【正文】 。事實上，（a）和（b）中所討論的那種強間斷波完全是由邊界條件出現(xiàn)強間斷所引入的，在熱力學上并不引起額外的熵增；而現(xiàn)在所說的這種強間斷波則是由應力波傳播的會聚性質所形成的，不論其邊界條件如何。站在波陣面上來觀察任一物理量y (X，t）對時間的總變化率的話，即按隨波微商（式210）有 （250）把y 在波陣面前方和后方的值記作y +和y ，而把兩者之差記作[y ] （251）顯然，y 在波陣面上連續(xù)時[y]=0，有間斷時則[y]≠0，[y]即表示間斷突躍值。對于左行波只需以－D代替D即可。現(xiàn)在再從動力學方面來考察波陣面上有關各量間所應滿足的相容條件。 （258）式（257）和（258）分別是連續(xù)介質中沖擊波和加速度波的波陣面上動力學相容條件，是動量守恒條件的體現(xiàn)。在應變率無關應力波理論中，假定材料有唯一的動態(tài)應力應變關系，即應力只是應變的單值連續(xù)函數(shù)s ＝s（e ），因此有圖 212 對于線彈性遞增硬化塑性材料，塑性沖擊波波速由激波弦AB的斜率確定于是式（260）就化為式（215），重新得出彈塑性連續(xù)波波速由s ～e 曲線的切線斜率所決定的結論。只要此弦線的斜率小于彈性模量，則塑性沖擊波速D總小于彈性波速C0（雙波結構）?？紤]圖211中ABA’B’間在dt內的能量守恒，若e為單位質量中的內能，則經簡化后可得 （261）這就是沖擊波波陣面上的能量守恒條件。這部分能量△Q為對應于因形成沖擊波而多耗散的熱能。但對于塑性沖擊波來說，則還將有和△Q對應的額外的熵增。注意，它們只是對于一定的初態(tài)點、通過沖擊突躍過程所可能達到的平衡終態(tài)點的軌跡，而并不描述材料在沖擊突躍過程中所經歷的狀態(tài)點。在更嚴格的情況下，應該用固體狀態(tài)方程來代替式（214），并計及能量守恒條件。研究應力波的傳播，可以從建立問題的控制方程著手，如我們在21節(jié)～25節(jié)中所作那樣；也可以從分析和建立波陣面上應滿足的守恒條件著手，如在這一節(jié)中所作的那樣。下面我們在彈性波范圍內來考察一下橫向慣性的影響，以搞清初等理論的局限性，明確在什么條件下這一近似理論可用。這意味著相應地存在著非均勻分布的橫向應力，從而將導致平截面的歪曲?？梢酝茖С鰲U中彈性縱波將不再如初等理論中那樣以恒速C0傳播，而是對不同頻率f （或波長l）的諧波將以不同的波速（相速）C傳播。對于線彈性波來說，既然任意波形的波總可藉頻譜分析方法看作由不同頻率的諧波分量迭加組成，而不同頻率的諧波分量現(xiàn)在將各按自己的相速傳播，因此波形不能再保持原形而必定在傳播過程中散開來了，即發(fā)生所謂波的彌散現(xiàn)象。由圓桿中彈性波傳播的二維（軸對稱）數(shù)值分析可進一步闡明，一維桿中的橫向慣性效應具體表現(xiàn)在以下幾個主要方面：（1） 桿橫截面上應力分布的不均勻性桿中應力波的初等理論是以應力在桿截面上均勻分布、從而滿足一維應力的假定為前提的?？梢娸S向應力沿半徑由中心向外表面逐漸減小，桿中心處應力最大（接近一維應變狀態(tài)）、外表面R處最小（接近一維應力狀態(tài)）。在相同的梯形脈沖加載條件下，即仍設梯形脈沖幅值為s 0，總的加載歷時120 ms，且升時和降時均為10 ms，對于桿徑為5 mm， mm，37 mm和74 mm四種情況下的二維計算結果分別如圖215之a，b，c和d所示。由此可以理解，對于167。容易理解，隨桿徑愈來愈大，既然橫向慣性效應愈來愈顯著，則升時隨傳播距離的增大也愈加顯著；尤其在傳播的早期，升時變化尤其顯著，之后才逐漸趨于穩(wěn)定值。