最短路徑問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)試題(存儲(chǔ)版)
【正文】 的差最大，如果兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來(lái)推理說(shuō)明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)解決．解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱悖D(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題．在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來(lái)解決問(wèn)題． 【例2】 如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來(lái)水廠向A村與B村供水．(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？分析：(1)到A，B兩點(diǎn)距離相等，可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”，又要在河邊，所以作AB的垂直平分線，與EF的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)．(2)要使廠部到A村、B村的距離之和最短，可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間線段最短”，作A(或B)點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與B點(diǎn)，與EF的交點(diǎn)即為所求．解：(1)如圖1，取線段AB的中點(diǎn)G，過(guò)中點(diǎn)G畫AB的垂線，交EF于P，則P到A，B的距離相等．也可分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)作直線，與EF的交點(diǎn)P即為所求．(2)如圖2，畫出點(diǎn)A關(guān)于河岸EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交EF于P，則P到A，B的距離和最短．【例3】 如圖，從A地到B地經(jīng)過(guò)一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導(dǎo)引：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時(shí)不難說(shuō)明點(diǎn)N即為建橋位置，MN即為所建的橋．解：(1)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬．(2)連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn)N.(3)過(guò)點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸于點(diǎn)M.則MN為所建的橋的位置．4．生活中的距離最短問(wèn)題由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問(wèn)題，就是運(yùn)用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個(gè)問(wèn)題，運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)，能將兩條線段通過(guò)類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段，如圖，AO＋BO＝AC的長(zhǎng)．所以作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)是解決這類問(wèn)題的基本方法．【例4】 (實(shí)際應(yīng)用題)茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？ 圖a 圖b解：如圖b.(1)作C點(diǎn)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C1，作D點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D1，(2)連接C1D1，分別交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路線行走，所走的總路程最短．利用軸對(duì)稱和三角形的三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問(wèn)題的關(guān)鍵．先做出其中一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，所得直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即為所求．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值．破疑點(diǎn) 解決距離的最值問(wèn)題的關(guān)鍵 運(yùn)用軸對(duì)稱變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問(wèn)題的有效方法．【例5】 如圖所示，A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，在l上找一點(diǎn)C，使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之差最大． 分析：此題的突破點(diǎn)是作點(diǎn)A(或B)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′(或B′)，作直線A′B(AB′)與直線l交于點(diǎn)C，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來(lái)解決．解：如圖所示，以直
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