【正文】 線，利用勾股定理求解；5題連結(jié)AC，證△ABE≌△ACF得AE＝AF，從而△AEF是等邊三角形。評注：正方形除了具備平行四邊形的一般性質(zhì)外，還特別注意其直角的條件。評注：本題以正方形為背景，突破了單純的計(jì)算與證明，著重考查了學(xué)生觀察、分析、判斷等多種能力。 評注：本題是一道新穎別致的好題，它考查學(xué)生實(shí)踐操作能力和探究問題的能力。 A、＜ B、＞ C、＝ D、與無關(guān)如圖，在正方形ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝600，則下列關(guān)系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③（∠1＋∠2）∶（∠3＋∠4）＝5∶3中，正確的是（ ） A、①②③ B、僅① C、僅②和③ D、僅①和③ 如圖，正方形ABCD的面積為256，點(diǎn)F在AD上，點(diǎn)E在AB的延長線上，Rt△CEF的面積為200，則BE的值為（ ） A、10 B、11 C、12 D、15有若干張如圖所示的正方形和長方形紙片，表中所列四種方案能拼成邊長為的正方形的是（ ）數(shù)量（張） 卡片方案（1）（2）（3）A112B111C121D211三、解答題：如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，BD與CE交于F點(diǎn)，求證：AF⊥BE。（1）如圖1，取AD中點(diǎn)F，連結(jié)MF，由MN⊥DM得∠DAM＝900，易證∠1＝∠2，又因∠MNB＝∠NBE－∠2＝450－∠2，∠DMF＝∠AFM－∠1＝450－∠1，所以∠DMF＝∠MNB，又因DF＝BM，所以△DMF≌△MNB，故MD＝MN。 ∵AB∥DC，∴DM＝AB，∠AMC＝∠BDC＝300 又∵中位線EF＝7 ∴CM＝CD＋DM＝CD＋AB＝2EF＝14 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥AM，AC＝CM＝7 ∵AH⊥CD，∴∠ACD＝600 ∴AH＝＝ 評注：平移梯形對角線、平移梯形的腰是解梯形問題時(shí)常用的輔助線。等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝1∶2∶3，則下底角的度數(shù)是 。已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，D是底邊上任意一點(diǎn)，過D作BC的垂線交AC于M，交BA的延長線于N。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：2∶3；600；3；4；6；150二、選擇題：CBAAC三；解答題：證△AFE≌△DEG；作AH⊥MN于N，則MN＝MH，AH＝MH＋MD易證NH＋DM＝AH；2（1）連結(jié)CS、BP；（2）∵SB＝DO＋OB＝11，CS＝，BC＝＝，SQ＝，∴＝；（3）設(shè)CD＝，AB＝，＝。 【例2】如圖，△ABC的三邊長分別為AB＝14，BC＝16，AC＝26，P為∠A的平分線AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，求PM的長。若梯形中位線被它的兩條對角線分成三等分，則梯形的兩底之比為 。其中正確的是（ ） A、①和② B、②和③ C、①②④ D、②③④三、解答題：如圖，在矩形ABCD中，BC＝8cm，AC與BD交于O，M、N分別為OA、OD的中點(diǎn)。分析：在Rt△ABC中，已知兩直角邊長求斜邊長可應(yīng)用勾股定理，再利用兩直角邊長與斜邊長的比分別求出sinA、cosA的大小，從而便可以計(jì)算出的大小，即可比較sinA與cosB的大小。探索與創(chuàng)新：【問題】已知，則＝ 。已知，在△ABC中，∠A＝600，∠B＝450，AC＝2，則AB的長為 。解：在Rt△ABC中，∠C＝900，∠BDC＝450∴∠。在Rt△ABC中，∠C＝900，若AC∶AB＝1∶3，則cotB＝ ?！纠?】已知，為銳角，則＝ 。精典例題：【例1】在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝15。在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是對角線，EF為中位線，若∶＝1∶2，則∶＝ 。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：三角形各邊長為12，則連結(jié)各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周長是 。求證：MD⊥MC。 如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的長分別是關(guān)于的方程的兩根，并且∶＝1∶5。其中正確的結(jié)論有（ ） A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè) 已知如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝450，∠C＝1200，AB＝8，則CD的長為（ ） A、 B、 C、 D、如圖，在直角梯形ABCD中，底AB＝13，CD＝8，AD⊥AB，并且AD＝12，則A到BC的距離為（ ）A、12 B、13 C、10 D、1221＋13如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC＝BC＋AD則∠DBC的度數(shù)為（ ） A、300 B、450 C、600 D、900三、解答題：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，在AB、DC上各取一點(diǎn)F、G，使BF＝CG，E是AD的中點(diǎn)。略證：連結(jié)AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)M ∵AD∥BM， ∴在△ABM中有 ∴EF∥BC， ∴EF＝＝ 而，故 ∴EF＝＝＝ 評注：本題是一道探索型試題，其目的是考查學(xué)生觀察、歸納、抽象、概括、猜想的能力，它要求學(xué)生能通過觀察進(jìn)行分析和比較，從特殊到一般去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能概括地用數(shù)學(xué)公式表達(dá)出來。分析：根據(jù)對角線互相垂直，將對角線平移后可構(gòu)造直角三角形求解。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題： ③；2；3；②二、選擇題：CDCA三、解答題：易證△ABF≌△CFB和△BAE≌△CDE，由△ABF≌△CFB∠AFB＝∠BFC∠FAD＝∠DCE；由△BAE≌△CDE∠DCE＝∠ABF。其中能判斷它是正方形的題設(shè)條件是 （把正確的序號填在橫線上）。 ①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，這時(shí)PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此時(shí)＝0；②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長線上，且CP＝CQ時(shí)，△PCQ是等腰三角形（如圖3）。