因式分解[競賽題]含答案(存儲版)
【正文】 一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(xa)，那么f(x)就可以分解為(xa)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進(jìn)行分解了． 3．待定系數(shù)法 待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用． 在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法． 例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析 由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決． 解 設(shè) x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比較兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，則有 解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學(xué)們自己解一下．※※變式練習(xí) ?。簒42x327x244x+7．分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是177。b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)； (4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)． 下面再補(bǔ)充幾個常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)； (7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+…+abn2+bn1)其中n為正整數(shù)； (8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2…+abn2bn1)，其中n為偶數(shù)； (9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2…abn2+bn1)，其中n為奇數(shù)． 運(yùn)用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．三、專題講解 例1 分解因式： (1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4； (2)x38y3z36xyz； 解 (1)原式=2xn1yn(x4n2x2ny2+y4) =2xn1yn[(x2n)22x2ny2+(y2)2] =2xn1yn(x2ny2)2 =2xn1yn(xny)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(2y)3+(z)33x(2y)(Z) =(x2yz)(x2+4y2+z2+2xy+xz2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c33abc． 本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)． 分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)33ab(a+b)． 這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo)． 解 原式=(a+b)33ab(a+b)+c33abc =［(a+b)3+c3］3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2c(a+b)+c2]3ab(a+b+c)
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