【正文】 由此可見，桿徑越大，衰減越嚴(yán)重。隨著壓桿直徑增大會有嚴(yán)重波形振蕩，這將對數(shù)據(jù)處理和實驗結(jié)果的精度造成不利影響。但隨著應(yīng)力脈沖向前傳播，經(jīng)歷一定傳播距離后，橫截面上的應(yīng)力分布將逐漸均勻化，雖然仍表現(xiàn)出顯著的波形振蕩，如圖214b所示。但應(yīng)注意，這種由橫向慣性效應(yīng)所引起的彌散，不同于過去所述由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性所引起的非線性本構(gòu)彌散，也不同于由材料粘性效應(yīng)所引起的本構(gòu)粘性彌散，這里主要是由桿的幾何形狀所引起的，因而有時稱為幾何彌散。所以，由于桿中質(zhì)點的橫向運動，應(yīng)力狀態(tài)實際上不再是簡單的一維應(yīng)力狀態(tài)，原來的平截面也不再保持為平截面。這兩種途徑是互通的，在以后的討論中都將經(jīng)常用到。例如沖擊絕熱s ～e 曲線并非材料在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱條件下的本構(gòu)s ～e 曲線。這是由于沖擊波被陣面上的很大的速度梯度，使得本來在應(yīng)變率無關(guān)理論中己近似忽略了的固體內(nèi)粘滯性質(zhì)又變得顯著起來，產(chǎn)生了相應(yīng)的不可逆的能量耗散。反之，一旦D≥C0，將形成單一的彈塑性沖擊波。對于沖擊波波陣面，由其運動學(xué)相容條件（255）和動力學(xué)相容條件（257）消去[v]，可得由此可得沖擊波波速D與波陣面上應(yīng)力突躍[s]相應(yīng)變實躍[e ]間的關(guān)系： （259）對于加速度波波陣面，由其運動學(xué)相容條件（256）和動力學(xué)相容條件（258）消去，就得到：由此可得加速度波波速與波陣面上應(yīng)力梯度突躍和應(yīng)變梯度突躍間的關(guān)系： （260）注意，波陣面上運動學(xué)相容條件和動力學(xué)相容條件的導(dǎo)出與材料物性無關(guān)，對任何連續(xù)介質(zhì)中的平面波一概成立。 現(xiàn)把y 具體化為質(zhì)點位移u（X，t）。在以后的討論中（27節(jié)）將會看到，這是一種在熱力學(xué)上引起額外突躍熵增的沖擊波。這時，強間斷邊界條件中的彈性部分保持以強間斷波傳播，而其塑性部分則從傳播一開始就轉(zhuǎn)變?yōu)槿蹰g斷，以發(fā)散的連續(xù)波的形式傳播。這表明對于線性波，其初始間斷是什么性質(zhì)的將繼續(xù)作為這么性質(zhì)的間斷傳播。二階及更高階的奇異面均為弱間斷。 強間斷和弱間斷，沖擊波和連續(xù)波在波陣面上，根據(jù)介質(zhì)連續(xù)性要求，質(zhì)點位移u必定連續(xù)，但其導(dǎo)數(shù)則可能間斷。圖中時程曲線的彈性部分（點3’以前）和波形曲線的彈性部分（點3以前）其形狀是不變的，而兩者的塑性波部分則是發(fā)散的，在傳播過程中將變得愈來愈平坦，波形拉得愈來愈長。這樣，塑性波在傳播過程中其波剖面變得愈來愈陡（會聚波），最終在波陣面上發(fā)生質(zhì)點速度和應(yīng)力應(yīng)變的突躍，形成所謂沖擊波。其中恒值區(qū)AOX以及簡單波區(qū)AO t中的彈性波部分與前述彈性波解（圖24）完全相同；而與邊界條件中部分對應(yīng)的塑性波部分，由于所有負(fù)向特征線都終將與X軸相交，在零初始擾動的初值條件（式231）下，式（238）中的Riemann不變量R2恒為零，因此在塑性簡單波區(qū)處處有 （239）于是沿正向特征線的Riemann不變量Rl可由邊界條件（231b）確定即沿正向特征線質(zhì)點速度v、應(yīng)變e 和應(yīng)力s 均不變，從而C〔e〕也不變，但對不同的正向特征線有不同的C值。對于線彈性波，由于波速為恒定，應(yīng)力波在傳播過程中波形是不變的。表21幾種常見材料的桿中彈性縱波波速C0和波阻抗ρ0C0鋼銅鋁玻璃橡膠ρ0 （103 kg/m3=g/cm3）E（GPa=1010 dyne/cm2）C0（km/s）ρ0C0（MPa/m/s=106 kg/m2/s）210120327707020103428103注意,在（v，e）平面上（圖23）,恒值區(qū)AOX只對應(yīng)于一個點O；簡單波區(qū)AO t則對應(yīng)于一段線Oa，或者說，（X，t）平面上簡單波區(qū)的每一條非零擾動的特征線對應(yīng)于（v，e）平面上的一個點。