【正文】 Ｍ o的力偶，如圖 2－ 5a所示，根據(jù)力的平移定理的逆定理，可以把此力與力偶進(jìn)一步合成為一合力 Ｆ R 。求這三個(gè)力的合成結(jié)果。 如圖 226a 所示， 坐標(biāo)位置如圖示，試將此力系向點(diǎn) O 簡化。梁 AB 除受到主動(dòng)力 G、FP 作用外，還有未知約束反力，包括拉桿的拉力 FT 和鉸鏈 A 的約束反力 FAx、 FAy。 例 29 起重機(jī)重 10kNW? ，可繞鉛垂軸 AB 轉(zhuǎn)動(dòng)。 這是因?yàn)槠矫嫒我饬ο禎M足( ) 0AiM ?? F ，則表明該力系不可能簡化為一力偶，只可能是作用線通過 A 點(diǎn)的一合力或平衡。 ② 選取坐標(biāo)軸和矩心； 由于坐標(biāo)軸和矩心的選擇是任意的 ,在選擇時(shí)應(yīng)遵循以下原則 : a、坐標(biāo)軸應(yīng)與盡可能多的未知力垂直 (或平行 )； b、矩心應(yīng)選在較多未知力的匯交點(diǎn)處 . ③ 將各個(gè)力向兩坐標(biāo)軸投影 ,對(duì)矩心取力矩建立平衡方程求解； ④ 校核。因此平面平行力系獨(dú)立的平衡方程為 0( ) 0iyOiFM???? F 二矩式為 ( ) 0( ) 0AiBiMM????FF 其中， 矩心 A、 B 兩點(diǎn)的連線不能與各力的作用線平行。設(shè)兩桿和滑輪的自重不計(jì) ,并略去摩擦和滑輪的尺寸 ,求平衡時(shí)桿 AB 和 BC 所受的力。 P 2 0 k N , 1 6 k N m , 2 0 k N / m , = 0 . 8 mF M q a? ? ?。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 以工程實(shí)例 、動(dòng)畫 幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn)的理解來完成培養(yǎng)目標(biāo)。 ② 系統(tǒng)外力： 物體 系統(tǒng)所受的 主動(dòng)力和 外部約束反力 。因此， 本題是靜定的 問題 。所以，計(jì)算獨(dú)立平衡方程總數(shù)時(shí)，只對(duì)每個(gè)物體的平衡方程數(shù)計(jì)算后相加，而不應(yīng)將整體的平衡方程數(shù)目包括在內(nèi)。 （ 1）考察整體的平衡，作其受力圖，如圖 240b 所示。由左半拱的受力圖，如圖 239a 所示，這時(shí)應(yīng)注意 FCx 與 F′Cx、 FCy與 F ′Cy 互為作用力 與反作用力。 至此 A、 B、 C 三個(gè)鉸鏈處的約束反力已全部求出。經(jīng)分析題中的未知量也是 6 個(gè) （ 圖 240c、 d），故此題是靜定問題。 （ 2）考察組合梁整體的平衡（圖 d） ，列出平衡方程： 圖 239 43 0 s i n 0i x A x CF F F ?? ? ? ?? (2) 0 c o s 2 0i y A y CF F F q F?? ? ? ? ? ? ?? (3) ( ) 0 c o s 4 2 3 0A i A CM M F q l F?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? F (4) 將（ 1）代入（ 2）、（ 3）、（ 4）式分別解得： 10kN20kN30kNmAxAyAFFM??? 考察梁 AB、 BC 和組合梁整體的平衡 （ 圖 b、 c、 d），總共可列出 9 個(gè)平衡方程，但其中只有 6 個(gè)是獨(dú)立的?？梢?，梁 AB 和 BC 均受平面任意力系的作用，對(duì)兩部分總可以列出 23=6 個(gè)獨(dú)立的平衡方程。靜不定問題的解法將在第二篇材料力學(xué)中介紹。 （ 3）列平衡方程如下： P( ) 0 2 0A i B qaaM F a M F a? ? ? ? ?? 2F ① P00y A BF F F q a F? ? ? ? ?? ② 解方程 ① 、 ② 得： P 2 0 k N /m 0 .8 m 1 6 k N m2 2 2 0 k N 1 2 k N2 0 .8 mB q a MFF a ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 P 2 0 k N 2 0 k N / m 0 . 8 m 1 2 k N 2 4 k NABF F q a F? ? ? ? ? ? ? ? 圖 235 40 【教學(xué)內(nèi)容】 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 2． 5 物體系統(tǒng)的平衡問題 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 了解靜定與靜不定問題的概念及物體系統(tǒng)平衡問題的解法。 T 1 T 20 c o s 6 0 c o s 3 0 0i x B AF F F F? ? ? ? ? ? ?? T 1 T 20 c o s 3 0 c o s 6 0 0i y B CF F F F? ? ? ? ? ?? 圖 233 39 T 1 T 21 3 1 3 7. 