【正文】 決這個問題只需知道下列定理：半圓上的圓周角是直角，所以三角形ABC是直角三角形。 還有一個有趣的游泳池難題，靈機一動則迎刃而解。若你還記得兩弦相交的定理，解這個問題是輕而易舉的。我們要確定的就是x的長度。如果把水仙花拉向一邊，使花莖保持直線，花朵沾水的位置離原來的位置是21厘米，問水深多少厘米？朗非羅在其小說《卡瓦諾》中所提出的有名的水仙花問題。根據(jù)這一定理，可以求得直角三角形的高為 如果你僅應用畢達格拉斯定理和相似三角形，其解法一定很冗長，繁瑣。而矩形的兩條對角線是相等的，所以水池每邊邊長就是圓半徑的長度。 萊特夫人忽然悟到水池每邊即為矩形的對角線?！庇辛耸裁春弥饕馐惯@個問題迎刃而解？ ”朗先生正疑惑不解，市長閣下忽然叫起來。唔，應求出BD。朗被問住了。萊特市長：“我喜歡呈菱形的水池，用紅瓷磚砌成，不知道這水池的每邊有多長？”建筑師弗蘭克。多里斯。 關(guān)于以上這些問題，假設(shè)切分是同時進行的，若改成連切方式，并且允許重新安排切開的部分，其答案如何變化？【隱蔽的尺寸】　　在城市廣場的中央有一片很大的圓形憩息地。在油炸圈（圓環(huán)）上切 n 刀。 4。用切小圓甜餅的刀在薄餅上切 n 刀。 2。在馬蹄形的薄餅上切 n 刀。采用下列各種方法，最多可以切成幾塊？ 從這點出發(fā)，你可以發(fā)現(xiàn)大量的引人入勝的研究方向，其中有許多將導致非同尋常的數(shù)字序列，公式以及數(shù)學歸納法證明。在薄餅公式這一例子中，不難通過數(shù)學歸納法做出一個簡單的證明。 為什么說“強烈暗示”呢？因為雖然可以用有限差分演算找到一個公式，但是并不能保證該公式對于無限序列也成立。這強烈地暗示著此序列的普通項是一個二次項。 請注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。此序列的前10項（n 自0開始）是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46。 1+n（n+1）/2這一大家所熟悉的序列是根據(jù)下列公式求得的：當 n=1，2，3，4。 能否畫出一種圖形，僅切一刀便可以切出任何有限數(shù)目的全等的塊？若能辦到，這種圖形的周長應具有什么特性，才能確保只需要一刀便可以切成全等的 n 塊？若不同時進行切分，薄餅的切分將更為有趣。 若在其邊沿為一條簡單閉合曲線的任意平面上同時切下 n 刀，這種方法所切成的塊數(shù)，是否最多也是 2n塊呢？否。假如沿著薄餅若干中線同時切數(shù)刀，顯然，同時切 n 刀至多可以切出2n塊。乳酪具有如同薄餅那樣平坦的頂面。有限差分演算是發(fā)現(xiàn)數(shù)字序列普通項公式的有力工具。羅西的解法是如此簡單，幾乎可以說是平凡的。如果允許移動切開的部分，那么連切三刀也行。羅西想出了什么妙主意？很簡單，我只要這樣切四刀就成了。一天，女招待羅西請喬把乳酪切成八塊。一刀下去，就把一塊乳酪一切為二。【巧分乳酪】　　喬記餐館雖說吃食不算最好，但卻以美味乳酪而遠近聞名。 上面提到的都是對于金鏈子的分割問題，對于金項鏈這樣閉環(huán)的情況，要增加一節(jié)，只要把第一個不為1的數(shù)分出去一個1即可達到目的。2312=11,11=1+1+3+6。 上面的分成偶數(shù)節(jié)數(shù)是這樣分的，比如8=1+1+2+4，是將第三節(jié)、第四節(jié)割開。 15=1+1+1+4+8 13=1+1+2+3+6 11=1+1+3+6 9=1+1+2+5 7=1+2+4 5=1+1+3 3=1+1+1 1=1對于其他任意類型的數(shù),卻不能奏效,比如對于19節(jié)金項鏈,19的二進制記數(shù)法表示為10011.即19=1+2+0+0+16,這樣從1到3都能表示,可是從4到15都沒法表示了。 有一個有趣的變相問題:若所經(jīng)手的 n 節(jié)首尾相連的閉合回路,例如說格羅麗亞有一串金項鏈,由79節(jié)相連而成,若每天房費為一節(jié),試問最少需要分割開幾節(jié)才能支付79天房費? 啊哈!,至少需要有1節(jié),2節(jié),4節(jié)這樣三段(即其節(jié)數(shù)成二重級數(shù)的一些段),這樣才能以各種不同的組合方式組成1節(jié),2節(jié),3節(jié),4節(jié),5節(jié),這就是作為二進制記數(shù)法基礎(chǔ)的冪級數(shù). 