【正文】 是極值點 a b1x 3x 5x2x 4xA B C D E xoy“谷”—極小“峰”—極大32 第三章 中值定理與導數(shù)應用 定理 3 ：的某一鄰域內可導、且在點設 0)()( 00 ?? xfxxf第一充分條件 、 極值點第一判別法 處有極大值；在點則，、若 000 )()(0)0()(0)0()1( xxfxfxf ????????求極值步驟： 。 最優(yōu)化問題可概括為以下數(shù)學模型： 取得最值；為何值時，一定條件下，求滿足之間的函數(shù)關系；在與自變量通過建模，建立函數(shù))()(xfxxxxf約束條件，—應滿足的條件目標函數(shù)；— xxf )(的數(shù)學模型優(yōu)化問題下的最值問題，就是最在約束條件求目標函數(shù) Dxxf ?)(Dx ?表示為40 第三章 中值定理與導數(shù)應用 把邊長為 a厘米的正方形鐵皮的四個角截去相等的小正方形 ，然后折起四邊 ， 做成一個無蓋的盒子 ， 問應截去多少才能使無蓋盒子的容積最大 ?最大容積為多少 ？ 例 1 解： xa設截去的小正方形的邊長為 x厘米 xxaxV ??? 2)2()( )20(ax ， ?)6)(2(1)2()2()2(2)( 2 xaxaxaxxaxV ????????????6)20(0)(axaxV ??? 內唯一駐點，得區(qū)間令axxaxaxV 824)6)(2()6(2)( ??????????，04)6( ????? aaV最大值有極大值，據(jù)題意亦為厘米時當 6ax ??32 2726)6()6( aaaaaV ????)()( 00 加以說明是極值和最值，則此時若只有一個駐點內取得，確有最值，且在定義域據(jù)問題的性質判定函數(shù)在實際問題中，往往根xfx33272 厘米a折成的盒子體積為： 41 第三章 中值定理與導數(shù)應用 設某企業(yè)每季度生產(chǎn)某產(chǎn)品 x個單位時 ， 總成本函數(shù)為 例 2 解： cxbxaxxC ??? 23)( )000( ??? cba 、 試求：平均成本最小時的產(chǎn)量；最小平均成本及相應的邊際成本 cbxaxx xCxC ???? 2)()(平均成本為?abxxCbaxxC20)(2)( ?????? 得唯一駐點，令02)2(02)( ???? aabCaxC 〃〃 ，?極小值點，為 )(2 xCabx ??cabbabaabC ??? )2()2()2( 2相應的平均最小成本為 a acb 4 42 ??cbxaxxC ???? 23)( 2邊際成本為又 ?時邊際成本為abx 2??aacbcabbabaabC44)2(2)2(3)2(22 ??????最小平均成本 與其相應的 邊際成本 相等 )]()([11)()(])([)(2xCxCxxxCxxCxxCxC???????????處取得極小值時在 0)( xxC0令?)()( 00 xCxC ??據(jù)題意 ， 此極值點即為最小平均成本時的產(chǎn)量 42 第三章 中值定理與導數(shù)應用 廠家生產(chǎn)成套工具 ， 規(guī)定：訂購套數(shù)不超過 300套 ， 每套售價 400元；若訂購套數(shù)超過 300套 ， 每超過一套少付 1元 。討論函數(shù)曲線列表的符號；子區(qū)間考察分為若干子區(qū)間，在各，以上述各點將)()()()()3(xfyxfba???的凹凸區(qū)間與拐點求曲線：例 3231 xxy ??解： )1(66636 2 xxyxxy ????????? ，10)1(6 ???????? xxyy 得不存在的點；令無連續(xù)，函數(shù)在定義域 )( ????間列表討論：將定義域分為二個子區(qū)以 1?xx (∞,1) 1 (1, +∞) y〃 + 0 y ︶ 2 ︵ )1()1()21(?????，函數(shù)曲線的凸區(qū)間為；，函數(shù)曲線的凹區(qū)間為是拐點，點xoy12323 xxy ??判定曲線的凹凸與拐點的 49 第三章 中值定理與導數(shù)應用 二、曲線的漸近線 曲線的漸近線有三種： ?????水平漸近線 鉛垂 (垂直 )漸近線 斜漸近線 有些函數(shù)的定義域或值域是無窮區(qū)間 ， 此時函數(shù)的圖形向無窮遠處延伸 ， 如雙曲線 、 拋物線等；有些向無窮遠延伸的曲線 ， 有著越來越接近某一直線的趨勢 ， 這種直線就是曲線的漸近線 。 例 6 解： 列出 總費用 y(庫存 、 進貨費之和 )與 批量 x之間的函數(shù)關系 進貨庫存元，則件，半年的總費用為設每次進貨量為 E?? EyyxxxE ????