最短路徑問題專項(xiàng)練習(xí)試題(已修改)
2025-04-06 03:52 本頁面
【正文】 .. . . ..最短路徑問題專項(xiàng)練習(xí)共13頁，全面復(fù)習(xí)與聯(lián)系最短路徑問題一、具體內(nèi)容包括：螞蟻沿正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食問題；AB線段（之和）最短問題；二、原理：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短。（構(gòu)建“對(duì)稱模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化）1．最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求．如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)．(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求．如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，則點(diǎn)C是直線l與AB′的交點(diǎn)．為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC＋CB＜AC′＋C′：證明：由作圖可知，點(diǎn)B和B′關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l是線段BB′的垂直平分線．因?yàn)辄c(diǎn)C與C′在直線l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】 在圖中直線l上找到一點(diǎn)M，使它到A，B兩點(diǎn)的距離和最?。》治觯合却_定其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)．解：如圖所示：(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；(2)連接AB′交直線l于點(diǎn)M.(3)則點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)．點(diǎn)撥：運(yùn)用軸對(duì)稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問題.運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核心，所有作法都相同．警誤區(qū) 利用軸對(duì)稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求 根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法．解決這類最值問題時(shí)，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導(dǎo)致答非所問．3．利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上．如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大，如果兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)來解決．解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問題時(shí)，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題．在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題． 【例2】 如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？分析：(1)到A，B兩點(diǎn)距離相等，可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”，又要在河邊，所以作AB的垂直平分線，與EF的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)．(2)要使廠部到A村、B村的距離之和最短，可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間線段最短”，作A(或B)點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與B點(diǎn)，與EF的交點(diǎn)即
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