結(jié)論：（2）的結(jié)論“OE＝OF”仍然成立。求證：AH＝AD。 1如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AE交CD于F，EG⊥AB于G，求證：四邊形GECF是菱形。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：若矩形的對稱中心到兩邊的距離差為4，周長為56，則這個(gè)矩形的面積為 。（2）當(dāng)＝12時(shí)，AB＋BC＝10，AB 【例2】如圖，已知菱形ABCD的邊長為3，延長AB到點(diǎn)E，使BE＝2AB，連結(jié)EC并延長交AD的延長線于點(diǎn)F，求AF的長。 在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且＝＝＝＝（＞0），閱讀下列材料，然后回答下面的問題：如上圖，連結(jié)BD∵＝，＝∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD①連結(jié)AC，則EF與GH是否一定平行，答： ；②當(dāng)值為 時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形；③在②的情形下，對角線AC和BD只需滿足 條件時(shí)，EFGH為矩形；④在②的情形下，對角線AC和BD只需滿足 條件時(shí)，EFGH為菱形；已知，在四邊形ABCD中，從①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D中取出兩個(gè)條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請你具體寫出這些組合。略證：過M作ME∥AN，且ME＝AN，連結(jié)NE、BE，則四邊形AMEN是平行四邊形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中，ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC∴△BEM≌△AMC∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE∴△BEN是等腰直角三角形∴∠BNE＝450∵AM∥NE∴∠BPM＝∠BNE ＝450跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：一個(gè)平行四邊形的兩條對角線的長度分別為5和7，則它的一條邊長的取值范圍是 。變式2：順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。 在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，過D作DF∥BA交AE于點(diǎn)F，DF＝AC，求證：AE平分∠BAC。證明：過C作CE∥AD交BA的延長線于E CE∥AD∠E＝∠3AE＝AC CE∥AD ∴（1）上述證明過程中，用了哪些定理（寫出兩個(gè)定理即可）；（2）在上述分析、證明過程中，主要用到了三種數(shù)學(xué)思想的哪一種？選出一個(gè)填入后面的括號內(nèi)（ ）①數(shù)形結(jié)合思想 ②轉(zhuǎn)化思想 ③分類討論思想答案：②轉(zhuǎn)化思想（3）用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分線，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，求BD的長。分析二：要證明CF＝2BF，聯(lián)想∠B＝300，EF是AB的中垂線，可過點(diǎn)A作AG∥EF交FC于G后，得到含300角的Rt△ABG，且EF是Rt△ABG的中位線，因此BG＝2BF＝2AG，再設(shè)法證明AG＝GC，即有BF＝FG＝GC。參考數(shù)據(jù)：sin360＝，sin540＝已知△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC＝5。二、選擇題：如圖，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個(gè)結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（ ） A、全部正確 B、僅①和②正確 C、僅①正確 D、僅①和③正確如果一個(gè)三角形的一條邊的長是另一條邊的長的2倍，并且有一個(gè)角是300，那么這個(gè)三角形的形狀是（ ） A、直角三角形 B、鈍角三角形 C、銳角三角形 D、不能確定在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，則∠ACB的度數(shù)是（ ） A、大于900 B、小于900 C、等于900 D、不能確定 如圖，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝，OA＝OC＝，則∠OAB的度數(shù)為（ ） A、100 B、150 C、200 D、250三、解答題： 閱讀下面的解題過程：已知、為△ABC的三邊，且滿足，試判斷△ABC的形狀。 如圖，四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，則∠DAB＝ 。由勾股定理得：。（2）若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長?（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級? 解：（1）如圖1，由點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D。這是解本題的關(guān)鍵。（2）若△ACE和△BDF不全等，請你補(bǔ)充一個(gè)條件，使得兩個(gè)三角形全等，并給予證明。求證：△ABE和△BDC是等腰三角形。如圖，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么圖中有全等三角形 對。方案（2）：若這個(gè)角是直角，則這兩個(gè)三角形全等。分析：采用截長補(bǔ)短法，延長AC至 E，使AE＝AB，連結(jié)DE；也可在AB上截取AE＝AC，再證明EB＝CD（證明略）。 二、選擇題：若△ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10，則這樣的三角形共有（ ）A、6個(gè) B、7個(gè) C、8個(gè) D、9個(gè)在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A的度數(shù)為（ ）A、300 B、360 C、450 D、720等腰三角形一腰上的中線分周長為15和12兩部分，則此三角形底邊之長為（ ）A、7 B、11 C、7或11 D、不能確定在△ABC中，∠B＝500，AB＞AC，則∠A的取值范圍是（ ）A、00＜∠A＜1800 B、00＜∠A＜800C、500＜∠A＜1300 D、800＜∠A＜13