【正文】 的一個主要特性。在傳播過程中波剖面將變得愈來愈平坦。 波陣面上的守恒條件現(xiàn)在我們來考察一平面波波陣面作為一奇異面在連續(xù)介質(zhì)中傳播時，在波陣面上各運(yùn)動參量所應(yīng)滿足的限制條件，也即在波陣面前后各量間所應(yīng)滿足的相容條件。由連續(xù)條件要求，波陣面兩側(cè)的位移必須相等，即必有[u]＝0。但波速的具體確定則與材料性能有關(guān)。在應(yīng)力與應(yīng)變之間滿足線性關(guān)系的特殊情況下，沖擊波速與連續(xù)波波速一致。因此，在沖擊波被陣面上的突躍過程雖然是絕熱的，卻不是等熵的，而是一個因沖擊波的形成而有額外的熵增的過程，常稱作沖擊絕熱過程。應(yīng)該指出，應(yīng)變率無關(guān)應(yīng)力波理論中關(guān)于材料具有唯一的動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的基本假定，在目前討論沖擊波的情況下，還常常包含著忽略上述這兩者間的差別。 橫向慣性引起的彌散效應(yīng)以上所討論的桿中一維應(yīng)力縱波理論都是以桿的平截面在變形后仍保持為平截面，并在平截面上只作用著均布的軸向應(yīng)力s x這一基本假定為前提的。嚴(yán)格說來，這是一個三維問題，至少也是一個軸對稱（例如圓柱桿）的二維問題。在有關(guān)桿中應(yīng)力波的實(shí)驗(yàn)中，例如第三章中將談到的Hopkinson壓桿試驗(yàn)中，實(shí)測到的波形常常或多或少地呈現(xiàn)這種幾何彌散現(xiàn)象，包括如圖213所示的局部的波形振蕩（圖213）。（a），不同半徑r=0、R處的應(yīng)力波形（b）距離桿端2D的橫截面上，不同半徑r=0、R處的應(yīng)力波形圖 214 直徑37mm鋼桿在不同橫截面上軸向應(yīng)力隨半徑的分布（2） 波形振蕩從式（268c）知，諧波的相速度依賴于彈性桿直徑與波長之比。050100150200250020040060080010006543211 X=0 cm2 X=10cm3 X=20cm4 X=30cm5 X=40cm6 X=50cms/ MPat / ms（a）直徑5mm桿中應(yīng)力脈沖波形 050100150200250020040060080010006543211X= 0 cm2 X=10cm3 X=20cm4 X=30cm5 X=40cm6 X=50cms / MPat / ms （b）050100150200250200020040060080010006543211 X=0 cm2 X=10cm3 X=20cm4 X=30cm5 X=40cm6 X=50cms / MPat / ms（c）直徑37mm桿中應(yīng)力脈沖波形050100150200250300200020040060080010006543211 X=0 cm2 X=10cm3 X=20cm5 X=40cm6 X=50cms / MPat / ms（d）直徑74mm桿中應(yīng)力脈沖波形圖 215 不同直徑的鋼桿離桿端不同距離處的應(yīng)力波形之比較（3） 應(yīng)力脈沖前沿升時的增大由圖215還可以看到，由于橫向慣性效應(yīng)，應(yīng)力脈沖的波陣面前沿實(shí)際上隨傳播距離的增加而逐漸由陡變緩，即應(yīng)力脈沖前沿的升時ts（指應(yīng)力脈沖的起始點(diǎn)到應(yīng)力最大值所經(jīng)歷的時間）隨傳播距離而逐漸增大；并且桿徑越大，其升時變化越顯著。這與桿徑越大，其他橫向慣性效應(yīng)越顯著是一致的。圖218給出桿徑分別為37 mm，74 mm和100 mm三種情況下，應(yīng)力峰值衰減如何隨傳播距離X而變化的對比。由此可以理解，對于167?？梢娸S向應(yīng)力沿半徑由中心向外表面逐漸減小，桿中心處應(yīng)力最大（接近一維應(yīng)變狀態(tài)）、外表面R處最?。ń咏痪S應(yīng)力狀態(tài)）。對于線彈性波來說，既然任意波形的波總可藉頻譜分析方法看作由不同頻率的諧波分量迭加組成，而不同頻率的諧波分量現(xiàn)在將各按自己的相速傳播，因此波形不能再保持原形而必定在傳播過程中散開來了，即發(fā)生所謂波的彌散現(xiàn)象。這意味著相應(yīng)地存在著非均勻分布的橫向應(yīng)力，從而將導(dǎo)致平截面的歪曲。研究應(yīng)力波的傳播，可以從建立問題的控制方程著手，如我們在21節(jié)～25節(jié)中所作那樣；也可以從分析和建立波陣面上應(yīng)滿足的守恒條件著手，如在這一節(jié)中所作的那樣。