【正文】 iziriac）在他的《數(shù)學(xué)趣題》（1624年）中，提到了這個(gè)問題。不錯(cuò)，在用3作為底數(shù)時(shí)，所用數(shù)碼是0、2，但是2可以寫成31，因此可以化成1這個(gè)數(shù)字。 ——————— 110這樣我們完全解決了用四塊砝碼稱出40磅以下所有整數(shù)磅物體的問題。我們看到：（1，1）；（1，2）；（1，3）；都可以滿足稱量連續(xù)整數(shù)磅的物品，而其中（1，3）滿足砝碼盡量大的要求。那么如何確定a0，a1，...ak 呢？現(xiàn)要求尋找能夠稱量從1到 N磅的砝碼，如果a是尋找到的最大一塊砝碼，而 N = a + b，而 b是已經(jīng)確定好的能夠稱量從1到 b磅的砝碼重量之和，那么應(yīng)該滿足：a ≤1+2b =1+2（Na）=2N+12a，所以有：a ≤（2N+1）/3 。 也可以先倒入3升酒杯3升酒，再倒入5升酒杯中3升...如下：順序1234567898兩8552277445兩0033501143兩030311030 /\ / /\aa/\ 3最終都到達(dá)了4。這是我國民間很古老的一個(gè)游戲，別看這游戲極其簡單，卻蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)原理。因此我們發(fā)現(xiàn)了如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s，（r為任意自然數(shù)，s≤m),那么先取者要拿走s個(gè)物品，如果后取者拿走k（≤m)個(gè)，那么先取者再拿走m+1k個(gè)，結(jié)果剩下（m+1）（r1）個(gè)，以后保持這樣的取法，那么先取者肯定獲勝。 可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù),而 bk= ak + k，奇異局勢有如下三條性質(zhì)： 由于ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù)，所以有ak ak1 ，而 bk= ak + k ak1 + k1 = bk1 ak1 。 3。 任何奇異局勢（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。 例3。 甲:(。 乙:(0,4,4)(0,4,2) 甲:(1,4,4)(0,4,4)奇異局勢 乙:(1,5,4)(1,4,4) 甲:(1,8,4)(1,5,4)奇異局勢 乙:(1,8,9)(1,8,4) 甲:(7,8,9)(1,8,9)奇異局勢我們來實(shí)際進(jìn)行一盤比賽看看： 例1。然后再按照上述法則進(jìn)行，一定會(huì)遇到奇異局勢。 bk個(gè)物體，即變?yōu)槠娈惥謩?；如?a = ak ， 2。（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若干個(gè)物品，兩個(gè)人輪流從某一堆或同時(shí)從兩堆中取同樣多的物品，規(guī)定每次至少取一個(gè)，多者不限，最后取光者得勝。 有一種很有意思的游戲不知道你玩兒過沒有，就是有物體若干堆，可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。 2 /\ 1 /__\/__\/__\/__\/__\/ /\aa/\aa/\ c對于ab+c2,問題是不可解的，你可以試一試a=16，b=12，c=7看看能不能分出8升來。 N=83，[（2*83+1）/3]=55，8355=28，[（2*28+1）/3]=19，2819=9，[（2*9+1）/3]=6，96=3，[（2*3+1）/3]=2，32=1，所以砝碼組為：（55，19，6，2，1）。 