【正文】 ??? ?x111 1 ??? ?x8 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 三、柯西中值定理 滿足下列條件與設(shè)函數(shù) )()( xgxf；內(nèi)可導(dǎo)，且，在開區(qū)間上連續(xù)；，在閉區(qū)間0)()()2(][)1(?? xgbaba)()()()()()()(agbgafbfgfba???????? ，使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)，則在二個條件 (充分非必要條件 )； 一個結(jié)論 。解決這類極限的有效工達(dá)法則就是即為不定型極限。 內(nèi)仍是單調(diào)增加的。值，得函數(shù)的全部極值求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)，判定函數(shù)的極值點(diǎn)；利用定理的符號；每個區(qū)間內(nèi)，討論區(qū)間分割成若干子區(qū)間中的點(diǎn)將定義域或所給以不存在的點(diǎn)；的點(diǎn)及，找出使求確定函數(shù)的定義域；)5(3)4()()2()3()(0)()()2()1(xfxfxfxf?????處有極小值；在點(diǎn)則，、若 000 )()(0)0()(0)0()2( xxfxfxf ????????非極值點(diǎn)符號不變，則若 00 )0()3( xxf ??33 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 例 4 P116 教材例題 的極值求函數(shù) 32)2(1)( ??? xxf)( ???? ，函數(shù)的定義域為解： ? ? 3 23 2 ???? xxf? ? ? ?不存在時，沒有為零的點(diǎn)；當(dāng) xfxxf ??? 2處取得極大值；在點(diǎn)，2)()(0)02()(0)02(??????????xxfff?34 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 定理 4 第二充分條件 、 極值點(diǎn)第二判別法 處有無極值在時，無法判定當(dāng)處有極小值在時，當(dāng)處有極大值在時，當(dāng)，則：、處有二階導(dǎo)數(shù)，且在若00000000000)(0)()3()()(0)()2()()(0)()1(0)(0)()(xxfxfxfxxfxfxfxxfxfxfxfxxf??????????????注：若二階導(dǎo)數(shù)不存在 、 或為零 、 或計算太復(fù)雜時 ， 則用第一判別法或定義判定 。 問怎樣的訂購數(shù)量 ， 才能使工廠銷售收入最大 ？ 例 3 解： 設(shè)訂購套數(shù)為 x ??????????700300)700(3000400xxxxxpxR，；得駐點(diǎn)令 3500 1 ??? xR題意，也是最大值點(diǎn)是唯一的極大值點(diǎn)，據(jù)套 )(3 5 0?? x；時， 4003000 ??? pxxxpx ???????? 700)300(1400700300 時，則收入函數(shù)為： ??????????7 0 03 0 027 0 03 0 004 0 0RxxxR，的最大值求025 0 )3(R2)(R3 5 01 ??????????? xx ，討論此時 ， 銷售收入最大 )(3002 左右導(dǎo)數(shù)不相等是分界點(diǎn)、不可導(dǎo)而 ?x不是極值點(diǎn)、 3 0 001 0 0)03 0 0(04 0 0)03 0 0( 2 ?????????? xRR?( 該分段函數(shù)是連續(xù)的 ) 43 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 生產(chǎn)某種彩電總成本函數(shù)為 例 4 解： qpqR ?)(收入函數(shù)，得唯一駐點(diǎn)令 51010)(L ???? qq)(4 2 0 0)()101( 85 元，對應(yīng)價格為臺最大利潤為 ????? ?pL73 )( ???? qqC)()( 5 臺元、單位：。 1 1 xy1)( ?? xxxfooxyxey ?1 xyo2?2??xy arc tan?yo2??23?? 2????23?xy tan?x50 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 水平漸近線 例 2 )(常量即水平漸近線常量，、????yyx的鉛垂?jié)u近線為曲線則直線，或者處間斷，且有在若曲線)()(l i m)(l i m)(xfycxxfxfcxxfycxcx?????????? ??)( 常量即垂直漸近線 ，常量、? ???x yx近線的水平漸近線和鉛垂?jié)u求曲線例 212 ??? xxy解： 12111l i m21l i m)(l i m ?????????????xxxxxfxxx?即為曲線的水平漸近線1?? y????? ?? 21lim)(lim 22 xxxf xx?