橢圓典型題型歸納總結(jié)(存儲(chǔ)版)
【正文】 （1）直線與橢圓的位置關(guān)系例1. 當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相切、相交、相離？（）與連結(jié)，的線段沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍。結(jié)論2設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓外一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為，最小值為。練習(xí)已知?jiǎng)訄AC過(guò)點(diǎn)A，且與圓相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ；（五）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；，為橢圓上任一點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程； （六）直接法求軌跡方程；，且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上滿足的點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程； （七）列方程組求方程，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程； 橢圓中的焦點(diǎn)三角形：通常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理來(lái)解決；橢圓上一點(diǎn)和焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的中，則當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)最大，且①；②；③=。 （二）弦長(zhǎng)問(wèn)題，是軸正方向上的一定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。由此想到橢圓第一定義, 為橢圓的左焦點(diǎn)。解：設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓方程知的取值范圍是（1）若，則時(shí)，（2）若,則時(shí)（3）若,則結(jié)論3：橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)A(m,0)或B(0,n)距離的最值問(wèn)題，可以用兩點(diǎn)間距離公式表示︱MA︱或︱MB︱，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。例1．到兩定點(diǎn)，的距離之和為定值5的點(diǎn)的軌跡是 例2．已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓的上半圓周上(即y＞0)，∠AOP的平分線交于Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程。，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該橢圓上移動(dòng)時(shí)，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（第二定義的應(yīng)用）例3．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試分別求：（1）的最小值； （2）的取值范圍．解：（1），此時(shí)點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)且垂直于的線段與橢圓的交點(diǎn)；（2）由橢圓的定義知，故，①，故（當(dāng)且僅當(dāng)為有向線段的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取“=”）；②，故。例3．求定點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)之間的最短距離。F2F1M1M2例1．若，為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。 解：設(shè)，：把代入橢圓方程得：，即，∴，此時(shí) 令直線的傾角為，則即面積的最大值為，此時(shí)直線傾斜角的正切值為。 橢圓典型題型歸納題型一. 定義及其應(yīng)用橢圓定義：平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和等于常數(shù)（ 大于= ）點(diǎn)的集合叫橢圓；即注：當(dāng)時(shí)軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)軌跡為線段；當(dāng)時(shí)無(wú)軌跡。F2F1M1M2例1．若，為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。（短軸長(zhǎng)）例：知橢圓上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、求、及；練習(xí)：橢圓的焦點(diǎn)為、點(diǎn)在橢圓上，若，則 ；的大小為 ；是橢圓上的一點(diǎn)，
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