最短路徑問題專項(xiàng)練習(xí)試題-文庫(kù)吧
2025-03-10 03:52 本頁(yè)面
【正文】 為所求．解：(1)如圖1，取線段AB的中點(diǎn)G，過中點(diǎn)G畫AB的垂線，交EF于P，則P到A，B的距離相等．也可分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線，與EF的交點(diǎn)P即為所求．(2)如圖2，畫出點(diǎn)A關(guān)于河岸EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交EF于P，則P到A，B的距離和最短．【例3】 如圖，從A地到B地經(jīng)過一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導(dǎo)引：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時(shí)不難說(shuō)明點(diǎn)N即為建橋位置，MN即為所建的橋．解：(1)如圖2，過點(diǎn)A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬．(2)連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn)N.(3)過點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸于點(diǎn)M.則MN為所建的橋的位置．4．生活中的距離最短問題由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運(yùn)用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個(gè)問題，運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段，如圖，AO＋BO＝AC的長(zhǎng)．所以作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)是解決這類問題的基本方法．【例4】 (實(shí)際應(yīng)用題)茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？ 圖a 圖b解：如圖b.(1)作C點(diǎn)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C1，作D點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D1，(2)連接C1D1，分別交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路線行走，所走的總路程最短．利用軸對(duì)稱和三角形的三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問題的關(guān)鍵．先做出其中一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，所得直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即為所求．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值．破疑點(diǎn) 解決距離的最值問題的關(guān)鍵 運(yùn)用軸對(duì)稱變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問題的有效方法．【例5】 如圖所示，A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，在l上找一點(diǎn)C，使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之差最大． 分析：此題的突破點(diǎn)是作點(diǎn)A(或B)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′(或B′)，作直線A′B(AB′)與直線l交于點(diǎn)C，把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來(lái)解決．解：如圖所示，以直線l為對(duì)稱軸，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，A′B的連線交l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．理由：在直線l上任找一點(diǎn)C′(異于點(diǎn)C)，連接CA，C′A，C′A′，C′，A′關(guān)于直線l對(duì)稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.點(diǎn)撥：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來(lái)說(shuō)明最值問題是常用的一種方法．三、例題：例①如右圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體木塊，一只螞蟻要從木塊的點(diǎn)A沿木塊側(cè)面爬到點(diǎn)B處，則它爬行的最短路徑是 。ABCD②如右圖是一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，已知AB=3,BC=4,CD=2，假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處，則螞蟻爬行的最短路徑是 。張村李莊ABL例①如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最
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