式中，轉(zhuǎn)動因子 r在韌帶屈服后，一般取為 ，也可由實驗標定。 由于臨界點應該是啟裂點，需要借助電位法、電阻法、聲發(fā)射法或氧化發(fā)藍等方法來確定啟裂點，然后，由啟裂點所對應的載荷 Pi及 Vi和位移的塑性分量Vp來計算 δc值。當加載到 P~△曲線上某點處卸載取下試樣，在空氣介質(zhì)中加熱氧化到呈藍色，然后冷卻。 （ 1） J積分的回路積分定義及其守恒性 (a) J積分的回路積分定義 對二維問題， Rice提出 J積分的回路積分由下述表達式來定義： 式中， Γ為圍繞裂紋尖端任一反時針回路，起始端位于裂紋下表面，末端終于裂紋上表面； W為回路上任一點（ x， y）的應變能密度