圖218給出桿徑分別為37 mm，74 mm和100 mm三種情況下，應力峰值衰減如何隨傳播距離X而變化的對比。否則必須計及橫向慣性所引起的波的幾何彌散。這與桿徑越大，其他橫向慣性效應越顯著是一致的。鑒于梯形脈沖在桿中傳播時會出現(xiàn)橫向慣性引發(fā)的波形振蕩，不利于對波幅衰減進行分析，以下面設有三角脈沖作用于桿端X＝0處，幅值仍為s 0=800 MPa，但其上升沿和下降沿歷時各為150 ms。050100150200250020040060080010006543211 X=0 cm2 X=10cm3 X=20cm4 X=30cm5 X=40cm6 X=50cms/ MPat / ms（a）直徑5mm桿中應力脈沖波形 050100150200250020040060080010006543211X= 0 cm2 X=10cm3 X=20cm4 X=30cm5 X=40cm6 X=50cms / MPat / ms （b）050100150200250200020040060080010006543211 X=0 cm2 X=10cm3 X=20cm4 X=30cm5 X=40cm6 X=50cms / MPat / ms（c）直徑37mm桿中應力脈沖波形050100150200250300200020040060080010006543211 X=0 cm2 X=10cm3 X=20cm5 X=40cm6 X=50cms / MPat / ms（d）直徑74mm桿中應力脈沖波形圖 215 不同直徑的鋼桿離桿端不同距離處的應力波形之比較（3） 應力脈沖前沿升時的增大由圖215還可以看到，由于橫向慣性效應，應力脈沖的波陣面前沿實際上隨傳播距離的增加而逐漸由陡變緩，即應力脈沖前沿的升時ts（指應力脈沖的起始點到應力最大值所經歷的時間）隨傳播距離而逐漸增大；并且桿徑越大，其升時變化越顯著。從圖中可以看到，對于給定桿徑，波形振蕩隨傳播距離增大；另一方面，隨著桿徑增大，波形振蕩顯著增大。（a），不同半徑r=0、R處的應力波形（b）距離桿端2D的橫截面上，不同半徑r=0、R處的應力波形圖 214 直徑37mm鋼桿在不同橫截面上軸向應力隨半徑的分布（2） 波形振蕩從式（268c）知，諧波的相速度依賴于彈性桿直徑與波長之比。以直徑D=2R=37mm鋼桿為例（取彈性模量E＝200 GPa，密度r0＝ kg/m3，泊松比n =），設桿端X＝0處作用一梯形脈沖，幅值為s 0=800 MPa，總加載歷時120 ms，包括上升沿和下降沿時間各為10 ms。在有關桿中應力波的實驗中，例如第三章中將談到的Hopkinson壓桿試驗中，實測到的波形常?；蚨嗷蛏俚爻尸F(xiàn)這種幾何彌散現(xiàn)象，包括如圖213所示的局部的波形振蕩（圖213）。上式在a/l ≤，有足夠好的近似。嚴格說來，這是一個三維問題，至少也是一個軸對稱（例如圓柱桿）的二維問題。既然己假定s X、從而e X只是X和t的函數(shù)而與Y、Z無關，因此對上式積分后可得橫向位移為： （264）這里取橫截面中心為Y軸和Z軸坐標原點。 橫向慣性引起的彌散效應以上所討論的桿中一維應力縱波理論都是以桿的平截面在變形后仍保持為平截面，并在平截面上只作用著均布的軸向應力s x這一基本假定為前提的。這是因為這里所討論的是波陣面前方和后方狀態(tài)參量之間的關系，也即跨過波陣面時狀態(tài)參量所應滿足的關系，而特征線上相容條件則是沿著特征線前進時狀態(tài)參量之間所應滿足的關系。