【正文】 y＝32； y＝32．三．解答題：11. （1）k＝，b ＞ 2； （2）當(dāng) b＝2＋， k＝－1時(shí)，△OAB面積的最小值為7＋2； 12. 存在滿足題設(shè)條件的質(zhì)數(shù)p，q. 當(dāng)p＝2，q＝5時(shí)，方程2x2－5x＋ 2＝0 的兩根為 x1＝， x2＝2. 它們都是有理數(shù)； 13. 存在滿足條件的三角形. △ABC的邊 a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B. 14. n 的最小值是5，當(dāng)n=4時(shí)，數(shù)1，3，5，8中沒(méi)有若干個(gè)數(shù)的和能被10整除．（5分）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)a1，a2，a5是1，2，…，9中的5個(gè)不同的數(shù)．若其中任意若干個(gè)數(shù)，它們的和都不能被10整除，則a1，a2，a5中不可能同時(shí)出現(xiàn)1和9；2和8；3和7；4和6．于是a1，a2，…，a5中必定有一個(gè)數(shù)是5．若a1，a2，…，a5中含1，則不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍數(shù)，矛盾．若a1，a2，…，a5中含9，則不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍數(shù)，矛盾．綜上所述，n的最小值為5．（15分）中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1．已知非零實(shí)數(shù)a，b 滿足 ，則等于（ ）．（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．解：由題設(shè)知a≥3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而＝1． 2．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)O是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，則a等于（ ）．（第2題）（A） （B） （C）1 （D）2【答】A． 解：因?yàn)椤鰾OC ∽ △ABC，所以，即 ，所以， ．由，解得．3．將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答】D．解：當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解．當(dāng)時(shí)，方程組的解為由已知，得即或由，的實(shí)際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有 52＝10種情況；或共3種情況．又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共66＝36種情況，故所求的概率為．4．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿梯形的邊由B→C→D→A運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y. 把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（ ）．（A）10 （B）16 （C）18 （D）32（第4題）圖2圖1 【答】B．解：根據(jù)圖像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，進(jìn)而求得AB＝8，故S△ABC＝84＝16.5．關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（ ）．（A）2組 （B）3組 （C）4組 （D）無(wú)窮多組 【答】C．解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為 ．由于該方程有整數(shù)根，則判別式≥，且是完全平方數(shù)．由 ≥，解得 ≤．于是01491611610988534顯然，只有時(shí)，是完全平方數(shù)，符合要求．當(dāng)時(shí)，原方程為，此時(shí)；當(dāng)y＝－4時(shí)，原方程為，此時(shí)．所以，原方程的整數(shù)解為 二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．一個(gè)自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛 km ．【答】3750．解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為, km，交換位置后走了y ,有 兩式相加，得 ，則 ．7．已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，在線段AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使得BD＝AC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H，則的值為 ．解：如圖，延長(zhǎng)AD與⊙D交于點(diǎn)E，連接AF，EF ．由題設(shè)知，在△FHA和△EFA中，所以 Rt△FHA∽R(shí)t△EFA， . （第7題）而，所以.8．已知是滿足條件的五個(gè)不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為 ．【答】 10．解：因?yàn)椋沂俏鍌€(gè)不同的整數(shù)，所有也是五個(gè)不同的整數(shù)．又因?yàn)?，所以．由，可得?．如圖，在△ABC中，CD是高，CE為的平分線．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長(zhǎng)等于 ．【答】．解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB為直角三角形，且．作EF⊥BC，垂足為F．設(shè)EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以 ，（第9題）即 ，解得．所以．（第10題）10．10個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲．游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來(lái)．若報(bào)出來(lái)的數(shù)如圖所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)是 ． 【答】． 解：設(shè)報(bào)3的人心里想的數(shù)是，則報(bào)5的人心里想的數(shù)應(yīng)是．于是報(bào)7的人心里想的數(shù)是 ，報(bào)9的人心里想的數(shù)是 ，報(bào)1的人心里想的數(shù)是 ，報(bào)3的人心里想的數(shù)是．所以 ，解得．三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．已知拋物線與動(dòng)直線有公共點(diǎn)，且. （1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍； （2）當(dāng)t為何值時(shí)，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）聯(lián)立與，消去y得二次方程 ①有實(shí)數(shù)根，則．所以 =＝． ② ………………5分把②式代入方程①得． ③ ………………10分t的取值應(yīng)滿足≥0， ④且使方程③有實(shí)數(shù)根，即＝≥0， ⑤解不等式④得 ≤3或≥1，解不等式⑤得 ≤≤.所以，t的取值范圍為≤≤. ⑥………………15分(2) 由②式知.由于在≤≤時(shí)是遞增的，所以，當(dāng)時(shí),. ………………20分12．已知正整數(shù)滿足，且，求滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和．解：由可得．，且． ………………5分因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以等價(jià)于，又因?yàn)?，所以等價(jià)于．因此有，于是可得． ………………15分又，所以．因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和為11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分 13．如圖，給定銳角三角形ABC，AD，BE是它的兩條高，過(guò)點(diǎn)作△ABC的外接圓的切線，過(guò)點(diǎn)D，E分別作的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論．解法1：結(jié)論是．下面給出證明． ………………5分因?yàn)椋訰t△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得．同理可得 ． （第13A題） ………………10分又因?yàn)?，所以有，于是可得? ………………20分解法2：結(jié)論是．下面給出證明． ……………… 5分（第13A題）連接DE，因?yàn)?，所以A，B，D，E四點(diǎn)共圓，故． ………………10分又l是⊙O的過(guò)點(diǎn)C的切線，所以． ………………15分所以，于是DE∥FG，故DF＝EG． ………………20分14．n個(gè)正整數(shù)滿足如下條件：；且中任意n－1個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)．求n的最大值．解：設(shè)中去掉后剩下的n－1個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)，．即 ．于是，對(duì)于任意的1≤≤n，都有，從而 ． ………………5分由于 是正整數(shù)，故 ． ………………10分由于 ≥，所以，≤2008，于是n ≤45. 結(jié)合，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令，…，則這9個(gè)數(shù)滿足題設(shè)要求． 綜上所述，n的最大值為9. ………………20分中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0