高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六講函數(shù)的單調(diào)性奇偶性和周期性(存儲版)
【正文】 ? ? ?只 有 兩 種 情 況 ① ②由①知 x2+3x3=0,故兩根之和為 x1+x2=3. 由②知 x2+5x+3=0,故其兩根之和為 x3+x4=5. 因此滿足條件的所有 x之和為 8. 6. (基礎(chǔ)題 ,易 )已知奇函數(shù) f(x)在區(qū)間 [3,7]上是增函數(shù) ,且最小值為 5,那么函數(shù) f(x)在區(qū)間 [4,3]上 ( ) A. 是增函數(shù)且最小值為 5 B. 是增函數(shù)且最大值為 5 C. 是減函數(shù)且最小值為 5 D. 是減函數(shù)且最大值為 5 答案 : B 解析 :∵f(x) 為奇函數(shù) ,∴f(x) 的圖象關(guān)于原點對稱 . ∵f(x) 在 [3,7]上是增函數(shù) , ∴f(x) 在 [7,7]上也是增函數(shù) . ∵f(x) 在 [3,7]上的最小值為 5, ∴ 由圖可知函數(shù) f(x)在 [7,3]上有最大值 5. 評析 :本題既涉及到函數(shù)的奇偶性 ,又涉及到函數(shù)的單調(diào)性 ,還涉及到函數(shù)的最值 ,是一道綜合性較強(qiáng)的題目 ,由于所給的函數(shù)沒有具體的解析式 ,因此我們畫出函數(shù) f(x)在區(qū)間 [3,7]上的示意圖 ,由圖形易得結(jié)論 . 二 ?填空題 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?. ( 201 0 , ) ( ) ,112 1 0 , 1 , 2 ,24200 9 ___ ___ __ .fxx f x f x f ff?? ? ? ? ? ? ??7R★ 新 創(chuàng) 題 中 已 知 函 數(shù) 的 定 義 域 為且 f則1:4?答 案8. (2022 ③ 若函數(shù) f(x1)的圖象關(guān)于直線 x=1對稱 ,則 f(x)為偶函數(shù) 。 (2)f(x)是周期函數(shù) ,并且有一個周期為 4a. 。如f(x)=x2k+1,A=[2k1,2k],B=[0,1],k∈Z,f(x) 是周期函數(shù) ,但不是常函數(shù) ,所以④錯誤 . 9. (能力題 ,中 )對于定義在 R上的函數(shù) f(x),有下述四個命題 ,其中正確命題的序號為 ________. ① 若 f(x)是奇函數(shù) ,則 f(x1)的圖象關(guān)于點 A(1,0)對稱 。 鄭州 )定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足 :對于任意α ,β ∈R, 總有 f(α +β )[f(α )+f(β )]=2022,則下列說法正確的是 ( ) (x)1是奇函數(shù) (x)+1是奇函數(shù) (x)2022是奇函數(shù) (x)+2022是奇函數(shù) 答案 :D 解析 :依題意 ,取 α =β =0,得 f(0)=2022。如果 y=f(u)和 u=g(x)單調(diào)性相反 ,那么 y=f[g(x)]是減函數(shù) . 2. 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟 (1)首先確定函數(shù)的定義域 ,并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱 。 日照調(diào)研 )設(shè) f(x)是 (∞,+∞) 上的奇函數(shù) ,對任意實數(shù) x,都有 f(x+2)=f(x),當(dāng) 1≤x≤1 時 ,f(x)=x3. (1)求證 :直線 x=1是函數(shù) f(x)圖象的一條對稱軸 。 f(x)=0,或直接判斷 f(x)與 f(x)的關(guān)系 。若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點的對稱區(qū)域 ,再判斷 f(x)是否等于 177。 (4)判斷 :根據(jù)定義作出結(jié)論 . 2. 直接法 :運(yùn)用已知的結(jié)論 ,直接得到函數(shù)的單調(diào)性 .如一次函數(shù) ?二次函數(shù) ?反比例函數(shù)的單調(diào)性均可直接說出 . 了解以下結(jié)論 ,對直接判斷函數(shù)的單調(diào)性有好處 : (1)函數(shù) y=f(x)與函數(shù) y=f(x)的單調(diào)性相反 。()f x a fx? ? ?( ) 1( ) 。 c. 判號 :即判斷 f(x1)f(x2)是正還是負(fù) ,也就是證 f(x1)f(x2)0還是 f(x1)f(x2)0。 b. 作差 。()f x a fx??1( ) 。 (3)定號 :確定差值 Δ y的符號 ,當(dāng)符號不確定時 ,可考慮分類討論 。x 1 x 04 f x .x 1 x 0xx? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??????? ?????2x1 f x x x 1 x 11x2 f x x 1 x1x113 f x a 0 aa 1 2，[分析 ]判斷函數(shù)的奇偶性 ,首先要檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱 ,若關(guān)于原點對稱 ,再嚴(yán)格按照奇偶性的定義進(jìn)行推理判斷 . [解 ](1)由于 f(x)=x2|x|+1,x∈[ 1， 4]的定義域不是關(guān)于原點對稱的區(qū)間 ,因此 ,f(x)是非奇非偶函數(shù) . (2)∵f(x)=(x 1) ,已知 f(x)的定義域為 1x1,其定義域關(guān)于原點對稱 . 即 f(x)=f(x),∴f(x) 是偶函數(shù) . ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?1xf x x 11x( ) 1 x1xx11 x 1 x()1 x 1 x1x1 x 1 x1 x x 1 f x ,1 x 1 x?? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???221x1 x 1 x又1x1x??(3)∵f(x) 的定義域為 x∈R, 且 x≠0, 其定義域關(guān)于原點對稱 ,并且有 即 f(x)=f(x),∴f(x) 為奇函數(shù) . ? ?? ?1 ( )211()2 1 2f x ,fx?? ? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????xxxxxxxx1 1 1 11a 1 2 21aa 1 a 1 11 a 1 a 21111 a a(4) 的定義域關(guān)于原點對稱 , ∵ 當(dāng) x0時 ,x0, ∴f( x)=(x)[1(x)]=x(1+x)=f(x)(x0). 當(dāng) x0時 ,x0, ∴f( x)=(x)[1(x)]=x(1x)=f(x)(x0). ∴f( x)=f(x),∴f(x) 為奇函數(shù) . ? ? ? ? ? ?? ? ? ? x x xfx x x x????? ? ????10[評析 ]判斷函數(shù)的奇偶性 ,一般有以下幾種方法 : (1)定義法 :若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點的對稱區(qū)域 ,則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 。 (2)可考慮 f(x)177。 (2)f(x)是奇函數(shù)且關(guān)于直線 x=a對稱 ,則 T=4|a|. (上述結(jié)論中的 T為函數(shù)的周期 ,但不一定是最小正周期 ). 典例 4 (2022 (6)如果 y=f(u)和 u=g(x)單調(diào)性相同，那么 y=f[f(x)]是增函數(shù) 。 廣東模擬題 )設(shè)函數(shù) 則函數(shù) g(x)的遞減區(qū)間是 ( ) A.(∞,0] B.[0,1) C.[1,+∞)
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