我們來看幾個(gè)例子，N=75，[（2*75+1）/3]=50，7550=25，[（2*25+1）/3]=17，2517=8，[（2*8+1）/3]=5，85=3，[（2*3+1）/3]=2，32=1，所以確定出砝碼組是（1，2，5，17，50）。現(xiàn)在1磅的物品可以稱量了，再增加一磅，2磅怎樣稱量呢？2=1+1，顯然還需要一塊1磅的砝碼，但是如果我們要求每塊砝碼都盡量大，那么增加一塊1磅的砝碼就不符合要求了。 0 1比如5=936=97=9+13等等。 最后：f（n）= 2n 1■【砝碼稱重問題】　　曾經(jīng)有人出過這樣一道題：怎樣用四顆砝碼，用天平把直到40磅為止的各個(gè)整數(shù)磅數(shù)的物體稱出來？　　法國數(shù)學(xué)家巴舍 （注：在6。 （注：F39。 f（n）=（c1+ c2n）αn ⑧顯然應(yīng)該有（n1）^n|（nk+n1），即（nk+n1）是（n1）^n的倍數(shù)，即：（nk+n1）= h（n1）^n （其中 h是任意正整數(shù)）附錄：線性非齊次差分方程的通解 x=（nk+n1）（n/（n1））^n（n1） 問他們原來采了多少只椰子？這個(gè)問題有無數(shù)個(gè)答案，最小的答數(shù)是3121。夜里，有一個(gè)人醒來了，他決定取走自己的一份椰子。最著名的一個(gè)類似問題曾經(jīng)作為美國作家本 x=y*2^n+（2a（1）+4a（2）+假設(shè)她沒有把整元的鈔票兌開過，那么她原來有多少錢？他原來共有多少條金魚？答案是59條。 改變參數(shù)，很容易構(gòu)成同類的新問題。因?yàn)楹愒谧詈笠淮嗡投Y后只剩下了一張唱片，所以在她把唱片送給喬之前，一定有三張唱片。突然，他叫了一聲。 還有一個(gè)有趣的游泳池難題，靈機(jī)一動(dòng)則迎刃而解。朗非羅在其小說《卡瓦諾》中所提出的有名的水仙花問題。如果你僅應(yīng)用畢達(dá)格拉斯定理和相似三角形，其解法一定很冗長，繁瑣。”有了什么好主意使這個(gè)問題迎刃而解？ 朗被問住了。在油炸圈（圓環(huán)）上切 n 刀。 從這點(diǎn)出發(fā)，你可以發(fā)現(xiàn)大量的引人入勝的研究方向，其中有許多將導(dǎo)致非同尋常的數(shù)字序列，公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明。 請注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。當(dāng) n=1，2，3，4。假如沿著薄餅若干中線同時(shí)切數(shù)刀，顯然，同時(shí)切 n 刀至多可以切出2n塊。羅西的解法是如此簡單，幾乎可以說是平凡的。一天，女招待羅西請喬把乳酪切成八塊。 15=1+1+1+4+8 7=1+2+4對于其他任意類型的數(shù),卻不能奏效,比如對于19節(jié)金項(xiàng)鏈,19的二進(jìn)制記數(shù)法表示為10011.即19=1+2+0+0+16,這樣從1到3都能表示,可是從4到15都沒法表示了。 n=x+2該卡片上的數(shù)字集合自1起始，全部數(shù)字就是1至63范圍內(nèi)所有的奇數(shù)；卡片B則包括1至63范圍內(nèi)的二進(jìn)制記數(shù)法中右起第二位為“1”的全部數(shù)字；卡片C包括1至63范圍內(nèi)的二進(jìn)制記數(shù)法中右起第三位為“1”的全部數(shù)字；卡片D，E，F(xiàn)以此類推。在耍魔術(shù)之前，預(yù)先取出A，2，4，8各一張放入口袋。