32 kN2 2 2 2BAF F F G G? ? ? ? ? ? T 1 T 23 1 3 1 2 7 .3 2 k N2 2 2 2BCF F F G G? ? ? ? ? FAB 為負(fù)值，表示此力的實(shí)際指向與圖示相反，即 AB 桿受壓力。 例 211 如圖所示 ,物重 20kNG? ,用鋼絲繩經(jīng)過滑輪 B 再纏繞在絞車 D 上。各力在 x 軸上的投影均為零。任何第四個(gè)方程只是前三個(gè)的線性組合，因而都不是獨(dú)立的，我們可以利用這個(gè)方程來校核計(jì)算的結(jié)果。 （ 2）選取坐標(biāo)系 Axy，如圖 b 所示，列平衡方程并求解： 00ix A x BF F F? ? ?? 36 P00i y A xF F F W? ? ? ?? P( ) 0 5 m 1 . 5 m 3 . 5 m 0A i BM F F W? ? ? ? ? ? ? ?? F 解得： 31kNBF ?? 3 1 k N5 0 k NA x BAyFFF ? ? ?? FB 為負(fù)值，說明它的方向與受力圖中假設(shè)的方向相反，即正確的指向應(yīng)向左。 討論： 計(jì)算結(jié)果正確與否，可任意列一個(gè)上邊未用過的平衡方程進(jìn)行校核。水平梁 AB 自重 =4 kNG ，載荷 P=10 kNF ，尺寸單位為 m， BC 桿自重不計(jì)，求拉桿 BC 所受的拉力和鉸鏈 A 的約束反力。Md F ?? ? ? 因?yàn)?AM 為逆時(shí)針，故最終合力的作用線在 A 點(diǎn)的右邊如圖 225d 所示。已知 F1=200 N， F2=150 N， F3=100 N。 這時(shí)又可分為兩種情況 : ① 當(dāng) Ｍ o＝ 0時(shí)，則作用于簡化中心的力 Ｆ Rˊ就是原力系的合力 Ｆ R。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 以生活、工程實(shí)例 、動(dòng)畫 幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn)的理解來完成培養(yǎng)目標(biāo)。 證 如圖所示 29 ）（ FBMdFM ?? 即 i 0M?? （ 210） 這就是平面力偶系的 平衡方程，應(yīng)用該方程可以求解一個(gè)未知量。 2． 2． 4 平面力偶系的合成與平衡 1．合成 作用在剛體上同一平面內(nèi)的若干個(gè)力偶所組成的系統(tǒng)，稱為 平面力偶系 。 力偶只能與力偶等效。 ?? 力偶矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定： 逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù) 。 2T2T ??????? dFFM O ）（ （ N （ 2）力的作用線如通過矩心，則 力矩為零。 （ 3）通常規(guī)定： 力使物體繞矩心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力矩為正，反之為負(fù)。已知 F1 =100 N， F2 = 100 N , F3 = 150 N , F4 = 200 N 。一般地，有 ??????? ??sincosFF FFyx （ 21） 式中 ??—— 力 F 與 x 軸所夾的銳角。 在畫物體系統(tǒng)的受力圖時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)任何兩物體間相互作用的力，作為內(nèi)力，不應(yīng)畫出。 必須指出，內(nèi)力與外力的區(qū)分不是絕對(duì)的，在一定的條件下，內(nèi)力與外力是可以相互轉(zhuǎn)化的。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 采用課堂提問、 工程實(shí)例 分析、重點(diǎn)問題講解、課堂練習(xí)、作業(yè)錯(cuò)誤分析糾正、方法總結(jié)等 來完成培養(yǎng)目標(biāo)。 BC 梁受到一個(gè)主動(dòng)力 F2 和 圖 119 15 兩處約 束的約束反力 FC、 FBx 和 FBy，其受力圖如圖 120b 所示。由于自重不計(jì)，因此主動(dòng)力只有載荷 F。 （ 3）畫 AB 桿 的約束反力 AB 桿的約束有 B 點(diǎn)的光滑接觸面約束和 A 點(diǎn)的固定鉸鏈約束，對(duì)應(yīng)有兩個(gè)約束反力。 （ 3）畫球 O 的約束反力 圓球 O 的約束有B 點(diǎn)的柔索約束和 A 點(diǎn)的光滑接觸面約束，對(duì)應(yīng)有兩個(gè)約束反力。如圖 116b 所示。 （ 3）表示符號(hào)： Ｆ x 、 Ｆ y 4．固定鉸鏈支座約束 ： 若相聯(lián)的 構(gòu)件中有一個(gè)與固定部分（如機(jī)座、橋墩等 下頁圖所示 ）相連接則稱為固定鉸鏈支座 約束 。 2．光滑接觸面： 光滑接觸面約束當(dāng)兩個(gè)物體間的接觸表面非常光滑，摩擦力可以忽略不計(jì)時(shí)，即構(gòu)成光滑接觸面約束。 2．約束反力 約束反作用力： 約束對(duì)研究物體的反作用力稱為約束反作用力 。對(duì)二力平衡條件來 說 ，兩 個(gè)力作用在同一剛體上是一對(duì)平衡力，而作用力和反作用力則是分別作用在兩個(gè)不同的物體上， 作用力和反作用力不能平衡 。