【正文】 】（1）設點P的坐標為，則點Q的坐標為，依據(jù)題意，有. .動點P所在曲線C的方程是（2）因直線l過點B，且斜率為，故有 聯(lián)立方程組，消去y，得 設，可得:，于是 又，得，即而點G與點H關(guān)于原點對稱， 于是，可得點。 （2）設直線l的方程為，且設， 聯(lián)立，消去x，得：， 則有， 又由韋達定理得：。 【專題演練之基本訓練題】1．已知橢圓的焦點是FF2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動點Q的軌跡是（　?。〢．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線2．設FF2為橢圓＋y2＝1的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P、Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時， （2）設，由得：，所以。 聯(lián)立，消去y，得： 因為直線與拋物線相切，所以，即 。所以 令，則 （1）當時，. 當且僅當時取等號，所以（2）當時，函數(shù)在上遞增，所以當，即時，取得最小值且、【例15】已知直線l過拋物線的焦點F，交拋物線與A,，B兩點，C是拋物線的準線上任一點 （1）證明：不可能為鈍角 （2）是否存在這樣的點C，使得 為正三角形？若存在，求點C 的坐標，若不存在，說明理由。聯(lián)立，因為，所以直線與橢圓沒有交點。（2）設橢圓C的右準線l與x軸交于點D，求的面積的最大值，并求出當面積最大時的正切值。 ②若 ，即，則有， 所以直線PF的方程為 。因為點在圓P上， 所以 設，則 當，即，且，y取最大值2．【注】對于形如的函數(shù)，可采用三角代換法求最值，令，則，于是有：。（1）弦的中點： 弦AB的中點坐標可表示為 （2）弦的垂直平分線過定點或：弦的垂直平分線方程為：。具體解法如下：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系。4. 證明定點，定值，定直線問題可先取參數(shù)的特殊值（或圖形的特殊位置），對定點，定值，定直線進行探求，然后證明當參數(shù)變化時，結(jié)論成立。 ② 切線的交點坐標為：， 即 。 反之，過橢圓右（左）焦點F的直線交橢圓于兩點，則直線的交點P在橢圓的右（左）準線上。 ③ 設右（左）準線與軸交于點E，過E點的直線與橢圓交于P,，Q兩點，點與點P關(guān)于軸對稱，則直線一定過橢圓的右（左）焦點F。反之，也成立。如果涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，還要聯(lián)立方程，用坐標法找關(guān)系。在目標函數(shù)的變形上有一定的技巧，關(guān)于弦長，面積表達式的變形，常用到移入根號，分離常數(shù)，換元等方法，把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)的形式，或用基本不等式，或利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。在涉及直線、圓的軌跡問題時，常從幾何角度去探求動點滿足的關(guān)系，選用幾何法；如果題目沒有直接給出動點所滿足的條件，而是給出了與動點相關(guān)的點所滿足的條件，先設動點坐標為，再把相關(guān)點的坐標用動點的坐標來表示，根據(jù)相關(guān)點的條件列式，此即為相關(guān)點法；參數(shù)法是求軌跡方程常用的方法，合理引入?yún)?shù)（通常是相關(guān)點的坐標）列式，消去參數(shù)得到關(guān)于的方程，要求所列方程的數(shù)目要比引入的參數(shù)多一個，才能消去所有參數(shù)。 （1）求橢圓C的方程； （2）若圓P與軸相切，求圓心P的坐標； （3）設是圓P上的動點，當變化時，求y的最大值.【解】（1）因為，且，所以 所以橢圓C的方程為. （2） 得： 所以圓P的半徑為。于是以BD為直徑的圓E的圓心為，半徑為。即 ?！窘狻浚?）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓C的方程為 （2）直線AS的斜率k顯然存在，且k 0，故可設直線AS的方程為，從而聯(lián)立 消去y得:0設則 得，從而 即 又 由得: 故又 當且僅當，即時等號成立，時，|MN|取最小值（3）由（Ⅱ）可知，當|MN|取最小值時， 此時BS的方程為 要使橢圓C上存在點T，使得的面積等于，只須T到直線BS的距離等于， 所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l上。