【正文】 12jiijAjiuudx dxx x xuudx dxx x x?????????????? ???? ? ????? ??? ????? ????? ??????? ? ?????????1212jiijjiuu d x d xxx?????????????1211ijii ijcAuT d s d x d xxx?? ?? ???? ?? **式（ 3）左端的第一項積分，同樣應(yīng)用 Green積分變換則可得： 式中，應(yīng)變能密度 ，在全量理論單調(diào)加載下： 于是式（ 13）變?yōu)椋? 式（ 12）與式（ 15）相等，即證明了在滿足不計體力式（ 9），小應(yīng)變式（ 11）以及單調(diào)加載式（ 14）條件時， J積分的路徑無關(guān)性得到了嚴格的證明，即 J積分的回路積分具有守恒性。應(yīng)力應(yīng)變的漸近表達式為： （ 16） ? ? ? ?? ? ? ?,2,2Iij ijIij ijKrrKrr? ? ? ??? ? ? ???? ???????? ?ij?? ? ?ij??1/ r 式中， A為材料有關(guān)的常數(shù)， N是材料的冪硬指數(shù)，In是 N的函數(shù)（ ），當 0N1時，其誤差小于 2%， 與 為角因子，是 θ和 N的無量綱函數(shù)。 （ 17） ? ? ? ?? ? ? ?1111,NNNNij ijnNNNNij ijnJr A r NAIJr A r NAI? ? ? ?? ? ? ?? ??? ????? ?? ???? ? ??????? ????? ?1 0 . 3 0 . 1 3 4 . 8nI N N? ? ?? ?,ij r?? ? ?,ij r??（ 18） ICJJ? ** HRR奇異性 取裂紋尖端為圓心，半徑為 r的圓周作為積分回路 Γ，則 ， ， ，代入式（ 1）得： 由于 J積分的守恒性（ J=常量），上式在不同的 r值下均能成立。 當材料服從用下表示的純冪乘應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系時 ： （ 24） （ 25） （ 22） （ 23） 1pq??? ?NpA???? ?p Nq?111NpqNN????1NNr? ?11Nr? ?00()n?????? 式中， 和 分別表示材料的屈服應(yīng)變和屈服應(yīng)力， n為材料的冪硬指數(shù)（ n=1/N）， α為材料的冪硬系數(shù)。 由 J積分的回路分定義式（ 1），線彈性平面應(yīng)變條件下，應(yīng)變能密度： 將 I型裂紋尖端區(qū)域的應(yīng)力分量代入并化簡后得： （ 27） 1/ r? ? ? ?? ?2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 211 1 2 222 i j i jW E ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ?2 221 c os 1 2 si n2 2 2IKWrE? ?? ??? ????? ? ????????? * 若取裂紋尖端為中心， r為半徑的圓周作為積分回路 Γ，并考慮式（ 27），則可求出式（ 1）的第一項積分為： ** 由（ 5）式 及 I型裂紋的位移表達式： ? ? ? ?221 1 2c o s4IKW d x W r dE?????????????? （ 28） 1 1 1 2 131c o s s i n c o s c o s2 2 22 IKTr?? ? ? ? ????? ? ? ?????2 1 2 2 23c o s s i n c o s s i n222IKTr?? ? ? ? ????? ? ? ????21 c o s 1 2 sin2 2 2IK ruG?? ????? ? ?????22 s in 2 2 c o s2 2 2IK ruG??????? ? ????? 代入到式（ 1）的第二項積分，并應(yīng)用坐標變換的微分關(guān)系： ，經(jīng)化簡后得： 將式（ 28）及式（ 29）代入式（ 1）可得： 平面應(yīng)力狀態(tài)下 E’=E。 （ 32） （ 31） 244IIssKGE? ? ? ? ???2IIKJGE??4sJ????