格羅麗亞:,每天給你一節(jié),:我該三思而行,悟到她不必把每一節(jié)都割斷,因為她可以把一段段金鏈換進換出,? 顯然,表達式4x/5必須是整數(shù),由此得出y的值為1,將x,y的值帶入任何一個原方程,此題僅有一個解:5頭母牛,設(shè)母牛價錢為4元錢,豬的價錢為2元錢,羊的價錢為三分之一元錢,一個農(nóng)夫準備花一百元錢買一百頭牲口,并且每種牲口至少買一頭,試問他每種牲口可以買多少頭?關(guān)于這一問題,豬的價錢為2元錢,?那就無解. 再把100和19x除以5,將余數(shù)(如果有的話)和除數(shù)5寫成分數(shù)的形式,結(jié)果為: x和y可能有那些整數(shù)值?一種解法是把系數(shù)最小的項放到方程的左邊:5y=10019x,把兩邊都除以5得到: 把第一個方程中的各項都乘以2消去分數(shù),再與第二個方程相減以便消去z,這樣得到下列方程式: 10x+3y+z/2=100 一頭母牛價格10元錢,一頭豬價格3元錢,每種至少買了一頭,總共花了100元錢,問每種牲口買了多少頭? ,根據(jù)前三個方程式,可得出x=y==x+y+z+6減去第四個方程,得到 n=3,因此x+2=3,所以x=. n=z+2 n=x+2 如果你領(lǐng)悟到所有這個詞可以指僅僅一只動物的話, 一只狗,一只貓,把這個問題用代數(shù)形式來表示也是一次很好的練習.【有多少只動物】　　:,除了兩只以外所有的動物都是狗,除了兩只以外,所有的都是貓,除了兩只以外所有的都是鸚鵡,我總共養(yǎng)了多少只動物?你想出來了嗎?他只需記住每種顏色所代表的2的冪。秘訣就是把每張卡片上2的冪的第一個數(shù)字相加。請一位觀眾想好此范圍內(nèi)的一個數(shù)字（例如某個人的年齡），然后請他把所有上面有此數(shù)字的卡片都交給你。該卡片上的數(shù)字集合自1起始，全部數(shù)字就是1至63范圍內(nèi)所有的奇數(shù)；卡片B則包括1至63范圍內(nèi)的二進制記數(shù)法中右起第二位為“1”的全部數(shù)字；卡片C包括1至63范圍內(nèi)的二進制記數(shù)法中右起第三位為“1”的全部數(shù)字；卡片D，E，F(xiàn)以此類推。 卜算卡片的依據(jù)也是二進制原理，準備六張卡片，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)。如果是10，那你就應想到：8+2=10，隨即伸手入袋，取出2和8的牌示眾。洗過的牌放入口袋后，暗中將其排置于原先已經(jīng)放在口袋中的四張牌的后面。在耍魔術(shù)之前，預先取出A，2，4，8各一張放入口袋。 請別人把一副牌洗過，然后放進你的口袋，再請人說出一個1至15以內(nèi)的數(shù)字。這個戲法也許看上去與藥瓶問題毫無關(guān)系，但他們的依據(jù)是相同的，都是二進制原理。在計算機科學和大量應用數(shù)學領(lǐng)域中，二進制記數(shù)法是必不可少的。 在由2的冪組成的集合中，每個正整數(shù)是單一的不同組合中的元素之和。因此分量有誤的藥瓶是第一，二，四，五瓶。把27化成二進制數(shù)：11011。取出的藥丸放在秤上秤一下。有沒有這樣的序列？有的，最簡單的就是下列二重序列：1，2，4，8，16。 在第一個秤藥丸問題中，我們知道只有一瓶藥丸超重。但如果把那個方法改變一下，我們?nèi)匀恢恍璩右淮尉湍馨逊至坑姓`的藥品識別出來。懷特先生：“布萊克小姐，怎么辦？我們上次的方法不中用了。 這一次，對超重藥丸的瓶數(shù)無可奉告。一封加急電報又接踵而至，指出發(fā)生了一個更糟糕的錯誤。所以布萊克小姐只要秤一次，不是嗎？把這55粒藥丸放在秤上，記下總重量。這怎么可能呢？ 懷特先生剛要動手，布萊克小姐攔住了他。真是胡鬧。請即退回分量有誤的那瓶藥。 懷特先生：“特急！所有藥瓶須檢查后方能出售。懷特先生把電報念給藥店經(jīng)理布萊克小姐聽。每瓶裝藥丸1000粒。 ,請人隨心所欲地把硬幣一對一對地翻轉(zhuǎn),你回過身來,瞧一瞧硬幣,所以你只要在最后再把正面朝上的硬幣數(shù)一下,就可確定被蓋住的那枚硬幣是正面朝上還是反面朝上了.若是奇數(shù),再翻第二對,第三對,無論翻轉(zhuǎn)多少對,那么還是保持奇數(shù)性。 ,兩名中國血統(tǒng)的美國物理學家(指楊振寧,李政道)因為他們在推翻著名的宇稱守恒定律,. 