高三數(shù)學一輪復習第六講函數(shù)的單調性奇偶性和周期性-全文預覽
【正文】 述結論時要注意各函數(shù)的定義域 ). 類型三 :函數(shù)的單調性與奇偶性綜合問題 解題準備 :1. 討論函數(shù)的單調性和奇偶性時 ,應先確定函數(shù)的定義域 . 2. 奇函數(shù)在關于原點對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性 ,偶函數(shù)在關于原點對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性 . 3. 將函數(shù)的奇偶性和單調性綜合運用是考查函數(shù)性質的重要題型 . 典例 3已知函數(shù) 求函數(shù) f(x)的定義域 ,并討論它的奇偶性和單調性 . 1010xxx??????? ??[分析 ](1)由 可求定義域 。 f(x)是否等于零 ,或判斷 是否等于 177。 ( , 1 ) 。 (3)在公共區(qū)間內 ,增函數(shù) +增函數(shù) =增函數(shù) ,增函數(shù) 減函數(shù) =增函數(shù)等 。 (2)作差變形 :作差 Δ y=f(x2)f(x1),并通過因式分解 ?配方 ?有理化等方法 ,向有利于判斷差值符號的方向變形 。1 ( )fxf x afx????若 f(x)同時關于 x=a與 x=b對稱 (ab),則 f(x)是周期函數(shù) ,__________是它的一個周期 。② ③ ④ ⑤ ⑥ f(x+a)=f(xa),則 f(x)是 ________函 數(shù) ,________是它的一個周期 .(上述式子分母不為零 ) 周期 2a 1( ) 。(2)一定要判斷商式的分母的“ +” ?“ ”號 ,這樣不至于變形變錯 . ()()12fxfx(),()21fxfx()()21fxfx③ 函數(shù)的單調性是一個“區(qū)間概念” ,如果一個函數(shù)在定義域的幾個區(qū)間上都是增 (減 )函數(shù) ,不能說這個函數(shù)在其定義域上是增 (減 )函數(shù) . ④ a. 若 f(x)與 g(x)在定義域內均是增函數(shù) (減函數(shù) ),那么f(x)+g(x)在其公共定義域內是增函數(shù) (減函數(shù) ). b. 復合函數(shù)的單調性判斷 ,要注意掌握“同則增 ,異則減” . c. 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調性 . 2. 函數(shù)的最值 (1)函數(shù)的最值的概念 設函數(shù) y=f(x)的定義域為 I,如果存在實數(shù) M,滿足 : ① a. 對 ________的 x∈I, 都有 ________. b. ________x0∈I, 使得 ________. 則稱 M是函數(shù) y=f(x)的 ________. ② a. 對任意的 x∈ ________,都有 f(x)≥N. b. 存在 x0∈I, 使得 ________是 f(x)的最小值 . 任意 f(x)≤M 存在 f(x0)=M 最大值 I f(x0)=N N (2)函數(shù)的最值求法 ①若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù) ,常用配方法 . ② 函數(shù)單調性的變化是求最值和值域的主要依據 ,函數(shù)的單調區(qū)間求出后 ,再判斷其增減性是求最值和值域的前提 ,當然 ,函數(shù)圖象也是函數(shù)單調性的最直觀體現(xiàn) . ③ 基本不等式法 :當函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常用此法 . ④ 導數(shù)法 :當函數(shù)較復雜 (如指 ?對數(shù)函數(shù)與多項式結合 )時 ,一般采用此法 . ⑤ 數(shù)形結合法 :畫出函數(shù)圖象 ,找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義 ,在圖上找其變化范圍 . 3. 函數(shù)的奇偶性 (1)函數(shù)的奇偶性的定義 任意 f(x)=f(x) y軸 任意 f(x)=f(x) 原點 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果函數(shù) f(x)的定義域內________x都有 ____________，那么函數(shù) f(x)是偶函數(shù) . 關于 ____對稱 奇函數(shù) 如果函數(shù) f(x)的定義域內________x都有 ____________，那么函數(shù) f(x)是奇函數(shù) . 關于 ____對稱 (2)對函數(shù)奇偶性的理解 ①函數(shù)奇偶性的判斷 a. 首先看函數(shù)的定義域 ,若函數(shù)的定義域不關于原點對稱 ,則函數(shù)既不是奇函數(shù) ,也不是偶函數(shù) . b. 若函數(shù)的定義域關于原點對稱 ,再看 f(x)與 f(x)的關系 .若 f(x)=f(x),則函數(shù)是奇函數(shù) 。三是同屬于一個單調區(qū)間 ,三者缺一不可 . ② 證明單調性的步驟 a. 取值 。二是有大小 ,即 x1x2(x1x2)。 d. 下結論 :即判斷 f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù) . 溫馨提示 :函數(shù)單調性的判斷也可以利用求商法 ,即 或 但要注意兩點 :(1)此商式要與“ 1”進行比較 ,即 大于 1還是小于 1。若 f(x)≠f(x) 且 f(x)≠ f(x),則 f(x)既不是奇函數(shù) ,也不是偶函數(shù) . ② 在公共定義域內 a. 兩奇函數(shù)的積與商 (分母不為零時 )為偶函數(shù) ,兩奇函數(shù)的和是奇函數(shù) . b. 兩偶函數(shù)的和 ?積與商 (分母不為零 )為偶函數(shù) . ③ 奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性一致 ,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反 . 4. 函數(shù)的周期性 (1)對于函數(shù) f(x),如果存在一個 ________常數(shù) T,使得當 x取定義域內的 ________值時 ,都有 _____________,那么函數(shù) f(x)叫做周期函數(shù) ,非零常數(shù) T叫 f(x)的 期中存在一個 _______________,那么這個 ________就叫 f(x)的最小正周期 . (2)周期函數(shù) ________有最小正周期 ,若 T≠0 是 f(x)的周期 ,則 kT(k∈Z)(k≠0) 也一定是 f(x)的周期 ,周期函數(shù)的定義域無 ________界 . 非零 每一個 f(x+T)=f(x) 周期 最小的正數(shù) 最小正數(shù) 不一定 上 ?下 (3)設 a為非零常數(shù) ,若對 f(x)定義域內的任意 x,恒有下列條件之一成立 :① f(x+a)=f(x)。( ) 1fxf x afx????1 ( )( ) 。 湖北 )已知 f(x)在 R上是奇函數(shù) ,且 f(x+4)=f(x),當 x∈(0,2) 時 ,f(x)=2x2,則 f(7)=( ) A. 2 B. 2 C. 98 D. 98 解析 :由題設 f(7)=f(3)=f(1)=f(1)=2 12=2. 答案 :A 5. 若定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足 :對任意 x1,x2∈R 有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法一定正確的是 ( ) A. f(x)為奇函數(shù) B. f(x)為偶函數(shù) C. f(x)+1為奇函數(shù) D. f(x)+1為偶函數(shù) 解析 :令 x1=x2=0,得 f(0)=2f(0)+1,f(0)=1,所以 f(xx)=f(x)+f(x)+1=1,f(x)+f(x)+1+1=0, 即 f(x)+1=[f(x)+1
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