這樣的波稱為簡單波。這樣，半無限長桿在桿端受軸向沖擊載荷的問題就歸結(jié)為解AOX區(qū)中的Cauchy問題和解AOt區(qū)中的Picard問題。由上述討論知，在類空曲線的任意線段QR上給定v和e ，則可在由QR和特征線QP、RP為界的曲線三角形區(qū)域QRP中求得單值解，這類初邊值問題，常稱為初值問題或Cauchy問題。于是，問題歸結(jié)為在初始條件 （231a）及邊界條件圖 23 Xt平面上經(jīng)任一點有正向和負(fù)向兩特征線 （231b）下，求解式（228），或按特征線法在上述初邊條件下求解式（230）。此外，我們只考慮單調(diào)加載而無卸載的情況。寫成矩陣的形式，有＝ （225）如果曲線C是特征線，上述解不定，則應(yīng)有式中， ， 把行列式展開，即可重新得出特征線微分方程（223）和特征線上相容條件（224）。這樣，解擬線性偏微分方程（218）的問題就完全等價地化成了解特征線方程 （223）和相應(yīng)的相容關(guān)系（224）的常微分方程問題。另一種稱為不定線法，即如果對自變量平面（ X，t ）上某曲線C，由沿此曲線上給定的初值連同偏微分方程一起不足以確定全部偏導(dǎo)數(shù)的話，則此曲線C稱為特征線。在特殊情況下，當(dāng)應(yīng)力是應(yīng)變的線性函數(shù)時，則C 2將是常數(shù)，于是式（218）屬于線性偏微分方程。本章中對于桿中應(yīng)力被傳播理論的討論都是建立在這一假定基礎(chǔ)上的，通常稱為初等理論或工程理論。在以上的討論中及以后，規(guī)定應(yīng)力和應(yīng)變均以拉為正，而質(zhì)點速度以X軸向為正，反之為負(fù)。這里的應(yīng)力是工程應(yīng)力（即名義應(yīng)力），應(yīng)變是工程應(yīng)變，并且在一維情況下，物質(zhì)型伸長度并無小變形的限制。類似于空間坐標(biāo)中的隨體微商（式26），在空間坐標(biāo)中的隨波微商為 （210a）而在物質(zhì)坐標(biāo)中的隨波微商為 （210b）式（210a）和（210）也是用不同坐標(biāo)系表述的同一物理現(xiàn)象。這種方法稱為歐拉方法，自變量x稱為Euler坐標(biāo)或空間坐標(biāo)。所以，反過來也可以從某一時刻t時所占的空間位置來確定質(zhì)點。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本出發(fā)點之一是不從微觀上考慮物體的真實物質(zhì)結(jié)構(gòu)而只在宏現(xiàn)上數(shù)學(xué)模型化地把物體看作由連續(xù)不斷的質(zhì)點所構(gòu)成的系統(tǒng)，即把物體看作質(zhì)點的連續(xù)集合。在建立基本關(guān)系式以后。雖然從本質(zhì)上說材料本構(gòu)關(guān)系總是或多或少地對應(yīng)變率敏感的，但其敏感程度視不同材料而異，也視不同的應(yīng)力范圍和應(yīng)變率范圍而異。從材料變形機(jī)理來說，除了理想彈性變形可看作瞬態(tài)響應(yīng)外，各種類型的非彈性變形和斷裂都是以有限速率發(fā)展、進(jìn)行的非瞬態(tài)響應(yīng)(，因而材料的力學(xué)性能本質(zhì)上是與應(yīng)變率相關(guān)的。前者是擾動信號在介質(zhì)中的傳播速度，而后者則是介質(zhì)質(zhì)點本身的運動速度。對此必須計及介質(zhì)微元體的慣性，從而就導(dǎo)致了對應(yīng)力波傳播的研究。又如，對一金屬桿端部施加軸向靜載荷時，變形基本上是沿桿均勻分布的，但當(dāng)施加軸向沖擊載荷時(如打釬，打樁……)，則變形分布極不均勻，殘余變形集中于桿瑞。子彈著靶時，變形呈蘑菇狀也正類似于此。事實上，當(dāng)外載荷作用于可變形固體的某部份表面上時，一開始只有那些直接受到外載荷作用的表面部份的介質(zhì)質(zhì)點離開了初始平衡位置。如果兩者方向一致，稱為縱波；如果兩者方向垂直，則稱為橫波。通常表現(xiàn)為：隨著應(yīng)變率的提高，材料的屈服極限提高，強度極限提高，延伸率降低，以及屈服滯后和斷裂滯后等現(xiàn)象變得明顯起來等等。在一定的條件下，有時可近似地假定材料本構(gòu)關(guān)系與應(yīng)變率無關(guān)。