庫存平均庫存量 xxE1 2 0 0 0 0 06002 0 0 0 ???進貨進貨批次 xxEy1 2 0 0 0 0 ????進貨庫存總費用 y (庫存費 、 進貨費之和 )與 批次 x的函數(shù)關系 xx2 0 0 0，則批量為設半年中進貨批次為xxE9 6 0 )212 0 0 0( ?????庫存xxE 600600 ???進貨xxEy 6009600E ???? 進貨庫存5 0 001 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 )( 222 ??????? xxxxxy 得駐點令)()(5 0 0 批量為極小值、最小值點件據(jù)題意 ?x 409 6 0 06 0 0)(22 ????? xxxxy 得駐點令為極小值、最小值點批次據(jù)題意 )(4?x(三 、 庫存模型與總費用問題 ) )(45002022 批次?總費用最少 ? 29 6 0 06 0 0)(xxy ???46 第三章 中值定理與導數(shù)應用 167。上的最大值、最小者即，即為函數(shù)在閉區(qū)間；其中最大者數(shù)值即有可能為極值點的函值不存在的所有點的函數(shù)以及使，和區(qū)間內、計算出端點處的函數(shù)值][)()(0)()()(baxfxfbfaf ???。 34 函數(shù)的極值與最值 的極小值點。 33 函數(shù)單調性的判別 內是單調增加的；，在，則此時都是銳角，即：軸正向夾角切線與點都存在切線，且這些內每一，在若函數(shù)曲線從幾何上可直觀分析：)()(0)(t a n)()(baxfxfkxbaxf???? ??內是單調減少的。 羅爾定理可視為拉格朗日中值定理的特例 ， 而拉格朗日中值定理又可視為柯西中值定理的特例； 另一方面 ， 拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣；柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 ， 同時柯西定理也可視為拉格朗日中值定理的參數(shù)方程形式 。 35 建模與最優(yōu)化 167。 32 洛必達法則 167。例 2止 (存在性 ) (唯一性 ) 5 第三章 中值定理與導數(shù)應用 二、拉格朗日中值定理 滿足下列條件設函數(shù) )( xf內可導；，在開區(qū)間上連續(xù)；，在閉區(qū)間)()2(][)1(babaabafbffba????)()()()(?? ，使得內至少存在一點，則在二個條件 ：閉區(qū)間連續(xù) (曲線不斷 )、 開區(qū)間可導 (圓滑 )； 一個結論 ： (充分非必要條件 ) ABBA 行于內至少有一點的切線平線幾何意義：連續(xù)圓滑曲 ??ABo xya b?)(xfy?AB拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣 羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例 )()()( 羅拉如果 ?? afbf6 第三章 中值定理與導數(shù)應用 推論 由拉格朗日中值定理可得出積分學中的相關推論： 內，則在內滿足，在設函數(shù)：推論 )(0)()()(1 baxfbaxf ??)C()( 為常數(shù)Cxf ?：之間只差一個常數(shù)，即與內，則在，均有內任意，：若對推論)()()()()()(2xgxfbaxgxfxba ???)C()()( 為常數(shù)Cxgxf ??7 第三章 中值定理與導數(shù)應用 例 3 成立時，不等式證明當 xxxxx ????? )1l n (10證： )1ln()( xxf ??設xxfxxxfxx ???? 11)()0(]0[)(]0[0 內可導，上連續(xù)，在，在，取區(qū)間?條件滿足拉格朗日中值定理?xxxxxfxff )1l n (1ln)1l n (0)0()(11)( ??????????? ??即有：x?? ?0?又)1ln (1 xx ??? ?)1ln (1 xxx ??? x?xxf ln)( ?也可設xxfxxxfxx1)()11(]11[)(]11[0 ?????? 內可導，上連續(xù)，在，在，取區(qū)間?”滿足“拉 ??xxxxxfxff )1l n (1ln)1l n (1)1()1()1(1)( ??????????????即有：，)1ln ( xx ??? x??? 11 ??又 )1ln (1 xxx ??? x?得證得證11 11 1 ?