【正文】 性函數(shù)時，則C 2將是常數(shù)，于是式（218）屬于線性偏微分方程。特別在一維波的傳播問題上獲得了廣泛的應(yīng)用。另一種稱為不定線法，即如果對自變量平面（ X，t ）上某曲線C，由沿此曲線上給定的初值連同偏微分方程一起不足以確定全部偏導(dǎo)數(shù)的話，則此曲線C稱為特征線。設(shè)在自變量平面（X，t）上有某曲線C（X，t），u的一階偏導(dǎo)數(shù)也即v和e 沿此曲線方向的微分則為： （219） （220）式中d X和d t是曲線C（X，t）上的微段d S分別在X，t兩軸上的分量，也即d X / d t是曲線C 在（X，t）點的斜率。這樣，解擬線性偏微分方程（218）的問題就完全等價地化成了解特征線方程 （223）和相應(yīng)的相容關(guān)系（224）的常微分方程問題。如圖22所示，（X，t）平面上的G域與（v，e ）平面上的域之間，C線與 線之間，以及不同族特征線的交點Q與之間均有對應(yīng)性。寫成矩陣的形式，有＝ （225）如果曲線C是特征線，上述解不定，則應(yīng)有式中， ， 把行列式展開，即可重新得出特征線微分方程（223）和特征線上相容條件（224）。至于式（224）或（226）則確定了擾動傳播過程中在波陣面上質(zhì)點速度v和應(yīng)變e 或應(yīng)力 s 之間的相容關(guān)系，r0C稱為波阻抗。此外，我們只考慮單調(diào)加載而無卸載的情況。這時，應(yīng)力和應(yīng)變之間遵循Hooke定律，本構(gòu)關(guān)系（214）簡化為 （227）式中E為Young模量。于是，問題歸結(jié)為在初始條件 （231a）及邊界條件圖 23 Xt平面上經(jīng)任一點有正向和負向兩特征線 （231b）下，求解式（228），或按特征線法在上述初邊條件下求解式（230）。沿OX軸的v和e 按初始條件是已知的，而經(jīng)AOX區(qū)中任一點P的正向特征線QP和負向特征線RP都與OX軸相交，于是沿這兩條特征線的Riemann不變量R1和R2（式230）可由初始條件確定沿QP ，沿RP 因而QP和RP之交點P處的v（P）和e（P）即可由上兩式解得 （232）在目前零初始條件（式231）的情況下，由于有v（Q）＝e（Q）＝v（R）＝e（R）＝0，因此v（P）＝e（P）＝0。由上述討論知，在類空曲線的任意線段QR上給定v和e ，則可在由QR和特征線QP、RP為界的曲線三角形區(qū)域QRP中求得單值解，這類初邊值問題，常稱為初值問題或Cauchy問題。C0稱為桿中彈性縱波波速，完全由材料常數(shù)ρ0和E所決定（式229）。這樣，半無限長桿在桿端受軸向沖擊載荷的問題就歸結(jié)為解AOX區(qū)中的Cauchy問題和解AOt區(qū)中的Picard問題。在邊界上最早擾動沿特征線OA以波速C0傳播尚未到達之前，即直到t＝X／C0之前，截面X將一直保持靜止的自然狀態(tài)。這樣的波稱為簡單波。則式（233）應(yīng)改寫為 （235）式中負號對應(yīng)于右行波而正號對應(yīng)于左行波。表21幾種常見材料的桿中彈性縱波波速C0和波阻抗ρ0C0鋼銅鋁玻璃橡膠ρ0 （103 kg/m3=g/cm3）E（GPa=1010 dyne/cm2）C0（km/s）ρ0C0（MPa/m/s=106 kg/m2/s）210120327707020103428103注意,在（v，e）平面上（圖23）,恒值區(qū)AOX只對應(yīng)于一個點O；簡單波區(qū)AO t則對應(yīng)于一段線Oa，或者說，（X，t）平面上簡單波區(qū)的每一條非零擾動的特征線對應(yīng)于（v，e）平面上的一個點。在（X，t）平面上作t＝t1水平線（圖24），與簡單波各特征線交于1，2，3，4，5，6諸點。對于線彈性波，由于波速為恒定，應(yīng)力波在傳播過程中波形是不變的。