【正文】 Ｍ o的力偶，如圖 2－ 5a所示，根據(jù)力的平移定理的逆定理，可以把此力與力偶進一步合成為一合力 Ｆ R 。求這三個力的合成結果。 如圖 226a 所示， 坐標位置如圖示，試將此力系向點 O 簡化。梁 AB 除受到主動力 G、FP 作用外，還有未知約束反力，包括拉桿的拉力 FT 和鉸鏈 A 的約束反力 FAx、 FAy。 例 29 起重機重 10kNW? ，可繞鉛垂軸 AB 轉動。 這是因為平面任意力系滿足( ) 0AiM ?? F ，則表明該力系不可能簡化為一力偶，只可能是作用線通過 A 點的一合力或平衡。 ② 選取坐標軸和矩心； 由于坐標軸和矩心的選擇是任意的 ,在選擇時應遵循以下原則 : a、坐標軸應與盡可能多的未知力垂直 (或平行 )； b、矩心應選在較多未知力的匯交點處 . ③ 將各個力向兩坐標軸投影 ,對矩心取力矩建立平衡方程求解； ④ 校核。因此平面平行力系獨立的平衡方程為 0( ) 0iyOiFM???? F 二矩式為 ( ) 0( ) 0AiBiMM????FF 其中， 矩心 A、 B 兩點的連線不能與各力的作用線平行。設兩桿和滑輪的自重不計 ,并略去摩擦和滑輪的尺寸 ,求平衡時桿 AB 和 BC 所受的力。 P 2 0 k N , 1 6 k N m , 2 0 k N / m , = 0 . 8 mF M q a? ? ?。 單元教學設計 以工程實例 、動畫 幫助學生對知識點 技能點的理解來完成培養(yǎng)目標。 ② 系統(tǒng)外力： 物體 系統(tǒng)所受的 主動力和 外部約束反力 。因此， 本題是靜定的 問題 。所以，計算獨立平衡方程總數(shù)時，只對每個物體的平衡方程數(shù)計算后相加，而不應將整體的平衡方程數(shù)目包括在內(nèi)。 （ 1）考察整體的平衡，作其受力圖，如圖 240b 所示。由左半拱的受力圖，如圖 239a 所示，這時應注意 FCx 與 F′Cx、 FCy與 F ′Cy 互為作用力 與反作用力。 至此 A、 B、 C 三個鉸鏈處的約束反力已全部求出。經(jīng)分析題中的未知量也是 6 個 （ 圖 240c、 d），故此題是靜定問題。 （ 2）考察組合梁整體的平衡（圖 d） ，列出平衡方程： 圖 239 43 0 s i n 0i x A x CF F F ?? ? ? ?? (2) 0 c o s 2 0i y A y CF F F q F?? ? ? ? ? ? ?? (3) ( ) 0 c o s 4 2 3 0A i A CM M F q l F?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? F (4) 將（ 1）代入（ 2）、（ 3）、（ 4）式分別解得： 10kN20kN30kNmAxAyAFFM??? 考察梁 AB、 BC 和組合梁整體的平衡 （ 圖 b、 c、 d），總共可列出 9 個平衡方程，但其中只有 6 個是獨立的?？梢?，梁 AB 和 BC 均受平面任意力系的作用，對兩部分總可以列出 23=6 個獨立的平衡方程。靜不定問題的解法將在第二篇材料力學中介紹。 （ 3）列平衡方程如下： P( ) 0 2 0A i B qaaM F a M F a? ? ? ? ?? 2F ① P00y A BF F F q a F? ? ? ? ?? ② 解方程 ① 、 ② 得： P 2 0 k N /m 0 .8 m 1 6 k N m2 2 2 0 k N 1 2 k N2 0 .8 mB q a MFF a ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 P 2 0 k N 2 0 k N / m 0 . 8 m 1 2 k N 2 4 k NABF F q a F? ? ? ? ? ? ? ? 圖 235 40 【教學內(nèi)容】 課程名稱 工程力學 教學單元名稱 2． 5 物體系統(tǒng)的平衡問題 單元能力培養(yǎng)目標 了解靜定與靜不定問題的概念及物體系統(tǒng)平衡問題的解法。 