【正文】 當直線DE與x軸垂直時， 此時，四邊形DMEN的面積；同理當MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積.②當直線DE、MN均與x軸不垂直時，設(shè)直線，.由，消去得：. 則，.所以，；同理 . 所以四邊形DMEN的面積，令，得：因為，當時，且S是以u為自變量的增函數(shù)，所以. 綜上可知，．故四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為.【E4】（2010 山東 文）如圖，已知橢圓 過點.，離心率為，左、右焦點分別為、.點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線、的斜線分別為、. ① 證明：；② 問直線上是否存在點，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.【解】（1）。【E5】直線與橢圓交于，兩點，已知， ，若且橢圓的離心率，又橢圓過點，O為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的焦點（c為半焦距），求直線l的斜率k的值；（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.【解】（1）∵ ∴ ∴橢圓的方程為 （2）依題意，設(shè)l的方程為 由 顯然 由已知 得： 解得 （3）①當直線AB斜率不存在時，即，由已知，得 又在橢圓上， 所以 ,三角形的面積為定值. ②當直線AB斜率存在時：設(shè)AB的方程為 必須 即 得到， ∵，∴ 代入整理得： 所以三角形的面積為定值。（3）在曲線E上是否存在與t無關(guān)的定點S，使得？若存在，求所有滿足條件的點S；若不存在，說明理由。 假設(shè)曲線E上存在與t無關(guān)的點，滿足，則有： ， 即：。綜上，直線 MN過定點。同理可得：② 若，則有：，求得：此時直線MN的方程為，所以直線過點。 于是， 由已知：。（1）求曲線E的方程。 ⑴若，由可求得：，從而得：⑵若，由可求得：，從而得：。當且僅當，即時取等號。 設(shè)，則，又由③可知：。 18. 120176。【例19】（2011 山東高考理22）已知動直線與橢圓：交于 兩不同點，且的面積，其中為坐標原點．（1）證明：和均為定值；（2）設(shè)線段的中點為，求的最大值；（3）橢圓上是否存在三點，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由．【解】（1）當直線的斜率不存在時，兩點關(guān)于軸對稱，則，由在橢圓上，則，而， 則， 于是，.當直線的斜率存在，設(shè)直線為，代入可得，即，則，即 ，又由韋達定理，可得： 于是又有：，所以 則， 滿足，綜上可知.（2）當直線的斜率不存在時，由（Ⅰ）知當直線的斜率存在時，由（Ⅰ）知， 即 所以 又 所以 ，當且僅當，即 時等號成立，綜上可知的最大值為。 易知：，所以直線AB的方程為，即，亦即。所以.令，則。 （1）分別求曲線、的方程。（1）寫出橢圓和拋物線的方程；（2）在拋物線上是否存在點P，使得過點P的切線與橢圓相交于A，B兩點，且滿足？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【解】（1） （2）假設(shè)在拋物線上存在點P滿足條件。（2）假設(shè)拋物線的準線上存在點，使得為正三角形。于是有， 又h 1，故求得：?！窘狻浚?）由已知： ，設(shè)E（x，y） 直線的方程為： 直線的方程為： 得：?！窘狻浚?）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓C的方程為 （2）直線AS的斜率k顯然存在，且k 0，故可設(shè)直線AS的方程為，從而聯(lián)立 消去y得:0設(shè)則 得，從而 即 又 由得: 故又 當且僅當，即時等號成立，時，|MN|取最小值（3）由（Ⅱ）可知，當|MN|取最小值時， 此時BS的方程為 要使橢圓C上存在點T，使得的面積等于，只須T到直線BS的距離等于， 所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l上。 （2）由已知：D（2，0）. 。即 。 