ch41中值定理(存儲版)
【正文】 ) ( )a f b f a b a f a? ? ? ?2 2 2( ( ) ( ) ) ( ) ( )b f b f a b a f b? ? ? ?22( ) ( )a f b b f a?例 4 分析 : 設函數(shù) 內可導，證明 2 2 2( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )F x x f b f a b a f x? ? ? ?令,()fx則 由 的 連 續(xù) 性 和 可 導 性 得( ) [ , ] , ( ) ( , ) ,F x C a b F x a b? 在 內 可 導22( ) ( ) ( ) ( )F a F b a f b b f a? ? ?又由羅爾定理 ,至少存在一點 ( , )ab? ? 使 得 22( ) 2 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) 0F f b f a b a f? ? ???? ? ? ? ? .( , )ab即 方 程 在 內 至 少 有 一 根證 分析問題的條件 , 作出輔助函數(shù)是證明的關鍵 . ? 對于羅爾定理中的第三個條件 很多函數(shù)都 不滿足 ，這樣就限制了羅爾定理的適用范圍，要是能取消就好了 。練習 例 1 .)1l n (1,0 xxxxx ????? 時證明當證 ),1l n ()( xxf ??設,],0[)( 上滿足拉氏定理的條件在 xxf)0(),0)(()0()( xxffxf ?????????,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得 ,1)1l n ( ???? xxx???0?又 x????? 111 ,11 11 1 ????? x,11 xxxx ??????.)1l n (1 xxxx ????即1 , .xx e e x? ? ?證 明 ： 當 時證 ( ) ,xf x e?設( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) , ( 1 )f x f f x x???? ? ? ? ? ?( 1 ) , ( ) ,xf e f x e??? 代 入 上 式 得 ：( 1 ) , ( 1 )xe e e x x? ?? ? ? ? ?1,x??? .xee e ? ???( 1 ) ( 1 )xe e e x e x?? ? ? ? ? ?,1xe e x x? ? ? ?當 時 . 練 習 ( ) [ 1 , ] ,f x x在 上 滿 足 拉 氏 定 理 的 條 件例 2 證明：當 時， 11 ??? x2??? xx a r c c o sa r c s i n證明 設 ),(,a r c c osa r c s i n)( 11???? xxxxf01 11 1 22 ?????? xxxf )(由推論 1知，在（ 1， 1）內恒有 cxx ?? a r c c o sa r c s i n則 于是 時， ),( 11??x0?x令 ， ,2??c得 2??? xx a r c c o sa r c s i n又 時， 1?x,)( 21 ??f 當 時， 1??x ,)( 21 ???f因此，當 時， 11 ??? x .a r c c o sa r c s i n2??? xx自證 : ),( ?????x ,2c o ta rca rc t a n ??? xx構造有關的函數(shù) 確定應用區(qū)間 應用 Lagrange定理 計算導數(shù)后的等式 轉化為不等式 解題思路： 對于拉格朗日中值定理，需要求函數(shù) 的導數(shù)，我們知道對于參數(shù)方程（尤其是 無法消參的參數(shù)方程）求導比較困難。 柯西關于微積分基礎的最具代表性的著作是他的 《 分析教程（ 1821）、 《 無窮小計算教程 》（ 1823）、以及 《 微分計算教程 》 （ 1829），它們以微積分的嚴格化為目標，對微積分的一系列基本概念給出了明確的定義。 例如收斂、極限、連續(xù)函數(shù)的意義（一說在布拉格受 Bolzano 的影響），無窮級數(shù)的收斂條件，復變量函數(shù)的定義等。從數(shù)學史的觀點，他最重要的成就或許在于，他是打下分析（實變量或復變量）嚴格基礎的先驅者： 另外，柯西在微分方程和復變函數(shù)等方面也都做出了卓越貢獻。1( ) ?使01( ) ( ) x f x? ? ?備 3 5 5 1 01.xx ? ? ? 有證 明 方 程 一 個小有于僅的 正 實 根且5 5 1 0xx ? ? ?程即 方 存 在 一的實根 反證法 1 1 0(0 , 1 ) , ,x x x??另 有設 0 1 1 0 0 10101( ) [ , ] ( [ , ] ) ( , )( ) ( ) 0 ( )f x x x x x x xf x f x f xxx??在 或 連 續(xù) ， 在可 導 ， ， 于 是 ， 函 數(shù) 在,之 間 滿 足 羅 爾 定 理 的 條 件 .于 是 ， 01( , ) ,xx??? ( ) 0 ,f ?? ?使 得但 是 ， 545 1 ) 5( 5() x x xfx? ? ?? ? ? ?45 ( 1 )x??4( 0, 1 ) , ( ) 5 ( 1 ) 0,xx f x? ?? ?? 矛 盾因此，假設不成立， x0即為題設方程的小于 1的唯一正實根 . 證 ( ) ,xf x e?設( ) [ 1 , ] ,f x x在 上 滿 足
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