在特征線法解彈塑性波問題時，由于是應(yīng)變e 的函數(shù)，則特征線（式233）和特征線上相容關(guān)系（式224）在（X，t）平面和（v，e）平面上一般都不再是直線族。其中恒值區(qū)AOX以及簡單波區(qū)AO t中的彈性波部分與前述彈性波解（圖24）完全相同；而與邊界條件中部分對應(yīng)的塑性波部分，由于所有負向特征線都終將與X軸相交，在零初始擾動的初值條件（式231）下，式（238）中的Riemann不變量R2恒為零，因此在塑性簡單波區(qū)處處有 （239）于是沿正向特征線的Riemann不變量Rl可由邊界條件（231b）確定即沿正向特征線質(zhì)點速度v、應(yīng)變e 和應(yīng)力s 均不變，從而C〔e〕也不變，但對不同的正向特征線有不同的C值。圖 25 塑性簡單波的特征線圖，和對應(yīng)的v～e 圖和v～j 圖a．對于切線模量隨應(yīng)變增大而減小的材料（遞減硬化材料），即當s ～e 曲線向上凸時（d2s /de 2＜0），塑性波速隨應(yīng)變增大而減小。這樣，塑性波在傳播過程中其波剖面變得愈來愈陡（會聚波），最終在波陣面上發(fā)生質(zhì)點速度和應(yīng)力應(yīng)變的突躍，形成所謂沖擊波。這時塑性波傳播速度為恒值。圖中時程曲線的彈性部分（點3’以前）和波形曲線的彈性部分（點3以前）其形狀是不變的，而兩者的塑性波部分則是發(fā)散的，在傳播過程中將變得愈來愈平坦，波形拉得愈來愈長。但當引入j 后，在（v，j）平面上與塑性簡單波區(qū)相對應(yīng)的又成為一段直線了。 強間斷和弱間斷，沖擊波和連續(xù)波在波陣面上，根據(jù)介質(zhì)連續(xù)性要求，質(zhì)點位移u必定連續(xù)，但其導(dǎo)數(shù)則可能間斷。這類應(yīng)力波常稱為沖擊波。二階及更高階的奇異面均為弱間斷。如果將圖中的v0（t）當t ≥t 6時，保持為恒值，而且令t 6→0，其極限情況即對應(yīng)于突加恒速撞擊，這時邊界條件中就包含強間斷。這表明對于線性波，其初始間斷是什么性質(zhì)的將繼續(xù)作為這么性質(zhì)的間斷傳播。如果邊界條件是突加載荷（強間斷），則形成兩個強間斷波（雙波結(jié)構(gòu)），在斜率為C0的特征線上先發(fā)生一次彈性突躍，再在斜率為Cl的特征線上發(fā)生一次塑性突躍。這時，強間斷邊界條件中的彈性部分保持以強間斷波傳播，而其塑性部分則從傳播一開始就轉(zhuǎn)變?yōu)槿蹰g斷，以發(fā)散的連續(xù)波的形式傳播。圖 29 在遞增硬化塑性的情況下形成沖擊波。在以后的討論中（27節(jié)）將會看到，這是一種在熱力學上引起額外突躍熵增的沖擊波。對y 和y +分別應(yīng)用式（250），然后相減，得到 （252）如果y 本身連續(xù)，其一階導(dǎo)數(shù)在波陣面上間斷（一階奇異面），則有 （253）這是著名的Maxwell定理。 現(xiàn)把y 具體化為質(zhì)點位移u（X，t）。對于強間斷波陣面，設(shè)t時刻位于AB位置（圖211），經(jīng)過dt時間后到A’B’位置，傳播的距離dX＝Ddt。對于沖擊波波陣面，由其運動學相容條件（255）和動力學相容條件（257）消去[v]，可得由此可得沖擊波波速D與波陣面上應(yīng)力突躍[s]相應(yīng)變實躍[e ]間的關(guān)系： （259）對于加速度波波陣面，由其運動學相容條件（256）和動力學相容條件（258）消去，就得到：由此可得加速度波波速與波陣面上應(yīng)力梯度突躍和應(yīng)變梯度突躍間的關(guān)系： （260）注意，波陣面上運動學相容條件和動力學相容條件的導(dǎo)出與材料物性無關(guān)，對任何連續(xù)介質(zhì)中的平面波一概成立。這時，式（259） 則意味著沖擊波波速由s ～e 曲線上聯(lián)結(jié)沖擊波初態(tài)點和終態(tài)點的弦線的斜率（割線斜率）所確定。