應該指出，應變率無關應力波理論中關于材料具有唯一的動態(tài)應力應變關系的基本假定，在目前討論沖擊波的情況下，還常常包含著忽略上述這兩者間的差別。沖擊波波陣面上的質量守恒條件（255），動量守恒條件（257）和能量守恒條件（262）統(tǒng)稱沖擊突躍條件或RankineHugoniot關系，這里給出的是應用于彈塑性桿中的Lagrange形式。因此，在沖擊波被陣面上的突躍過程雖然是絕熱的，卻不是等熵的，而是一個因沖擊波的形成而有額外的熵增的過程，常稱作沖擊絕熱過程。設桿原來處于靜止的自然狀態(tài)，則彈性前驅波波陣面前方的初態(tài)對應于圖中的O點，波陣面后方的終態(tài)對應于動態(tài)屈服限A點，于是有這意味著彈性前驅波波陣面上內能突躍[E ]以應力應變曲線彈性段OA下方的三角形的面積OAC來表示，恰等于單位體積彈性變形功。在應力與應變之間滿足線性關系的特殊情況下，沖擊波速與連續(xù)波波速一致。仿照流體動力學中有關沖擊波的討論（可參見Courant, R. and Friedrichs, 1948），此弦線稱為Rayleigh弦線或激波弦。但波速的具體確定則與材料性能有關。由ABA’B’間質點的動量守恒條件：經簡化后可得 （257）對于弱間斷波陣面，[v]=0，[s]＝0，必須考察v和s 的偏導數(shù)間的關系。由連續(xù)條件要求，波陣面兩側的位移必須相等，即必有[u]＝0。分別用和代替式（252）中的y ，得故若y 及其一階導數(shù)皆連續(xù)，而其二階導數(shù)在波陳面上間斷（二階奇異面），則有 （254）式（252）～（254）稱為波陣面上的運動學相容條件，分別對應于波陣面上y 本身、y 的一階導數(shù)及y 的二階導數(shù)發(fā)生間斷時的情況。 波陣面上的守恒條件現(xiàn)在我們來考察一平面波波陣面作為一奇異面在連續(xù)介質中傳播時，在波陣面上各運動參量所應滿足的限制條件，也即在波陣面前后各量間所應滿足的相容條件。（d ）在應力應變關系為線彈性遞增硬化塑性的情況下，如前曾指出，由于對于塑性波來說即高幅值塑性擾動的波速大于低幅值塑性擾動的波速，因而塑性加載波是會聚波，在傳播過程中其波剖面前緣變得愈來愈陡，最終幾乎瞬時地（約為108 s量級）發(fā)生應力、應變和質點速度的突躍，即形成沖擊波（圖29）。在傳播過程中波剖面將變得愈來愈平坦。這兩個陡峭的波陣面（沖擊波）之間的距離在傳播過程中愈拉愈遠。這正是線性雙曲線型偏微分方程的一個主要特性。應力波是以強間斷還是弱間斷的方式傳播，主要取決于材料應力應變關系和邊界條件的不同而定，現(xiàn)分以下幾種情況進行討論（圖28）：（a）在線彈性材料的情況下（圖28a），如果邊界條件是弱間斷邊界條件，則彈性波也是弱間斷波；如果邊界條件是強間斷邊界條化，則彈性波也是強間斷波，即完全視邊界條件而定。例如逐減硬化材料中的塑性波由于高幅值擾動的傳播速度小了低幅值擾動的傳播速度而只能形成這樣的弱間斷。如果u及其一階導數(shù)皆連續(xù)，但其二階導數(shù)如加速度等間斷，則稱為二階奇異面。這稱種“具有導數(shù)間斷”的面，在數(shù)學上稱為奇異面。簡單波關系（239）在簡單波區(qū)處處成立。如果材料改為線性硬化材料，則（X，t）平面中塑性簡單波區(qū)的正向特征線將是另一族斜率與彈性區(qū)特征線不同的平行直線，波剖面中的彈性部分和塑性部分在傳播過程中將分別保持不變，但這兩部分波剖面間的距離將愈來愈大，請讀者自己作圖討論一下。由于通常E1E，例如對于鋼：E1／E＝～，對于干土：El／E＝—，因此桿中