在那大立方體中,無論怎樣放置磚塊,不多不少總是恰恰蓋住相同的數(shù)目的黑色和白色的單位立方體,但一種顏色的單位立方體比另一種顏色的多八個,最初的26塊磚無論怎樣放置,以求證明這一點,這樣做顯然極其費事. 鋪砌理論作為組合幾何中的一個范圍廣泛的領(lǐng)域,有限的或無限的,瓷磚也可以形形色色,而且問題可能會涉及不同形狀的集合,用兩種或兩種以上的顏色為某一平面著色. 在上述問題中,如果缺少的兩個方格同色,:如果缺少兩個顏色不同的方格,20個多米諾骨牌是否能夠覆蓋住那缺格的6X7矩陣?雖然奇偶校驗沒有證明其不可能性,因為各種可能的情況太多,是否有一種簡單的可能性證明? ::首先假設(shè)此平方根可以表示成一個既約的有理分數(shù),則分子和分母不可能都是偶數(shù),分母可能都是奇數(shù)或者一個是奇數(shù),換句話說,因而反證了2的平方根不可能是一個有理數(shù). 布朗先生的女兒利用所謂奇偶校驗,則稱其為具有相同的奇偶性,如果一個數(shù)是奇數(shù),另一個數(shù)是偶數(shù),經(jīng)常會遇到類似的情況. 貝特西:啊哈!,問題就清楚了.這里面有什么奧妙,你理解貝特西的意思嗎? 貝特西:出了什么問題?爸爸? 布朗先生:這些該死的瓷磚,. 考勤人員聽了后對小孩的數(shù)字研究了半天,看有多少人能夠指出其謬誤所在,.【難鋪的瓷磚】　　,目前商店里只供應長方形的瓷磚,:布朗先生,您需要幾塊?.布朗先生:嗯,我要更換40塊方瓷磚,所以我估計需要20塊. 361天 122周末 ,共730小時,或730/24即30天左右. 我們還有60天暑假. 我每天睡覺需要8小時,8X365總共2920小時,一天有24小時,所以2920/24即122天. ,或者說十五個全部的解,可以把硬幣和杯子的數(shù)目,以及對于每只杯中放入硬幣數(shù)的要求作一些改變,從而可以作兩次計算,. 7 2 1 至少一個的問題,就一般的形式來說,:在一家旅店,由 n ,她隨便地把寄存牌發(fā)了出去,問至少一人取回自己的帽子的概率是多少呢?結(jié)果發(fā)現(xiàn),當 n 增大時,其概率迅速地趨近于極限 (11/e),或者說比1/2稍微好一點,其中 e 是著名的歐拉常數(shù),...,在概率論問題中經(jīng)常反復地出現(xiàn).【塑料杯問題】　　:取三個喝咖啡用的泡沫塑料空杯,把11枚硬幣投入杯子中,:這不難做到,是嗎?方法很多,你可以在一只杯子中放入一枚硬幣,第二只杯子中放入三枚硬幣,:但是,你能否把十枚硬幣放入同樣的杯子中,使得每只杯子中的硬幣數(shù)都是奇數(shù)?這也是能夠辦到的,:,就使每只杯子中都是奇數(shù)枚硬幣了. 有時,從任意一個盒子內(nèi)取出最少的豆子數(shù)進行試看,紅綠豆,諸如每個盒子內(nèi)不只兩粒豆子,或者盒子不只三個等等. ,其中一個盒子內(nèi)有兩粒綠豆,第二個盒子內(nèi)有兩粒紅豆,另一個盒子內(nèi)有一粒綠豆和一粒紅豆,三個盒子蓋子上分別寫著紅豆,紅綠豆和綠豆,便能判斷出所有盒子內(nèi)都裝著什么豆子嗎? 顯然,分成27個立方體單元,把它看成棋盤,處于某一個角格上的車可以向三個坐標上的任何位置作直線移動,試問車到空間對角線的另一個角格有多少條最短路徑?【錯抱的嬰兒問題】　　在某個醫(yī)院,?一種簡單的計算方法是把所有可能的情況列成一個表格,恰有三個是正確的,只有一個搞錯了,問這個問題有多少種不同情況?你是否用列表的方法求解?還是憑靈機一動想出來的? A B D CA D C BA C B DD B C AC B A DB A C D 讓我們把棋盤沿著左上至右下的對角線一截為二,(我國叫做楊輝三角形)的數(shù)字是相同的,當然,計算街道路徑條數(shù)的算法,.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1........... 在國際象棋棋盤上,車從棋盤的一角到對角線上另一角的最短路徑共有多少條?就像蘇珊給街道交點標上數(shù)字一樣,把棋盤上所有格子也都填上數(shù)字,于是問題就迎刃而解了.車只能沿著右上方向朝另一個角的目標移動,:183612033079217163432172884210462924171616215612625246279215153570126210330141020355684120136101521283612345678車1111111 蘇珊所發(fā)現(xiàn)的是一種快速而簡單的