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總結(jié)求逆矩陣方法(存儲版)

2024-12-01 08:16上一頁面

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【正文】 ???????????????5543264432653326655442321的逆矩陣。 推論 令 mc = ma ma 1?mA m? ,則 mc = 1?mA 1?mA = 1?mA 1?mA =mmAA1? . 證明:在( 1)式兩邊取行列式既得。 解:由 2A +2A 3E =( A +n E )( A ( n 2) E )-( 2n 2n 3) E = 0得, (A +n E )( A ( n 2) E )=-( 2n 2n 3) E =-( n - 3)( n +1) E . i)當(dāng) n ? 3且 n ? - 1 時, A +n E 可逆, 且 ? ?1??nEA =-)1)(3( 1 ?? nn( A ( n 2) E ); 12 / 17 ii )當(dāng) n = 3 時,有( A + 3E )( A - E )= 0,若 A = E ,則 A + 3E = 4E , ? ?13 ?? EA= 41 E ,若 A ? E ,( A + 3E ) X = 0 有非零解,得 EA 3? = 0,故 A ? 3E 不可逆; iii )當(dāng) n ? - 1 時,有( A + 3E )( A - E )= 0,若 A =- 3E ,則 A - E =-4E , ? ?1??EA =- 41 E ,若 A ? - 3E ,則 A + 3E ? 0,( A - E ) X = 0有非零解,得 EA? = 0,故 A - E 不可逆。 例 求 A =A ( 1, 2, 3)的逆矩陣。 一類階數(shù)較高矩陣的逆矩陣的求法 對于二階矩陣 ?????? dc ba( 1)當(dāng) bcad? 時,則可逆,且其逆為 ??????? ?? ac bdbcad 1,利用這一簡單結(jié)論可得出形如( 2)111111abcd一類方陣的逆矩陣,其中( 2)中未標(biāo)的元素主對角線上全為 1,其它元全為 0. 定理 矩陣( 2)可逆,且矩陣( 1)的逆為 ?????? hg fe,則矩陣( 2)的逆為 1111efgh????????????. 證明:設(shè)矩陣( 2)為 A ,對 A 施行一系列交換兩行和兩列的初等變換,則 A 化成 16 / 17 1111ebgd????????????,這相當(dāng)于存在 ijP 型的初等矩陣,使得 ( 3) sP ?? 2P 1P A 1P 2P ?? sP = 1A 成立,由于 A 可逆,則 1A 可逆,易知 11?A =1111efgh??????????,對 (3) 式 兩 邊 求 逆 得? ? ? ? 1121121 ??? ?????? PPPAPPP ss = 1?A =1111efgh????????????,對等式兩邊左乘 1P 2P ?? sP ,右乘 sP ?? 2P 1P 得 17 / 17 ( 4) 1P 2P ?? sP1111ebgd????????????,由( 4)式知, 1?A 是通過 11?A施行行交換兩行和兩列初等變換得到的,而對 11?A 施行的初等變換,正是( 3)式中對 A 施行的初等變換,只是初等變換的先后次序恰恰相反,則有 1?A =1111efgh????????????. 例 判定矩陣 A =????????????????????100000010040001000000100020200000001是否可逆?若可逆求其逆。 (4) 1321 0 ???????A AA = ?????? ? ??? ? 131121`2130AAAA A( 2A , 3A 可逆)。 例 設(shè) n 階方陣 A 滿足 2A +2A 3E =0,說明 A +n E 是否可逆。 引理 任何一個 m +1 階可逆方陣都可以只通過行列互換初等變換化為左上角為 m 階可逆塊的方塊方陣形式,即對任意 m +1 階可逆方陣 1?mA ,存在互換初等矩陣 7 / 17 iP ( 1?iP =iP )( i =1,2,… ,n )使得 1P 2P … jP 1?mA 1?jP … nP = ??????mmmm bB? ? ,其中, mB為 m 階可逆方陣, m? 為 m 1 階矩陣, m? 為 1 m 階矩陣, mb = 11 ??mmb ,于是 11??mA = jP … 2P 1P 1???????mmmm bB? ? nP … 1?jP . 證明:由 1?mA 可逆知,至少有一個 m 階子式不為零,于是可以只通過行列的互換變換將 此子式對應(yīng)的矩陣換到左上角,得到新矩陣 ??????mmmm bB? ? 形式,即存在互換初等矩陣 iP( 1?iP =iP )( i =1,2,… ,n )使得 1P 2P … jP 1?mA 1?jP … nP = ??????mmmm bB? ? ,其中, mB 、m? 、 m? 、 mb 如條件所設(shè),于是根據(jù)互換初等矩陣性質(zhì) 1?iP =iP 即可得到定理后半部分結(jié)論。最后可得: P ,E , Q ,所以 1?A =Q P . 用分塊矩陣去求逆矩陣 設(shè) A 、 B 分別為 p 、 q 階可逆矩陣,則 10??????? BCA = ?????? ????1110 B CBAA, 10 ??????? BDA = ???????????1111 0BDABA, 10 0??????? BA = ????????110 0BA, 100???????B A = ????????0011A B. 4 / 17 例 求矩陣 S =??????????????3111522100110012的逆矩陣。且 1?A =A111 21 112 22 212nnn n nnA A AA A AA A A????????,其中 ijA 是 A 中元素 ija 的代數(shù)余子式。由定義得 A +4E 可逆,且 B ? ?14 ?? EA =B = EA 5251 ?? . 用伴隨矩陣去求逆矩陣 定理 n 階矩陣 A =( ija )為可逆的充要條件是 A 非奇異。對這三個矩陣施以變換,當(dāng)對 A 做一次行變換,便對左邊的矩陣 E 做同樣的行變換;每對 A 做一次列變換,便對右邊的矩陣 E 作同樣的列變換。 特征多項(xiàng)式法 定理 設(shè) A 是 n ? n 矩陣,則 A 可逆 ? 存在常數(shù)項(xiàng)不為 0 的多項(xiàng)式 g ( x),使 g (A )=0. 證:必要性,設(shè) A 的特征多項(xiàng)式為: f (λ )= 0111 aaa nnn ??????? ?? ??? 其中, 0a =? ?n1? A ? 0,而 f (A)=0,故 f (x)是適合條件的 g ( x) . 充分性,設(shè) g (λ) = 01 bbb mm ??????
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