【正文】 ?L M M L 0??所以： 例如，坐標(biāo) x和動(dòng)量 Px的算符不可相互對易，因此它們沒有共同的本征函數(shù)系，從而也不能同時(shí)具有確定值 —— 測不準(zhǔn)原理。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 3. Fermi子和 Bose子 Fermi子 —— 電子、質(zhì)子、中子等自旋量子數(shù) s為半整數(shù)的粒子。dinger方程及其解 一、一維箱中的粒子 一維箱中粒子的 Schr246。22() m E m Ex A B C o s x A B iS in x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?上式也可寫作 ? ?39。 n=1時(shí)， E最小， ，稱為零點(diǎn)能。dinger方程： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22222 2 2, , , , , , , , 02x y z x y z x y z E V x y zm x y z??? ?????? ? ? ? ? ???? ? ???? ?, , 0x y z? ?在箱子外部，因?yàn)?V = ∞， 。即在立方箱的情況下，同一能量對應(yīng)著不止一種狀態(tài) ，這種能級稱為簡并的。需計(jì)算其平均值 (4) 將動(dòng)量平方算符 作用到 ψ2(x)上，得 2222P?dxdx ???)(2s i n2422s i n2)(P? 22222222222 xahaxaahaxadxdxx ???? ??????? ????????????? ???????? ?因此動(dòng)量 Px2具有確定值，為 22ah第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 例題 2： 粒子在一維箱中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由 ψ(x)描述，求粒子的能量或能量平均值。2)]c o s ()[ c o s (s i ns i n||222??????????????????????第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 第一章作業(yè)： 只做 600nm (3) (4) 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) —— the end —— 。 222() xx S inaa?? ???? ????解： (1) 一維箱中 V = 0， ， 將其作用到 ψ2(x)上 222H?dxdm???222() ()2dx Exm d x? ?? ? ?代入邊界條件： x ≤ 0和 x ≥ a時(shí)， ψ(x)=0可得： 2228nnhEma?所以能量 E有確定值。8zz zzn z n hz S in E ncc mc?? ??? ? ? ?????, , 1 2 3( , , ) ( ) ( ) ( )8 x y zn n nyx zx y z x y znynx nzSin Sin Sinab c a b c? ? ? ??? ?????? ???? ?? ???????? ??22 22, 2 2 28x y zyx zn n n x y znn nhE E E Em a b c??? ? ? ? ? ?????第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) , , 1 2 3( , , ) ( ) ( ) ( )8 x y zn n nyx zx y z x y znynx nzSin Sin Sinab c a b c? ? ? ??? ?????? ?????? ???? ??????22 22, 2 2 28x y zyx zn n n x y znn nhE E E Em a b c??? ? ? ? ? ????? 長方箱中，每一組 確定一個(gè)狀態(tài)，并對應(yīng)一個(gè)能量 ，將這些狀態(tài)記為 ，一個(gè)能量只能對應(yīng)一個(gè)狀態(tài)。 節(jié)點(diǎn)數(shù) =n1. 當(dāng) n=1 n=2 n=3…… 時(shí) 節(jié)點(diǎn)數(shù) = 0 1 2 …… 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 二、三維勢箱中的粒子 在箱內(nèi) V=0，粒子被束縛在邊長分別為 a、 b、 c的 箱內(nèi)； 在箱外 V = ∞ 。 228hma() nxx B S in a?? ??? ????此時(shí) 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 1. 求歸一化常數(shù) B 220 1a nxB S in d xa??? ??????歸一化條件 22122nxC osnx aSin????? ???? ???????代入上式得 22 2 20021122aanxC osn x aBaB Si n dx B dxa?? ??? ? ? ???????2Ba?因此積分常數(shù) 2()nnxx S inaa?? ???? ????2228nnhEma?得到的描述一維箱中粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的波函數(shù) ψn(x)及相應(yīng)的能量 En為 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 2. 結(jié)論 注意 :能量 En與波函數(shù) ψ(x)是一一對應(yīng)的 : 1 2() xx S inaa?? ???? ????21 28hEma?2 22() xx S inaa?? ???? ????22 248hEma?