T 1 T 20 c o s 6 0 c o s 3 0 0i x B AF F F F? ? ? ? ? ? ?? T 1 T 20 c o s 3 0 c o s 6 0 0i y B CF F F F? ? ? ? ? ?? 圖 233 39 T 1 T 21 3 1 3 7. 32 kN2 2 2 2BAF F F G G? ? ? ? ? ? T 1 T 23 1 3 1 2 7 .3 2 k N2 2 2 2BCF F F G G? ? ? ? ? FAB 為負值，表示此力的實際指向與圖示相反，即 AB 桿受壓力。 例 211 如圖所示 ,物重 20kNG? ,用鋼絲繩經(jīng)過滑輪 B 再纏繞在絞車 D 上。各力在 x 軸上的投影均為零。任何第四個方程只是前三個的線性組合，因而都不是獨立的，我們可以利用這個方程來校核計算的結果。 （ 2）選取坐標系 Axy，如圖 b 所示，列平衡方程并求解： 00ix A x BF F F? ? ?? 36 P00i y A xF F F W? ? ? ?? P( ) 0 5 m 1 . 5 m 3 . 5 m 0A i BM F F W? ? ? ? ? ? ? ?? F 解得： 31kNBF ?? 3 1 k N5 0 k NA x BAyFFF ? ? ?? FB 為負值，說明它的方向與受力圖中假設的方向相反，即正確的指向應向左。 討論： 計算結果正確與否，可任意列一個上邊未用過的平衡方程進行校核。水平梁 AB 自重 =4 kNG ，載荷 P=10 kNF ，尺寸單位為 m， BC 桿自重不計，求拉桿 BC 所受的拉力和鉸鏈 A 的約束反力。Md F ?? ? ? 因為 AM 為逆時針，故最終合力的作用線在 A 點的右邊如圖 225d 所示。已知 F1=200 N， F2=150 N， F3=100 N。 這時又可分為兩種情況 : ① 當 Ｍ o＝ 0時，則作用于簡化中心的力 Ｆ Rˊ就是原力系的合力 Ｆ R。 單元教學設計 以生活、工程實例 、動畫 幫助學生對知識點 技能點的理解來完成培養(yǎng)目標。 證 如圖所示 29 ）（ FBMdFM ?? 即 i 0M?? （ 210） 這就是平面力偶系的 平衡方程，應用該方程可以求解一個未知量。 2． 2． 4 平面力偶系的合成與平衡 1．合成 作用在剛體上同一平面內(nèi)的若干個力偶所組成的系統(tǒng)，稱為 平面力偶系 。 力偶只能與力偶等效。 ?? 力偶矩的正負號規(guī)定： 逆時針方向轉動為正，順時針方向轉動為負 。 2T2T ??????? dFFM O ）（ （ N （ 2）力的作用線如通過矩心，則 力矩為零。 （ 3）通常規(guī)定： 力使物體繞矩心逆時針方向轉動時力矩為正，反之為負。已知 F1 =100 N， F2 = 100 N , F3 = 150 N , F4 = 200 N 。一般地，有 ??????? ??sincosFF FFyx （ 21） 式中 ??—— 力 F 與 x 軸所夾的銳角。 在畫物體系統(tǒng)的受力圖時，系統(tǒng)內(nèi)任何兩物體間相互作用的力，作為內(nèi)力，不應畫出。 必須指出，內(nèi)力與外力的區(qū)分不是絕對的，在一定的條件下，內(nèi)力與外力是可以相互轉化的。 單元教學設計 采用課堂提問、 工程實例 分析、重點問題講解、課堂練習、作業(yè)錯誤分析糾正、方法總結等 來完成培養(yǎng)目標。 BC 梁受到一個主動力 F2 和 圖 119 15 兩處約 束的約束反力 FC、 FBx 和 FBy，其受力圖如圖 120b 所示。由于自重不計，因此主動力只有載荷 F。 （ 3）畫 AB 桿 的約束反力 AB 桿的約束有 B 點的光滑接觸面約束和 A 點的固定鉸鏈約束，對應有兩個約束反力。 （ 3）畫球 O 的約束反力 圓球 O 的約束有B 點的柔索約束和 A 點的光滑接觸面約束，對應有兩個約束反力。如圖 116b 所示。 （ 3）表示符號： Ｆ x 、 Ｆ y 4．固定鉸鏈支座約束 ： 若相聯(lián)的 構件中有一個與固定部分（如機座、橋墩等 下頁圖所示 ）相連接則稱為固定鉸鏈支座 約束 。 