將由淺入深地依次對彈性波（(第三章)、彈塑性加載波和卸載波（第四章）。質(zhì)點的存在以其占有空間位置來表現(xiàn)。換言之，只要運動是連續(xù)和單值的，式（21）就可反演為 （22）一個簡單方便的命名質(zhì)點的方法是用參考時刻t0時在參考空間坐標(biāo)系中質(zhì)點所占位置x0來命名質(zhì)點，把它記作X 。注意到式（21）和（22）也就是t時刻物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)之間相互變換的關(guān)系式，則以物質(zhì)坐標(biāo)描述的物理量y 的函數(shù)F（X ,t）可籍此變成以空間坐標(biāo)描述的函數(shù)f（x ,t）或相反地 與之相應(yīng)地有兩種時間微商，即在給定的空間位置x上量y 對時間t的變化率，記作 （23）稱為空間微商（Euler微商）；以及跟隨著給定質(zhì)點X來觀察的量y 對時間t的變化率，記作 （24）稱為物質(zhì)微商（Lagrange微商），或隨體微商。當(dāng)式（210 b）中y 具體指質(zhì)點的空間位置x（X，t）時，再注意到在一維運動中 此處e 為工程應(yīng)變，即可得到平面波傳播時空間波速c和物質(zhì)波速C間的下述關(guān)系 （211）在初始質(zhì)點速度和初始應(yīng)變?yōu)榱愕慕橘|(zhì)中傳播的平面波，空間波速和物質(zhì)波速顯然相同?；痉匠痰慕M成包括運動學(xué)條件（連續(xù)方程或質(zhì)量守恒方程），動力學(xué)條件（運動方程或動量守恒方程）以及材料本構(gòu)關(guān)系（物性方程）。一般，s（e ）是連續(xù)可微函數(shù)，且設(shè)其一階導(dǎo)數(shù)為非零正數(shù)，引入 （215）就可由式（213）和（214）消去s ，得 （216）或由式（212）和（214）消去e ，得 （217）問題就可化為求解以e 和v為未知函數(shù)的一階偏微分方程組（212）和（216），或化為求解以s 和v為未知函數(shù)的一階偏微分方程組（213）和（217）。第二個基本假定是一切應(yīng)變率無關(guān)應(yīng)力波理論的共同基本假定。其次應(yīng)注意，由于我們不考慮非穩(wěn)定塑性階段的特殊情況，所以應(yīng)力總是隨應(yīng)變單調(diào)上升的函數(shù)，即，而密度ρ0又總是正值，故必有C 2＞0。這兩種定義方法分別從不同角度反映了特征線的某種性質(zhì)。圖 22 X，t平面上的G域與v，e 平面上的域之間的對應(yīng)性與式（223）表示（X，t ）平面上的特征線相對應(yīng)，式（224）也可看作為（v，e ）平面上的特征線微分方程，其積分稱作（v，e ）平面上的特征線。如果從以s 和v為未知函數(shù)的一階偏微分方程組（213）和（217）出發(fā)，類似地可得特征線微分方程（223），而特征線上相容條件則相應(yīng)地為 （226）它與相容關(guān)系（224）是等價的。如果外載荷以應(yīng)力邊界條件給出時，；如以速度邊界條件給出時。應(yīng)說明的是，這時系分別解兩類初邊值問題，即Cauchy問題和Picard問題?，F(xiàn)在再討論OA上方，即AO t區(qū)的情況。在Cauchy問題中，其解完全由初始條件確定，這意味著只接受桿中初始擾動的影響，不受邊界擾動的影響。對于傳入初始處于靜止、未變形狀態(tài)的桿中的彈性簡單波，質(zhì)點速度v、應(yīng)變e 和應(yīng)力s 之間遵循式（233）。從上面的討論中還可以得出一個重要結(jié)論：簡單波區(qū)總是和恒值區(qū)相鄰的。圖 24 用特征線作圖法確定任一時刻桿中的波剖面。因此，在塑性簡單波區(qū)中正向特征線是一系列斜率不同的直線（圖25） C在物理意義上代表塑性波的傳播速度。這類問題將在下面（26節(jié)）作進(jìn)一步的討論。如果材料改為線性硬化材料，則（X，t）平面中塑性簡單波區(qū)的正向特征線將是另一族斜率與彈性區(qū)特征線不同的平行直線，波剖面中的彈性部分和塑性部分在傳播過程中將分別保持不變，但這兩部分波剖面間的距離將愈來愈大，請讀者自己作圖討論一下。這稱種“具有導(dǎo)數(shù)間斷”的面，在數(shù)學(xué)上稱為奇異面。例如逐減硬化材料中的塑性波由于高幅值擾動的傳播速度小了低幅值擾動的傳播速度而只能形成這樣的弱間斷。這正是線性雙曲線型偏微分方程