變量代換法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(存儲版)
【正文】 復(fù)合函數(shù)運(yùn)算過程中使用的微分法在這里進(jìn)行反過程的運(yùn)用用來求解不定積分,這樣也能夠得到相應(yīng)的解答,這樣的運(yùn)算方法就是換元積分法。例1 求解。例3 求解。如果被積函數(shù)中含有二次根式或者是以及分母中含有x的冪，可以令倒代換化去根式變成關(guān)于t的有理式。有些題目沒有上文中提到的所有方法的一般規(guī)律，不容易直接積分，可以按照第二換元法的思想選擇作一變量代換，使被積函數(shù)形式關(guān)于新變量而言易于積分。這個(gè)二階方程來做例子，將其中的，這樣就可以讓原來的方程化解成為，這就變成了一個(gè)關(guān)于變量x和p的一個(gè)一階的微分方程，就可以很簡單的進(jìn)行進(jìn)一步的求解。分析：貝努力方程實(shí)際上是一階線性方程的變異類型，因此仍然可以沿用求解一階線性微分方程的解法。例1 求的通解。解：利用歐拉公式可以將上述的方程進(jìn)行化簡可得：這是一個(gè)極為容易求解的三階線性常系數(shù)微分方程，通過這種轉(zhuǎn)化，使得方程求解方便。綜合上述分析可以看到，變量代換法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是極其廣泛的。同時(shí)，這種方法的運(yùn)用也題型了學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不要僅僅局限于一種方法,要嘗試用各種方法來解題，掌握使用各種方法的特點(diǎn)和技巧，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn),提高解決問題的能力。它是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中將復(fù)雜的數(shù)學(xué)形式及不可直接求解的形式通過變量替換進(jìn)行形式轉(zhuǎn)化，使問題變得簡潔而易于求解的重要方法。故其傅立葉級數(shù)便為，其中，（n=0,1,2,3….）。例1 求解的通解。這種通過變量代換使得微分方程降階的解法還適用于這一類的方程。此時(shí)直接利用一階方程的求解公式便可以求出。分析：觀察等式左右兩端，左端被積式為，右端被積式為，而，所以考慮作一變量代換令，則，因?yàn)?，所以可以得到，整理可以得到：。分析：這種類型的題目符合上述的萬能公式的特點(diǎn)，因此可以進(jìn)行上文中提到的求解方法。分析：此題如果令x=acht，原式轉(zhuǎn)化，則極易計(jì)算。被積分的函數(shù)式含有可以看作是中c=0，d=1的特殊情形。而將變量代換法在進(jìn)行定積分的求解過程中的應(yīng)用中則是需要假設(shè)f(x)函數(shù)是在區(qū)間[a,b]之中連續(xù)的,然后在其中用x=Φ(t)來做變量代換法的應(yīng)用,其中的Φ(t)函數(shù)是在封閉的區(qū)間[A,B]之中有著連續(xù)導(dǎo)數(shù)Φ’(t)的一個(gè)函數(shù),而當(dāng)t的取值范圍是在α和β之間并且包括中兩個(gè)數(shù)值的時(shí)候,Φ(t)的取值范圍則是在a和b之間,并且包括了a和b這兩個(gè)數(shù)值,并且Φ(α)=a,Φ(β)=b,在這樣的條件之下才會得出在使用變量代換法的定積分的運(yùn)算中所需要的。分析：這是一類求解多元函數(shù)的極限問題，因此常規(guī)方法無法實(shí)現(xiàn)，利用變量代換可以起到事半功倍的效果。分析：這種類型的題目可以0下面通過各類計(jì)算中的典型例子加以具體闡述變量代換法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用。合理代換往往能簡化題目的信息，凸顯隱含條件，溝通量于量之間的關(guān)系，對發(fā)現(xiàn)解題思想，優(yōu)化解題過程有著重要的作用。 Mathematics。它在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中是一項(xiàng)非常重要的實(shí)用方法，不僅是一種重要的解題技巧，還是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，這種方法幾乎貫穿了高等數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容，具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)。當(dāng)我們在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用變量代換法的時(shí)候,應(yīng)該遵循應(yīng)用變量代換這種方法能夠?qū)⑦\(yùn)算變得簡便、將得到的代數(shù)式子變得標(biāo)準(zhǔn)化的這樣一個(gè)原則,也可以說是運(yùn)用了變量代換法之后能夠在運(yùn)算中達(dá)到的效果,在進(jìn)行變量代換之后對于新使用的變量的范圍要重新進(jìn)行選取,一定要讓新使用的變量的存在范圍落于原變量本來的取值范圍之中,不能有縮小當(dāng)然也不能有擴(kuò)大,這樣才能夠在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中達(dá)到使用變量代換法所想要達(dá)到的效果。分類包括局部代換法（在整體中的某一個(gè)難以直接運(yùn)算的小部分進(jìn)行代換）、整體代換法（全部函數(shù)式進(jìn)行代換）、三角代換（通過設(shè)定一個(gè)未知數(shù)代替原有的三角函數(shù)）、分式代換（設(shè)定為未知數(shù)代替原有的分式，簡化計(jì)算）、對稱代換法（利用函數(shù)的對稱特點(diǎn)，設(shè)定未知數(shù)進(jìn)行替換）、增量代換法（利用未知數(shù)替換原有增量式）。解：可以令x+y=u，xy=v，此時(shí)依次為一個(gè)一元二次方程，可以求解出，然后原表達(dá)式就變?yōu)椋航?jīng)過化簡之后，可以得到：將u，v為x，y所替代，就可以得到元f（x，y）的表達(dá)式。例3 求解。換元
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