注意，它們只是對于一定的初態(tài)點(diǎn)、通過沖擊突躍過程所可能達(dá)到的平衡終態(tài)點(diǎn)的軌跡，而并不描述材料在沖擊突躍過程中所經(jīng)歷的狀態(tài)點(diǎn)。這部分能量△Q為對應(yīng)于因形成沖擊波而多耗散的熱能。只要此弦線的斜率小于彈性模量，則塑性沖擊波速D總小于彈性波速C0（雙波結(jié)構(gòu)）。 （258）式（257）和（258）分別是連續(xù)介質(zhì)中沖擊波和加速度波的波陣面上動力學(xué)相容條件，是動量守恒條件的體現(xiàn)。對于左行波只需以－D代替D即可。事實(shí)上，（a）和（b）中所討論的那種強(qiáng)間斷波完全是由邊界條件出現(xiàn)強(qiáng)間斷所引入的，在熱力學(xué)上并不引起額外的熵增；而現(xiàn)在所說的這種強(qiáng)間斷波則是由應(yīng)力波傳播的會聚性質(zhì)所形成的，不論其邊界條件如何。如果邊界條件是突加恒值載荷，這相當(dāng)于在圖25中設(shè)v0（t）當(dāng)t ≥t 6時，為恒值而再令t6→0，則原來彈性波區(qū)的平行特征線將重疊于OA上形成強(qiáng)間斷彈性波；塑性波區(qū)的發(fā)散的特征線將共交于O點(diǎn)（奇異點(diǎn)），形成所謂中心波。再今t 6→0，則原來經(jīng)過t軸上0～t 6間各點(diǎn)的正向特征線將全部重疊在OA上，OA兩側(cè)都是恒值區(qū)，在OA線上發(fā)生v、e 和s 的突躍，即特征線OA是強(qiáng)間斷波陣面的傳播軌跡，波速仍為C0。依次類推，還可以有更高階的奇異面。由此還可確定與材料強(qiáng)度極限s b相對應(yīng)的臨界沖擊速度vc （240）當(dāng)桿的撞擊端的質(zhì)點(diǎn)速度達(dá)到這一臨界值時，就將在撞擊端破壞。在（X，t）平面上，彈性區(qū)中的特征線是斜率相同的平行直線，而塑性簡單波區(qū)中的正向特征線則是發(fā)散的直線族。這意味著在加載過程中高幅值擾動的傳播速度大于其前方的低幅值擾動的傳播速度。對于在式（231）所給出的初邊值條件下解半無限長桿中彈塑性波傳播的問題，仍可重復(fù)前述有關(guān)彈性波討論中的步驟，歸結(jié)為在AOX區(qū)解一Cauchy問題和在AO t區(qū)解一Picard問題（圖25）。用一系列不同時刻的波形曲線，或一系列不同截面上的時程曲線，可以形象地刻畫出應(yīng)力波的傳播。幾種常見材料的桿中彈性縱波波速C0和波阻抗ρ0C0的近似數(shù)值如表21所示（Kolsky, H., 1953）。由于沿左行特征線傳播過來的初始擾動為零，因而邊界擾動沿右行特征線傳播過程中擾動狀態(tài)保持不變（式234）。這類問題稱為混合問題或Picard問題。在上述討論中，OX這樣的初值曲線是一條非特征線，并且經(jīng)曲線上任一點(diǎn)所作的兩條特征線都隨時間的增加而進(jìn)入所討論區(qū)域，所有具有這種性質(zhì)的曲線（不必和X軸平行）通常稱為類空曲線。設(shè)半無限長桿原來處于靜止的自然狀態(tài)，t＝0時刻在桿端X＝0處受到一給定條件的撞擊，例如桿端質(zhì)點(diǎn)速度隨時間的變化v0（t）是已知的。這就相當(dāng)于有限長桿在尚未考慮來自另一端的反射波時的情況。注意到式（212）和（216）組成的一階偏微分方程組與式（218）等價，它們與式（219）、（220）共同組成的如下的方程組此方程組可看成解四個偏導(dǎo)數(shù)、的代數(shù)方程組。把式（223）代回式（222），得，于是（218）式也即（22I）式化為只包含沿特征線方向微分的常微分方程： （224）由于此式規(guī)定了在特征線上v和e 必須滿足的相互制約關(guān)系，所以稱作特征線上相容關(guān)系。主要有兩種：一種稱為方向?qū)?shù)法，即如果能把二階偏微分方程（或等價的一階偏微分方程組的線性組合）化為只包含沿自變量平面（X，t）上某曲線C的方向?qū)?shù)的形式時，此曲線C即稱為特征線。首先注意，由于作了“應(yīng)力只是應(yīng)變的單值函數(shù)”的假定，則C 2（＝）也只是應(yīng)變的函數(shù)，因而式（218）對于u的二階偏導(dǎo)數(shù)而言是線性的，屬于兩個自變量的二階擬線性偏微分方程。28）。桿中縱向應(yīng)力波的傳播問題就是從這些基本方程，按給定的初始條件和邊界條件來求解三個未知函數(shù)，和。在下面的討論中，位移u、應(yīng)變、質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力s 等均直接表示X方向的分量，除特殊情況外不再加下標(biāo)X來標(biāo)明。