圓錐曲線與方程變式試題(存儲(chǔ)版)
【正文】 橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值．解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，則直線AB的方程為，代入，化簡(jiǎn)得.設(shè)A（），B），則由與共線，得又，即，所以，故離心率（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，所以橢圓可化為設(shè)，由已知得 在橢圓上，即①由（Ⅰ）知又，代入①得故為定值，定值為1.3．（人教A版選修1－1，2－）已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式1（2004年湖北卷理）：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為FF2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、FF2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為 A． B．3 C． D．解：依題意，可知當(dāng)以F1或F2為三角形的直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到x軸的距離為，故選D．（可以證明不存在以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的三角形）變式2（2006年全國(guó)卷Ⅱ）：已知的頂點(diǎn)B、C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則的周長(zhǎng)是 A． B．6 C． D．12解：由于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，而根據(jù)橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為，故選C．4．（人教A版選修1－1，2－） 如圖，矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，是線段CF的四等分點(diǎn)．請(qǐng)證明直線ER與、ES與、ET與的交點(diǎn)L，M，N在同一個(gè)橢圓上．變式1：直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、則實(shí)數(shù) ．解：將直線代入雙曲線C的方程整理，得 ……①依題意，直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故解得．設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、則由①式得 ……②∵雙曲線C的右焦點(diǎn)F 在以AB為直徑的圓上，則由FA⊥FB得：整理，得……③把②式及代入③式化簡(jiǎn)，得解得，故．變式2（20
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