把27化成二進(jìn)制數(shù)：11011。懷特先生：“布萊克小姐，怎么辦？我們上次的方法不中用了。真是胡鬧。懷特先生把電報(bào)念給藥店經(jīng)理布萊克小姐聽。 ,兩名中國血統(tǒng)的美國物理學(xué)家(指楊振寧,李政道)因?yàn)樗麄冊谕品挠罘Q守恒定律,. ::首先假設(shè)此平方根可以表示成一個(gè)既約的有理分?jǐn)?shù),則分子和分母不可能都是偶數(shù),分母可能都是奇數(shù)或者一個(gè)是奇數(shù),換句話說,因而反證了2的平方根不可能是一個(gè)有理數(shù). 貝特西:出了什么問題?爸爸? 布朗先生:這些該死的瓷磚,. 我們還有60天暑假. 顯然,分成27個(gè)立方體單元,把它看成棋盤,處于某一個(gè)角格上的車可以向三個(gè)坐標(biāo)上的任何位置作直線移動(dòng),試問車到空間對角線的另一個(gè)角格有多少條最短路徑?【錯(cuò)抱的嬰兒問題】　　在某個(gè)醫(yī)院,?一種簡單的計(jì)算方法是把所有可能的情況列成一個(gè)表格,恰有三個(gè)是正確的,只有一個(gè)搞錯(cuò)了,問這個(gè)問題有多少種不同情況?你是否用列表的方法求解?還是憑靈機(jī)一動(dòng)想出來的? A B D CA D C BA C B DD B C AC B A DB A C D (1).仍然是同時(shí)移動(dòng)兩只相鄰的杯子,但是如果顏色不同,則要在移動(dòng)過程中交換位置,也許你能找出來. 雖然奎貝爾教授抓住話語間的模棱兩可之處解決了這個(gè)問題,還是這么個(gè)問題,但改成100只滿杯挨著100只空杯排成一排,請考慮一下,若要使其變成滿杯和空杯交錯(cuò)排列,需將多少對杯子互換位置?顯然,一般地,如果有2n只杯子,n只滿杯,n只空杯,需要將[n/2]對杯子互換位置,方法是2k號(hào)杯子與2k+n號(hào)杯子互換位置即可(k=1,2,3,...)若n=100,則需互換50次. 這時(shí),奎貝爾教授正好來到柜臺(tái)前,看到了他們的把戲,:何需移動(dòng)四只杯子,我只要移動(dòng)兩只就行了,你行不行?巴尼納悶地瞧著奎貝爾教授,:很簡單,只要拿起第二只杯子,把里面的汽水倒進(jìn)第七只杯子,再拿起第四只杯子,把里面的汽水倒入第九只杯子就行了. 即: 　 不知道你注意了沒有,如果比賽人數(shù)正好是2的冪,那么輪空次數(shù)就是0,也就是說,如果比賽人數(shù)是2,4,8,16,32等等,就不會(huì)出現(xiàn)輪空,如果不是這樣類型的數(shù),如果是奇數(shù),那么第一輪就有一名隊(duì)員要輪空,從第二輪開始的輪空數(shù)與(n+1)/2個(gè)隊(duì)員參賽的輪空數(shù)是一樣的,所以這時(shí)總的輪空數(shù)是:(用L(n)表示n個(gè)隊(duì)員參賽的輪空數(shù)) ,需要時(shí)間30分鐘. 啊哈!貝特西小姐想出了什么妙主意? 讓我們假設(shè)有 m 組同色的泡泡糖少于 k 粒,并且設(shè)其中第 i 組糖有 ai 粒,那么瓊斯夫人最倒霉的事情是,她把所有少于 k 粒的同色糖都買了,并且其他種類的糖每種都買了 k1 粒,最后再買一粒才能得到 k : 如果只有一粒藍(lán)色的泡泡糖,那么顯然只要花6分錢即可買到三粒同色的糖. 分幣泡泡糖出售機(jī)幾乎空了,需要準(zhǔn)備花多少錢?【泡泡糖問題】 這種類型的題目很多,又比如從52張紙牌中抽出7張同花的牌,那么最多需要抽多少張牌呢?顯然需要 4(71)+1=25 張.【炙肉片的策略】約翰遜先生在戶外有個(gè)炙肉架,. 