于是有， 又h 1，故求得：。（1）寫出橢圓和拋物線的方程；（2）在拋物線上是否存在點P，使得過點P的切線與橢圓相交于A，B兩點，且滿足？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【解】（1） （2）假設在拋物線上存在點P滿足條件。所以.令，則?！纠?9】（2011 山東高考理22）已知動直線與橢圓：交于 兩不同點，且的面積，其中為坐標原點．（1）證明：和均為定值；（2）設線段的中點為，求的最大值；（3）橢圓上是否存在三點，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由．【解】（1）當直線的斜率不存在時，兩點關(guān)于軸對稱，則，由在橢圓上，則，而， 則， 于是，.當直線的斜率存在，設直線為，代入可得，即，則，即 ，又由韋達定理，可得： 于是又有：，所以 則， 滿足，綜上可知.（2）當直線的斜率不存在時，由（Ⅰ）知當直線的斜率存在時，由（Ⅰ）知， 即 所以 又 所以 ，當且僅當，即 時等號成立，綜上可知的最大值為。 設，則，又由③可知：。 ⑴若，由可求得：，從而得：⑵若，由可求得：，從而得：。 于是， 由已知：。綜上，直線 MN過定點。（3）在曲線E上是否存在與t無關(guān)的定點S，使得？若存在，求所有滿足條件的點S；若不存在，說明理由?！綞3】設橢圓：的焦點分別為、拋物線C: 的準線與軸的交點為A，且．（1）求橢圓的方程；（2）過、分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖），求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．【解】（1）由題意，. 拋物線:的準線為，所以點A的坐標為.，為的中點. ， 即橢圓方程為. （2）①當直線DE與x軸垂直時， 此時，四邊形DMEN的面積；同理當MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積.②當直線DE、MN均與x軸不垂直時，設直線，.由，消去得：. 則，.所以，；同理 . 所以四邊形DMEN的面積，令，得：因為，當時，且S是以u為自變量的增函數(shù)，所以. 綜上可知，．故四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為.【E4】（2010 山東 文）如圖，已知橢圓 過點.，離心率為，左、右焦點分別為、.點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線、的斜線分別為、. ① 證明：；② 問直線上是否存在點，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.【解】（1）。設， 聯(lián)立，消去x得： 則有： 又由韋達定理得： ， 易知，所以， 因為， 即，所以直線與的傾斜角互補，故。 （3）設，則直線PQ的方程為：， 聯(lián)立，消去y得：。【解】（1）。 由（1）可得：，從而， 由得：，即，所以。 因為是雙曲線上兩個不同的動點， 所以不與雙曲線的左右頂點重合，所以， 又當x = 0時，直線與直線分別與雙曲線的兩條漸近線平行，此時P、Q不可能在雙曲線上，所以 。函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故。（1）求橢圓C的方程；（2）求三角形MNT的面積的最大值【解】（1）由已知：b = 2，設P（4，），則, 又由已知：，即，從而。 （1）求橢圓C的方程。（10）A、B與C、D四點共圓：當A、C、B、D四點共圓時，其圓心是線段AB的垂直平分線與線段CD的垂直平分線的交點G，且滿足|GA|=|GC|。因此，它們的應用價值在于：① 通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點的坐標；② 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題。若直線過軸上的定點，則直線方程可設為（此直線不包括軸），聯(lián)立方程，消去y。在橢圓中，有：；在雙曲線中，有：。⑤在焦點三角形中，設，則焦點三角形的面積⑥設P是雙曲線右（左）支上任一點，則的內(nèi)切圓與x軸的切點為雙曲線的右（左）頂點。高考數(shù)學專題復 （第2輪 難點突破）圓錐曲線專題復習與訓練——常用性質(zhì)歸納、解題方法探尋、典型例題