或 4 sJ? ??? 若取帶狀塑性區(qū)邊界 ABD作為積分回路 Γ，由于路徑 AB和 BD均平行于 x1軸，故 dx2=0，而 ds=dx1。線定義與裂紋表面交點處的張開位移定義為 δt。 Rice經(jīng)過繁瑣的分析指出，對于非線性彈性體二維試樣，式（ 40）仍然成立。 下圖的兩個二維彈性體，它們的差別只是裂紋長度相差 Δa。 , 為物體 b中任一點的應(yīng)變能密度， 為物體 b中相應(yīng)于物體 a中同一點處應(yīng)變分量的增量，于是 : AQB??? ? 12a i jDDU W d x d x???? ?? ? ?ijW?? ? 12b i j i jDU W d x d x????? ? ????? ? ?ij ijW ????ij?? 因為 ΔD = Δx2*Δa ，又 Δa很小，可以認為 ΔD在中 W沿 x1方向無變化，從而從（ 42）右端的第二項可表示為 : 為證明 (40)式 ,取 將 (43)式代入 (42),再代入 (44)中得 : ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 1 2i j i j i jD D Di j i j i j i jDDU W d x d x W d x d xW W d x d x W d x d x? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ?????? ? ? ? ????? ???? ??（ 42） （ 43） （ 44） ? ? ? ?? ?21 2 202txij ijDijW d x d x a W d xa W d x???????????? ??0li maUUaa?????（ 45） 1 2 2tDUW d x d x W d xaa ??????? ?? 上式右端的第二項積分，因為在 Γt上， Ti =0，故可改寫為 : 式（ 45）右端的第一項積分，因為彈性體有 ，由式（ 12），并且 da沿 dx1方向，故有 : 將式（ 47）、（ 46）代入式（ 45）得 : （ 46） （ 47） 221ttiiuW dx W dx T ds Jx???? ?? ? ? ? ? ????????ij ijW? ????1 2 1 2ij ii j iD D CuW d x d x d x d x T d sa a a?? ? ?? ??? ? ??? ?? ?iiCuU J T d saa?? ? ? ????? ?iiCiiCuUJ T d saaU T u d saa??? ? ???? ? ?? ? ? ? ?????→ (a) 恒載荷情況 兩個裂紋長相差 da的物體下端作用有恒力 P。因此，裂紋長度 a和a+da的兩條 P~ Δ曲線所圍成的面積 OABO就應(yīng)該反映它們的位能差率，于是有： （ 48） 0U Pd????U P U ?? ? ? ? ? ?00PPPPPUJ dadP dPa a a a a???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? (b) 恒位移情況 裂紋體在外力作用下產(chǎn)生位移 Δ后，固定兩端形成恒位移條件。從而有： 當物體的厚度 B≠1時，有： 恒載荷下： 恒位移下： 實驗中，式（ 51）常被用來計算 J積分。 方法如下：取一組（ 4~6個）具有不同裂紋長度（例如 a1， a2， …… ）的三點彎曲相同試樣，用相同條件加載（圖 a），用 X~Y函數(shù)記錄畫出 P~Δ曲線（圖 b），則曲線下的面積給出相應(yīng)于某一給定位移Δ的形變功值 U。 需要指出的是，由于圖微分的精度很差，也可將U/B~a曲線借助計算機最優(yōu)逼近，然后代入式（ 51）求導(dǎo)數(shù)而得到給定裂紋長度 a下的 J~a函數(shù)關(guān)系式。 對于給定的位移 Δ ，形變功為： 式中 Ue， Up分別表示彈性形變功和塑性形變功。因此，為保證小應(yīng)變條件，且使測出的值能換算成有效的，對三點彎曲試樣的尺寸有下述要求： （ 1）為獲得平面應(yīng)變條件下的，要求： 一般認為應(yīng)大于 ，可取 β=2~。 （ 58） （ 59） BWa ???2( ~ )I C I CssJKWa ????? ? ? ????? ??? ? ?