(1) 一維箱中粒子可以存在的能級 En、相應(yīng)的波函數(shù) ψn(x)及幾率密度 |ψn(x)|2： n=1時(shí)： ???????? axSi nax?? 2)(1221 8mahE ????????lllx2)2(21? ??? ?? 0)(1 llx??????0)0(01?x第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) n=2時(shí)： ????????axSi nax?? 22)(2222 84mahE ????????0)2(22llx? ?????0)(2 llx???? ?? 0)0( 02?x???????lllx2)4(42? ????????lllx2)43(432?n=3時(shí)： ????????axSi nax?? 32)(3223 89mahE ?????????lllx2)63(633????????0)( ,32 ,3 ,03 xlllx? ???????lxllx2)(65 ,63?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) (2) 能量只能取分立的數(shù)值，是量子化的。 39。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 167。 ψ究竟是對稱還是反對稱則由粒子自身的性質(zhì)決定。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 由假設(shè) 4可知， ψ所描述的狀態(tài)中，力學(xué)量 M平均值 M 在 ψ1中取 m1值的幾率為 |c1|2； 在 ψ2中取 m2值的幾率為 |c2|2； 在 ψn中取 mn值的幾率為 ||2； 由于在整個(gè)空間中，幾率密度等于 1，所以 1n1i2in1ii*in1ii*ii*in1iiin1i*i*i ??? ?? ? ?????? ?? ? ?????????? cccdccdccddw ?????????因此， |ci|2代表 ψ狀態(tài)時(shí) M平均值取 mi值時(shí)的幾率。 (2) 定態(tài)是不依賴 t的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是原子、分子中電子最可能的狀態(tài)，不顯含 t的 ψ可以解釋微觀現(xiàn)象中大量的定態(tài)性質(zhì)。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 波函數(shù)的這種形式，可保證粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率密度不隨 t 改變。 0)( )( 2*1 ??? dxxΨxΨA?A?本征函數(shù)正交性定理 Ⅱ ： 屬于同一厄米算符 相同本征值 an的不同本征函數(shù)系列 {Ψn1， Ψn2， …… ， Ψnf}任意線性組合為 Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+ …+ cfΨnf后， Ψn仍然是 屬于同一本征值 an的本征函數(shù)。一般情況下不等于 A?B?B?A?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 算符的對易關(guān)系： ? ?A?B?B?A? ? 稱為算符對易關(guān)系中的對易子，用 表示。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 同樣可以很容易求出角動(dòng)量 L及其在球坐標(biāo)系中三個(gè)分量 Lx、 Ly、 Lz的算符及角動(dòng)量平方 L2算符的表達(dá)式： ? ? ? ? ? ? zyxxyxzyzzyxLkLjLiyPxPkzPxPjzPyPiPPPzyxkjiPrL???????????????????????????????????????????????????????????????yzzyiyizziyPzPyL yzx ?????????????? ??????? zxxziL y ?????????????????xyyxiL z ??第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系 θ ： 0 ~ π φ： 0 ~ 2π r ： 0 ~ ∞ ? ? 21222 zyxr ????tgxy ?????? c o s 。 令 則： K???2( , , , )dw x y z t d???2( , , , )w x y z t??Ψ為未歸一化波函數(shù)。 4 量子力學(xué)的基本假設(shè) 一、波函數(shù)和微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 假設(shè) Ⅰ ：對于一個(gè)微觀體系，它的狀態(tài)和有關(guān)情況可用波 函數(shù) Ψ(x,y,z,t)表示， Ψ是坐標(biāo) (x,y,z,t)的函數(shù)，同時(shí) 也是時(shí)間 t的函數(shù)。 2 d S in n????? s in2nd?n = 0, 1, 2, …… 這樣計(jì)算出來的波長與根據(jù) de Brolie關(guān)系式計(jì)算出來的結(jié)果完全一致。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 三、光的本質(zhì) 1. 光是物質(zhì) 2. 光的波粒二象性 光在與實(shí)物粒子的相互作用中表現(xiàn)為粒子性，光也不是經(jīng)典力學(xué)中的粒子，但具有經(jīng)典概念中粒子的某些