在定義了波速之后，還可以討論一下在應(yīng)力波研究中常用的第三種時間微商，即跟隨著波陣面來觀察的任一物理量y 對時間t的總變化率，稱為隨波微商。另一種是在固定空間點(diǎn)上來觀察物質(zhì)的運(yùn)動，所研究的是在給定的空間點(diǎn)上以不同時刻到達(dá)該點(diǎn)的不同質(zhì)點(diǎn)的各物理量隨時間的變化，以及這些量由一空間點(diǎn)轉(zhuǎn)到其他空間點(diǎn)時的變化，也就是把物理量y 看作空間點(diǎn)x和時間t的函數(shù)；y = f（x ,t）。一般，在給定時刻下一個質(zhì)點(diǎn)只能占有一個空間位置，一個空間位置上也只能有一個質(zhì)點(diǎn)。第二章 一維桿中應(yīng)力波的初等理論 物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，可以采用兩種不同的觀點(diǎn)和方法來研究介質(zhì)的運(yùn)動，即：物質(zhì)坐標(biāo)法（Lagrange法）和空間坐標(biāo)法（Euler法）。本書從第二章開始將首先討論一維桿中應(yīng)力波的初等理論。因此應(yīng)力波的研究和材料動態(tài)力學(xué)性能的研究之間有著特別密切的關(guān)系。大量實(shí)驗(yàn)表明，在不同應(yīng)變率下，材料的力學(xué)性能行為往往是不同的。必須注意區(qū)分波速和質(zhì)點(diǎn)速度。在這樣的動載荷條件，介質(zhì)的微元體處于隨時間迅速變化著的動態(tài)過程中，這是一個動力學(xué)問題。碎甲彈對坦克裝甲的破壞正類似于此。固體力學(xué)的動力學(xué)理論的發(fā)展正是與解決這類力學(xué)問題的需要分不開的。由于這部分介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)與相鄰介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)之間發(fā)生了相對運(yùn)動（變形），當(dāng)然將受到相鄰介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)所給予的作用力（應(yīng)力），但同時也給相鄰介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)以反作用力，因而使它們也離開了初始平衡位置而運(yùn)動起來。根據(jù)披陣面幾何形狀的不同，則有平面波，柱面波，球面波等之分。因此，除了上述的介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的慣性作用外，物體在爆炸/沖擊載荷下力學(xué)響應(yīng)之所以不同于靜載荷下的另一個重要原因，是材料本身在高應(yīng)變率下的動態(tài)力學(xué)性能與靜態(tài)力學(xué)性能的不同，即由于材料本構(gòu)關(guān)系對應(yīng)變率的相關(guān)性。在此基礎(chǔ)上建立的應(yīng)力波理論稱為應(yīng)變率無關(guān)理論。書中采用Lagrange描述法。不同的質(zhì)點(diǎn)在一定時刻占有不同的空間位置。這時，公式（21）和（22）給出了質(zhì)點(diǎn)在參考時刻t0時的位置和在t時刻時的位置兩者間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。如果把式中F（X , t） 看作（x，t）的復(fù)合函數(shù)F [X(x，t)]f [x(X, t), t]，利用復(fù)合函數(shù)求微商的連鎖法則，可得這里的是質(zhì)點(diǎn)X的空間位置x對時間t的物質(zhì)微商，正是質(zhì)點(diǎn)的速度v： （25）因之不言之明地略去下標(biāo)時可得 （26）當(dāng)y 為質(zhì)點(diǎn)速度v時，它的物質(zhì)微商正是質(zhì)點(diǎn)的加速度a （27）而由式（26）可知： （28）右邊第一項(xiàng)是質(zhì)點(diǎn)速度在空間位置x處對時間t的變化率，稱為局部加速度，在定常場中此項(xiàng)為零；第二項(xiàng)是質(zhì)點(diǎn)速度由于空間位置改變而引起的時間變化率稱為遷移加速度，在均勻場中此項(xiàng)為零。 物質(zhì)坐標(biāo)描述的桿中縱波的控制方程dXX+dXXRP(X)SP(X+dX)X圖 21 物質(zhì)