這樣就把原來作用在 A 點(diǎn)的力 F 沿其作用線移到了 B 點(diǎn)，且未改變 力 F 對(duì)剛體的作用效應(yīng)。 與二力平衡公理相同，加減平衡力系公理只 適用于同一剛體 。 1． 1． 4 靜力學(xué)公理 1． 二力平衡 公 理 作用于剛體上的兩個(gè)力，使剛體處于平衡狀態(tài)的充分和必要條件是：此兩力的大小相等、方向相反、作用線沿同一直線 （簡稱 等值、反 向、共線 ）。 力的作用線 —— 過力的作用點(diǎn)作一直線，使直線的方位代表力的方位。這種抽象簡化的方法。另外，對(duì)于現(xiàn)有理論還不能解決的某些復(fù)雜的工程力學(xué)問題，有時(shí)要依靠試驗(yàn)方法得以解決。研究物體的強(qiáng)度和剛度問題時(shí)，變形成為主要因素，因此只有用變形固 體這一力學(xué)模型來代表真實(shí)物體，才能反映問題的本質(zhì)。如果物體的運(yùn)動(dòng)范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其本身的幾何尺寸，且僅是為了分析其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，可將物體進(jìn)一步簡化為只有質(zhì)量而無體積的一個(gè) 質(zhì)點(diǎn) 。 ―― 運(yùn)動(dòng)力學(xué)所要解決的問題 當(dāng)作用于物體上的力不滿足平衡條件時(shí)，物體將運(yùn)動(dòng)。如液壓挖掘機(jī)的頂桿、起重機(jī)伸縮臂的 弦 桿等，如果承受過大的軸向壓力，就會(huì)突然發(fā)生彎曲， 失去原有穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱之為失穩(wěn)。 知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn) 機(jī)械設(shè)備和工程結(jié)構(gòu) 強(qiáng)度、剛度變形、失穩(wěn)等力學(xué)問題； 理解 工程力學(xué)的性質(zhì) ； 掌握 工程力學(xué)的任務(wù)。 2．工程力學(xué)的主要內(nèi)容和任務(wù) 使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變 (包括平衡狀態(tài) )是力的外效應(yīng)；使物體變形是力的內(nèi)效應(yīng) 。在機(jī)械 設(shè)備的正常使用中，必須要有以下三個(gè)方面的保證：1）不發(fā)生破壞，既有足夠的強(qiáng)度； 2）發(fā)生的小變形在工程容許的范圍內(nèi)，既有足夠的剛度； 3）不喪失原有形狀下的平衡狀態(tài)，既有足夠的穩(wěn)定性。剛體和變形固體不是絕對(duì)的，要視其研究問題的性質(zhì)而定。當(dāng)分析強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題時(shí)，由于這些問題都與變形密切相關(guān)，因而即使是極其微小的變形也必須加以考慮，這時(shí)就必須把物體抽象為變形體這一力學(xué)模型。上述工程力學(xué)的三種研究方法是相輔相成、互為補(bǔ)充、互相促進(jìn)的。 力的變形效應(yīng)將在研究變形體的材料力學(xué)中討論。 （ 1）對(duì)同一物體產(chǎn)生相同效應(yīng)的兩個(gè)力系互稱為 等效力系 。對(duì)二力平衡條件來說 ，兩 個(gè)力作用在同一剛體上，而作用力和反作用力則是分別作用在兩個(gè)不同的物體上。 實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明， 作用于剛體上的力可沿其作用線任意移動(dòng)而不致改變其對(duì)于剛體 7 的運(yùn)動(dòng)效應(yīng) 。 平行四邊形公理的逆定理也成立，如果不附加其他 條件，一個(gè)力分解為相交的兩個(gè)分力可以有無窮多個(gè)解。 知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn) 約束與約束反力的概念；柔索約束、光滑面約束、光滑圓柱形鉸鏈約束、固定鉸鏈支座約束、輥軸 （活動(dòng)） 鉸鏈支座約束、固定端約束的概念和約束反力畫法；畫受力圖的方法。 主動(dòng)力或載荷 —— 能主動(dòng)地使物體運(yùn)動(dòng)或有運(yùn)動(dòng)趨勢的力， 例如物體的重力，結(jié)構(gòu)承受的風(fēng)力、水壓力，機(jī)械零件中的彈簧力等。 （ 3）表示符號(hào)：通常用 Ｆ N 表示。 （ 3）表示符號(hào)： Ｆ x 、 Ｆ y 5． 活動(dòng)鉸鏈支座約束 ：在鉸鏈支座與支承面之間裝上輥軸，就成為輥軸鉸鏈支座。 構(gòu)件的受力圖 分離體 —— 解除約束后的物體； 受力圖 —— 畫有分離體及其所受全部外力（包括主動(dòng)力和約束反力）的簡圖。 畫受力圖 的 步驟： （ 1） 根據(jù)題意確定研究對(duì)象，并將研究對(duì)象從周圍的約束中解除出來，畫出研究對(duì)象的簡單輪廓圖（即取分離體）； （ 2） 在分離體上畫出研究對(duì)象的全部主動(dòng)力； （ 3） 在分離體上