計(jì)算力學(xué)ppt課件(存儲(chǔ)版)
【正文】 ?? aa由此求得： 1s in12 aa ??? ?1s inc o s~1 ?? xadxud? ?1s ins in~ 1 ??? xxau? ?? ??? ??? 10221 1s i nc os21 xaΠ 221 )1s in( s in21 xxa ???dxxxxa )1s in( s in1 ??代入式（ 5）： ?????? ??? 1c os1s i n321s i n21 21aΠ ?????? ?? 1c os1s in321a?????? ??? 1c os1s i n321s i n21 21aΠ?????? ?? 1c os1s in321a?????? ???? 1c o s1s in321aΠ 0)11s in(1 ???? a1s in11 ?a所求解為： xxu ??1s ins in~與精確解相同 例： 一端固定，另一端自由的梁，其跨度為 l， 抗彎剛度 EI 為常數(shù)，分別承受均勻分布載荷 q、集中力 P 的作用，如圖所示。如不事先滿足，需要進(jìn)行處理 （約束變分原理）。 2）收斂性有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)（泛函分析）。 （ 2） 選取近似解為： xaxau 21 s in~ ??使其滿足強(qiáng)制邊界條件： 顯然，滿足： 。 3. 泛函 ?(u) 的極值性 強(qiáng)制邊界條件與自然邊界條件： 若算子 L 為偶數(shù)（ 2m）階的，即對(duì)于 2m 階的微分方程： 對(duì) 0)( ?? fuL （在域 ? 內(nèi) ） （在邊界 ? 上） 0)( ?uB含 0 ~ m1 階導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為 強(qiáng)制邊界條件。 線性、自伴隨微分方程的定義： ?微分方程 為微分算子 若 具有性質(zhì)： 則稱 為 線性微分算子 。 說明： （ 1）要求存在某一標(biāo)量泛函 ? 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題； 熱傳導(dǎo)問題； 流場(chǎng)問題； 電磁場(chǎng)問題等。其解的 2n個(gè)待定常數(shù)由 2n個(gè)端點(diǎn)條件決定： (1) 例： 假設(shè)有一不計(jì)自重的懸臂梁 ,長(zhǎng)為 L，截面面積 A，彈性模量 E。 x=L 時(shí)， P=p。 利用歐拉方程求解泛函極值問題 （ 1）實(shí)例 1（過 A、 B兩定點(diǎn)間長(zhǎng)度最短的曲線）中，泛函形式為： 被積函數(shù)為 代入 Euler方程 得： 解得 代入邊界條件后得 A、 B兩點(diǎn)間最短曲線為直線。 （ 2）拉格朗日泛函變分定義 如果泛函 ?[y(x)]的變分 存在，那么此變分等于函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)在 ε=0 處的值， 即 泛函的駐值 （ 1）函數(shù)的駐值 如果函數(shù) y(x) 在 x=x0附近的任意點(diǎn)上的值都不大（?。┯?y(x0)， 即 則稱函數(shù) y(x) 在 x=x0上達(dá)到極大（極?。?，而且在 x=x0上有 對(duì)于多元函數(shù) 根據(jù)泰勒公式： 式中 是關(guān)于增量的一次、二次 … 齊次式，其中 使多元函數(shù) 為極大或極小的 條件是： 也可寫成： 稱為函數(shù)的駐值條件，其解稱為駐點(diǎn)，駐點(diǎn)處的函數(shù)值稱為駐值。 Lagrange引用小量 ε 保證曲線有 k 階接近度： 小量 ε →0 。 在長(zhǎng)度一定的封閉曲線中，什么樣的曲線所圍面積最大？ 已知曲線用參數(shù)表達(dá)為x=x(s),y=y(s)。 通過質(zhì)點(diǎn)滑過曲線所需時(shí)間的變分為零，即 求得最速降線。 泛函的基本點(diǎn) （ 1）泛函有它的定義域。此質(zhì)點(diǎn)在重力的作用下，無摩擦地從 A滑到 B需要一定的時(shí)間 T。 簡(jiǎn)單地說，泛函也是一種 “ 函數(shù) ” ，它的獨(dú)立變量一般不是通常函數(shù)的 “ 自變量 ” ，而是通常函數(shù)本身。 假設(shè) A在坐標(biāo)原點(diǎn)，故質(zhì)點(diǎn)由 A滑到 B的速度為 則 T為 實(shí)例 3 假設(shè)有一不計(jì)自重的彈性桿 OB,長(zhǎng)為 L，截面面積 A，彈性模量 E。 y(x)亦稱為泛函 Π的 宗量 。 求曲面 ?(x,y,z)=0上兩定點(diǎn)A(x1,y1,z1)、 B(x2,y2,z2)間長(zhǎng)度最短的曲線。 Euler 于 1744年解決。 什么是函數(shù) y=f(x)的微分？ 例如： y= f(x) = sinx 如果 x→ x+Δx，則函數(shù)的增量 從式中可看到： Δy與 Δx之間的函數(shù)關(guān)系是非線性的。 解： 設(shè) y(x)就是欲求的極值曲線，在 y(x)的近旁構(gòu)造一類可取函數(shù) ε為與 x無關(guān)的微小參量， ?y(x)是滿足變分法預(yù)備定理中的 3個(gè)一般條件的任意選定的函數(shù)。 這是一組圓滾線方程，常數(shù) D由圓滾線通過 B點(diǎn)確定，它能使其上質(zhì)點(diǎn)滑下的時(shí)間最短。 是變分后從泛函中分離出來的，是為了使泛函滿足極值條件而又必須滿足的邊界條件， 稱為自然邊界條件 ，即 x=L處力的邊界條件。 解： 應(yīng)變能 所以 外力功 總位能 （ 1）用 Euler方程求解 將被積函數(shù) 代入 Euler方程 得到： 此即撓曲線方程。 （ 2）將函數(shù) u 的近似解代入泛函 ? ( u ) : ~ ~ )()~( au ΠΠ ?（ 3）對(duì)泛函 ? ( ai ) 求變分，并令等于零； ~ 0)()~( ?? au ΠΠ ?? （ ） 0)()()()( 2211??????????? nniiiiΠΠΠΠ aaaaaaaaaa ???? ?（ ） 由于 naaa ??? , 21 ?是任意的， 故上式成立時(shí)，必有： 0)(,0)(,0)(21?????????niii ΠΠΠaaaaaa ?將上式表示成矩陣形式，有： 0)()~( ?? au ΠΠ ??0
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