反之，一旦D≥C0，將形成單一的彈塑性沖擊波。如果引入單位體積的內(nèi)能E ＝r 0 e并把式（255）和（257）代入上式，注意到則經(jīng)演算后可得能量守恒條件的另一形式 （262）對于圖212所示的線彈性—遞增硬化塑性材料，在突加載荷下具有雙被結(jié)構(gòu)：強間斷彈性前驅(qū)波和后隨的塑性沖擊波。這是由于沖擊波被陣面上的很大的速度梯度，使得本來在應(yīng)變率無關(guān)理論中己近似忽略了的固體內(nèi)粘滯性質(zhì)又變得顯著起來，產(chǎn)生了相應(yīng)的不可逆的能量耗散。由于耗散的能量總是正的，必有△Q≥0對于線性硬化材料（），△Q＝0，內(nèi)能的增加就等于變形功，因而在這一類材料中形成沖擊波時不會引起額外的熵增。例如沖擊絕熱s ～e 曲線并非材料在準靜態(tài)絕熱條件下的本構(gòu)s ～e 曲線。如果令沖擊波波陣面上的突躍值由有限值趨于無限小，則三個守恒條件（255）、（257）和（262）化為弱間斷波陣面相應(yīng)的守恒條件： （263）前兩式中負號對應(yīng)于右行被，正號對應(yīng)于左行波，恰好與沿右行和左行特征線上的相容關(guān)系（224）和（226）相差一個符號。這兩種途徑是互通的，在以后的討論中都將經(jīng)常用到。我們知道，桿在軸向應(yīng)力s X（X，t）的作用下除有軸向應(yīng)變外，還由于Poisson效應(yīng)必定同時有橫向變形， 式中uX、uY、uZ為位移在X軸、Y軸、Z軸方向的分量，v為泊松比。所以，由于桿中質(zhì)點的橫向運動，應(yīng)力狀態(tài)實際上不再是簡單的一維應(yīng)力狀態(tài)，原來的平截面也不再保持為平截面。對于半徑為a的圓柱桿，有 （268c）圖213 Hopkinson壓桿試驗中實測到的代表性波形這就是考慮到橫向慣性修正的所謂Rayleigh近似解。但應(yīng)注意，這種由橫向慣性效應(yīng)所引起的彌散，不同于過去所述由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性所引起的非線性本構(gòu)彌散，也不同于由材料粘性效應(yīng)所引起的本構(gòu)粘性彌散，這里主要是由桿的幾何形狀所引起的，因而有時稱為幾何彌散。橫向慣性效應(yīng)則引起桿截面上的不均勻的二維應(yīng)力分布。但隨著應(yīng)力脈沖向前傳播，經(jīng)歷一定傳播距離后，橫截面上的應(yīng)力分布將逐漸均勻化，雖然仍表現(xiàn)出顯著的波形振蕩，如圖214b所示。圖中各六條曲線分別指X=0（桿端）處、及離桿端100 mm、200 mm、300 mm、400 mm和500 mm處的應(yīng)力脈沖波形。隨著壓桿直徑增大會有嚴重波形振蕩，這將對數(shù)據(jù)處理和實驗結(jié)果的精度造成不利影響。圖 216 不同直徑的鋼桿中應(yīng)力脈沖升時t S隨傳播距離X變化之比較（4） 應(yīng)力脈沖峰值隨傳播距離的衰減橫向慣性引起的桿中應(yīng)力波形的幾何彌散，還有一個重要表現(xiàn)，即桿中應(yīng)力脈沖幅值隨傳播距離而減小。由此可見，桿徑越大，衰減越嚴重。更深入的研究表明，在a/l ≤，Rayleigh修正（式268）能給出足夠好的近似，但對于波長更短的波，就必須討論更復(fù)雜的Pochhammer－Chree精確解了010020030040050060010002004006008001 X=0 cm2 X=50cm3 X=100cm4 X=150cm5 X=200cms / MPat / ms 23451圖 217 直徑37 mm鋼桿中三角形應(yīng)力脈沖的幅值隨傳播距離之衰減圖 218 不同直徑的鋼桿中應(yīng)力脈沖幅值衰減隨傳播距離變化之比較