瓊斯先生和夫人有三件家務(wù)事要辦. ,如果你領(lǐng)悟到:一片面包在單面烘烤尚未結(jié)束的情況下,也可以取出,以后再放回烤面包架內(nèi)繼續(xù)烘烤這一面,尚有無數(shù)比此更為復(fù)雜的實(shí)際問題,需要借助于與計(jì)算機(jī)和現(xiàn)代圖論有關(guān)的高度復(fù)雜的數(shù)學(xué)手段.【乒乓球賽問題】　　某中學(xué)將舉行乒乓球比賽,小明他們班有5人先進(jìn)行淘汰賽,選出一人參加學(xué)校的決賽,班主任楊老師計(jì)算了一下比賽的次數(shù):嗯,由于5是奇數(shù),所以第一輪有一個(gè)隊(duì)員輪空,第二輪中還得出現(xiàn)一次輪空,學(xué)校共有37個(gè)班級參加決賽,也采用淘汰賽,你知道需要多少場比賽嗎?你還沒有算出來嗎?哈哈!還在畫表格呀?告訴你吧,每場比賽淘汰一名隊(duì)員,一共要淘汰36名隊(duì)員,如果你想輕易地算出輪空的次數(shù)卻沒有這么容易,那么,怎樣計(jì)算輪空的次數(shù)呢?,請看如下的分析: L(n)=a0+a1+L(a0/4+a1/2+n/4) 所以,只要將2k+1n化成二進(jìn)制表示,其系數(shù)和就是輪空數(shù),=37,我們可以算出2k+1n=6437=27=11011,其中有4個(gè)1,所以共有四次輪空.【玻璃杯問題】　　巴尼在汽水柜臺(tái)工作,:這一排有10只玻璃杯,左邊5只內(nèi)有汽水,右邊5只空著,請你使這排杯子變成滿杯與空杯相互交錯(cuò),條件是只允許移動(dòng)4只杯子.兩位顧客看了看巴尼,又看了看杯子,搖了搖頭,:好吧,我來告訴你們,只要分別把第二只杯子和第七只杯子,第四只杯子和第九只杯子交換一下位置就成了. ■■■■■□□□□□■□■□■□■□■□ 利用怕斯卡三角形立即可以求出二項(xiàng)式展開的系數(shù),即求(a+b)的任意次冪,上圖中自頂部至底部,從邊沿一格來說是1,隨著向中間移動(dòng),:在一快傾斜的板上,因?yàn)榈竭_(dá)每個(gè)底部孔位的最短路徑的條數(shù)就是二項(xiàng)式展開的系數(shù). 其他許多發(fā)人深省的難題都與上面的嬰兒問題有關(guān),假設(shè)嬰兒的標(biāo)簽以隨機(jī)的方式搞亂,那么四個(gè)標(biāo)簽全部正確的概率是多少?全部弄錯(cuò)的概率是多少?至少有一個(gè)正確的概率是多少?恰好有一個(gè)正確的概率是多少?至少有兩個(gè)正確的概率是多少?恰好有兩個(gè)正確的概率是多少?最多有兩個(gè)正確的概率又是多少?諸如此類,不一而足. 一個(gè)男孩子逃學(xué)已經(jīng)數(shù)周,: 104暑假 45課外活動(dòng) 30 你瞧,小孩說僅剩下4天用作病假,我還沒把學(xué)校每年應(yīng)放的節(jié)假日算進(jìn)去呢! ,引人入勝的問題,有許多問題的解法可應(yīng)用于商品的紙箱包裝和堆倉等等.藥劑師懷特先生剛把藥瓶送上架子，一封電報(bào)接踵而來。 懷特先生：“倒霉極了，我只好從每瓶中取出一粒來秤一下。如果重5510毫克，也就是超過規(guī)格10毫克，她當(dāng)即明白其中只有一粒是超重的，并且是從第一瓶中取出的。懷特先生氣惱極了。從每瓶中取出不同數(shù)目的藥丸（最簡單的方式就是采用計(jì)數(shù)序列），我們就可使一組數(shù)字和一組藥瓶成為一一對應(yīng)的關(guān)系。假設(shè)總重量超重270毫克，由于每粒分量有誤的藥丸超重10毫克，所以我們把270除以10，得到27，即為超重藥丸的粒數(shù)。在趣味數(shù)學(xué)方面，同樣也有難以計(jì)數(shù)的應(yīng)用。 此秘密簡單的很。然后將一些數(shù)字填寫在卡片上，確定每張