2．光滑接觸面： 光滑接觸面約束當兩個物體間的接觸表面非常光滑，摩擦力可以忽略不計時，即構成光滑接觸面約束。 2．約束反力 約束反作用力： 約束對研究物體的反作用力稱為約束反作用力 。對二力平衡條件來 說 ，兩 個力作用在同一剛體上是一對平衡力，而作用力和反作用力則是分別作用在兩個不同的物體上， 作用力和反作用力不能平衡 。這樣就把原來作用在 A 點的力 F 沿其作用線移到了 B 點，且未改變 力 F 對剛體的作用效應。 與二力平衡公理相同，加減平衡力系公理只 適用于同一剛體 。 1． 1． 4 靜力學公理 1． 二力平衡 公 理 作用于剛體上的兩個力，使剛體處于平衡狀態(tài)的充分和必要條件是：此兩力的大小相等、方向相反、作用線沿同一直線 （簡稱 等值、反 向、共線 ）。 力的作用線 —— 過力的作用點作一直線，使直線的方位代表力的方位。這種抽象簡化的方法。另外，對于現(xiàn)有理論還不能解決的某些復雜的工程力學問題，有時要依靠試驗方法得以解決。研究物體的強度和剛度問題時，變形成為主要因素，因此只有用變形固 體這一力學模型來代表真實物體，才能反映問題的本質。如果物體的運動范圍遠遠超過其本身的幾何尺寸，且僅是為了分析其質心的運動規(guī)律時，可將物體進一步簡化為只有質量而無體積的一個 質點 。 ―― 運動力學所要解決的問題 當作用于物體上的力不滿足平衡條件時，物體將運動。如液壓挖掘機的頂桿、起重機伸縮臂的 弦 桿等，如果承受過大的軸向壓力，就會突然發(fā)生彎曲， 失去原有穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱之為失穩(wěn)。 知識點 技能點 機械設備和工程結構 強度、剛度變形、失穩(wěn)等力學問題； 理解 工程力學的性質 ； 掌握 工程力學的任務。 2．工程力學的主要內(nèi)容和任務 使物體運動狀態(tài)改變 (包括平衡狀態(tài) )是力的外效應；使物體變形是力的內(nèi)效應 。在機械 設備的正常使用中，必須要有以下三個方面的保證：1）不發(fā)生破壞，既有足夠的強度； 2）發(fā)生的小變形在工程容許的范圍內(nèi)，既有足夠的剛度； 3）不喪失原有形狀下的平衡狀態(tài)，既有足夠的穩(wěn)定性。剛體和變形固體不是絕對的，要視其研究問題的性質而定。當分析強度、剛度和穩(wěn)定性問題時，由于這些問題都與變形密切相關，因而即使是極其微小的變形也必須加以考慮，這時就必須把物體抽象為變形體這一力學模型。上述工程力學的三種研究方法是相輔相成、互為補充、互相促進的。 力的變形效應將在研究變形體的材料力學中討論。 （ 1）對同一物體產(chǎn)生相同效應的兩個力系互稱為 等效力系 。對二力平衡條件來說 ，兩 個力作用在同一剛體上，而作用力和反作用力則是分別作用在兩個不同的物體上。 實踐經(jīng)驗表明， 作用于剛體上的力可沿其作用線任意移動而不致改變其對于剛體 7 的運動效應 。 平行四邊形公理的逆定理也成立，如果不附加其他 條件，一個力分解為相交的兩個分力可以有無窮多個解。 知識點 技能點 約束與約束反力的概念；柔索約束、光滑面約束、光滑圓柱形鉸鏈約束、固定鉸鏈支座約束、輥軸 （活動） 鉸鏈支座約束、固定端約束的概念和約束反力畫法；畫受力圖的方法。 主動力或載荷 —— 能主動地使物體運動或有運動趨勢的力， 例如物體的重力，結構承受的風力、水壓力，機械零件中的彈簧力等。 （ 3）表示符號：通常用 Ｆ N 表示。 （ 3）表示符號： Ｆ x 、 Ｆ y 5． 活動鉸鏈支座約束 ：在鉸鏈支座與支承面之間裝上輥軸，就成為輥軸鉸鏈支座。 構件的受力圖 分離體 —— 解除約束后的物體； 受力圖 —— 畫有分離體及其所受全部外力（包括主動力和約束反力）的簡圖。 畫受力圖 的 步驟： （ 1） 根據(jù)題意確定研究對象，并將研究對象從周圍的約束中解除出來，畫出研究對象的簡單輪廓圖（即取分離體）； （ 2） 在分離體上畫出研究對象的全部主動力； （ 3） 在分離體上