即為曲線的鉛垂?jié)u近線2?? xxyo12鉛垂?jié)u近線 的水平漸近線為曲線則直線，或者且有的定義域是無限區(qū)間，若曲線)()(lim)(lim)(xfybybxfbxfxfyxx???????????51 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 20221107作業(yè) P134 11 P135 1 1 1 19 P135 21單 P135 22(1)(2)(3) 。 問：為使兩次送料期間的制作周期內(nèi)每天的平均成本最少 ， 每次應(yīng)該送多少件家具的原材料以及多長時間送一次 ？ 例 5 解： xxxxCxC 562525)()( ???周期內(nèi)每天的平均成本，222 5 6 2 5255 6 2 525)( xxxxC ?????5 6 2 5255 6 2 51025)( 2 ?????? xxxxC設(shè)每 x天送一次貨 一個周期內(nèi)制作成本 = 貯存成本 +運(yùn)送成本 150)( ??? xxC 得唯一駐點(diǎn)令)15(的約束條件舍去 不合原題??x值點(diǎn)的極小值點(diǎn)、也是最小為天據(jù)題意 )()(15 xCx ?)(7501556251525)15( 元周期內(nèi)的最小平均成本 ????C)(751555 件為每次應(yīng)送原材料的件數(shù) ???x∴ 原題所求的結(jié)果分別為： 75件 、 15天 設(shè)每次送 x件原材料 5 6 2 55 6 2 55102)( 2 ?????? xxxxCxxx xCxC 5 6 2 5)()( ???05 6 2 55 6 2 51)( 222 ?????? xxxxC令即為最小值點(diǎn)唯一駐點(diǎn)件得 )(75?x45 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 某商店半年銷售 2022件小器皿 ， 均勻銷售 ， 為節(jié)約庫存費(fèi) ，分批進(jìn)貨；每批進(jìn)貨費(fèi)為 600元 ， 每件器皿的庫存費(fèi)為每月 ，試列出庫存費(fèi) 、 進(jìn)貨費(fèi)之和與批量之間的函數(shù)關(guān)系 。(x) + 0 + 0 0 + f (x) 單 ↑ 0 單 ↑ 單 ↓ 0 單 ↑ 31253456單調(diào)減少，內(nèi)單調(diào)增加；在，及，、在 )151()1()511()1()( ??????? xf0)1(31253456)51( ?? ff ，極小值極大值36 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 二、函數(shù)的最值 ；是針對某個閉區(qū)間而言則是一個全局性概念，值、最小值最大；而最值是對某點(diǎn)及其鄰域而言極值是局部性概念，只)(最值最大值、最小值統(tǒng)稱為值、最小值上連續(xù)，則必存在最大，在閉區(qū)間若函數(shù) ][)( baxfy ?方法：確定最大值、最小值的為最小值。(x) + 0 0 + f (x) 單 ↑ 單 ↓ 單 ↑ 單調(diào)減少，內(nèi)單調(diào)增加；在，及，在 )21()2()1()( ????? xf例 2 見教材 P112例 2 分界點(diǎn)討論函數(shù)單調(diào)性處為無定義點(diǎn)，以此為 1??x29 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 例 3 221)1l n (0 xxxx ???? 時，證明證： ，函數(shù)欲證該不等式，需構(gòu)造 )21()1l n ()( 2xxxxf ????)1(D)21()1l n ()( 2 ??????? ，：，令 xxxxf)0(0111 1)( 2 ????????? xxxxxxf)0()()0()( fxfxf ????? ，即單調(diào)，在0)0()(0)0( ???? fxff ，又 ?0)21()1l n ()( 2 ????? xxxxf即得證221)1l n ( xxx ????xxx1321 ??? 時，證明補(bǔ)充作業(yè)： (單調(diào)性證不等式 ) 是單調(diào)增函數(shù)； )(0)(/1 xfxf ???)0(0)(/2 0 較多常證起點(diǎn)處函數(shù)值非負(fù)，通 ??xf證二點(diǎn)： 30 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 167。 解： xxx ln)ln ( c o tlim0 ??求解： xxx 3t a nt a nlim2??求17 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 例 6 xe xx ???lim][???1limxxe????????????? )1(ln aaxx x xa 、 時，當(dāng)慢 快 例 7 nxx xe???lim][???1lim ???? nxx nxe2][)1(