【注】在圓錐曲線中判斷點與圓的位置關(guān)系，常采用向量法。于是以BD為直徑的圓E的圓心為，半徑為。 故橢圓C的方程為 【注】題目中的向量條件往往轉(zhuǎn)化為坐標之間的關(guān)系。 （1）求橢圓C的方程； （2）若圓P與軸相切，求圓心P的坐標； （3）設(shè)是圓P上的動點，當變化時，求y的最大值.【解】（1）因為，且，所以 所以橢圓C的方程為. （2） 得： 所以圓P的半徑為。（9）為正三角形：點C在的垂直平分線上，且滿足，其中M為的中點。在涉及直線、圓的軌跡問題時，常從幾何角度去探求動點滿足的關(guān)系，選用幾何法；如果題目沒有直接給出動點所滿足的條件，而是給出了與動點相關(guān)的點所滿足的條件，先設(shè)動點坐標為，再把相關(guān)點的坐標用動點的坐標來表示，根據(jù)相關(guān)點的條件列式，此即為相關(guān)點法；參數(shù)法是求軌跡方程常用的方法，合理引入?yún)?shù)（通常是相關(guān)點的坐標）列式，消去參數(shù)得到關(guān)于的方程，要求所列方程的數(shù)目要比引入的參數(shù)多一個，才能消去所有參數(shù)。（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。在目標函數(shù)的變形上有一定的技巧，關(guān)于弦長，面積表達式的變形，常用到移入根號，分離常數(shù)，換元等方法，把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)的形式，或用基本不等式，或利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。值得注意的是，用聯(lián)立方程法，設(shè)直線方程時，為簡化運算，可采用這種的策略，若直線過軸上的定點，則直線方程可設(shè)為（此直線不包括軸），聯(lián)立方程，消去，得到關(guān)于的方程，求出備用。如果涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，還要聯(lián)立方程，用坐標法找關(guān)系。在解方程（組）求a，b時，要注意考題中經(jīng)常出現(xiàn)的幾種方程的形式，對于復雜的方程（組），常常是觀察——猜想——驗證，得出a，b的值。反之，也成立。 2. 雙曲線的補充性質(zhì)（在解雙曲線問題時常遇到）：① 平行于漸近線（斜率為）的任一條直線與雙曲線有唯一交點.②若斜率為k的直線與雙曲線的兩支各交于一點，則，若直線只與雙曲線的同一支相交于兩點，則。 ③ 設(shè)右（左）準線與軸交于點E，過E點的直線與橢圓交于P,，Q兩點，點與點P關(guān)于軸對稱，則直線一定過橢圓的右（左）焦點F。1. 從命題形式上看，以解答題為主，難度較大。 反之，過橢圓右（左）焦點F的直線交橢圓于兩點，則直線的交點P在橢圓的右（左）準線上。⑦雙曲線和稱為共軛雙曲線共軛雙曲線的性質(zhì)：⑴漸近線相同 ； ⑵ 3. 拋物線的常用性質(zhì)（常在解題中遇到）：（1）拋物線的焦點性質(zhì)：已知拋物線：，過焦點的直線交于兩點，分別過作準線的垂線，垂足分別為，設(shè)直線的傾斜角為，則： ① ，.② .③ ，當時，的最小值為。 ② 切線的交點坐標為：， 即 。能求出，也就求得了離心率。4. 證明定點，定值，定直線問題可先取參數(shù)的特殊值（或圖形的特殊位置），對定點，定值，定直線進行探求，然后證明當參數(shù)變化時，結(jié)論成立。對于直線，無特殊交代時，通常注意分兩種情況：①直線的斜率存在，消元后，注意；②直線的斜率不存在，即直線為。具體解法如下：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系。（6）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式D179。（1）弦的中點： 弦AB的中點坐標可表示為 （2）弦的垂直平分線過定點或：弦的垂直平分線方程為：。線段AB的垂直平分線方程為，若CD垂直平分AB， 則圓心G是CD的中點，且有.【高考真題、模擬題解析】【例1】（2010 安徽）橢圓E經(jīng)過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點軸上，離心率 （1）求橢圓E的方程； （2）求的角平分