【正文】 B．乙 C．丙 D．丁 （ 2020 年中央真題） 解析：顯然甲 =13/12%；乙 =14/13%；丙 =15/14%；丁 =16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲 /乙 =13/12%/16/15%＞ 1，所以，甲＞乙＞丙＞丁，選擇 A。 【例 1】 99+1919+9999 的個(gè)位數(shù)字是（ ）。 【例 1】 的末位數(shù)字是： （ 2020 年中央甲類真題） A． 1 B． 3 C． 7 D． 9 解析： 9n 是以 “2”為周期進(jìn)行變化的，分別為 9， 1， 9， 1， ……即當(dāng)奇數(shù)方時(shí)尾數(shù) 為 “9”，當(dāng)偶數(shù)方時(shí)尾數(shù)為 “1”， 1998為偶數(shù)，所以原式的尾數(shù)為 “1”，所以答案為 A。 2．核心定義： （ 1）最大公約數(shù)：如果一個(gè)自然數(shù) a 能被自然數(shù) b 整除，則稱 a 為 b 的倍數(shù)， b 為 a 的約數(shù)。 【例 2】 三位采購(gòu)員定期去某商店，小王每隔 9 天去一次，大劉每隔 11 天去一次，老楊每隔 7 天去一次，三人星期二第一次在商店相會(huì)，下次相會(huì)是星期幾？ A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 解析：此題乍看上去是求 9， 11， 7 的最小公倍數(shù)的問題，但這里有一個(gè)關(guān)鍵詞，即 “每隔 ”， “每隔 9 天 ”也即 “每10 天 ”，所以此題實(shí)際上是求 10， 12， 8 的最小公倍數(shù)。 第一、兩次相遇公式：?jiǎn)伟缎? S=(3S1+S2)/2 兩岸型 S=3S1S2 例 1：兩艘渡輪在同一時(shí)刻垂直駛離 H 河的甲、乙兩岸相向而行，一艘從甲岸駛向乙 岸，另一艘從乙岸開往甲岸，它們?cè)诰嚯x較近的甲岸 720 米處相遇。 第二、十字交叉法： A/B=(rb)/(ar) 例 2：某班男生比女生人數(shù)多 80%，一次考試后，全班平均成績(jī)?yōu)?75 分，而女生的平均分比男生的平均分高 20% ，則此班女生的平均分是 ( ) 解析：男生平均分 X，女生 75X 1 75 = X 得 X=70 女生為 84 第三、往返運(yùn)動(dòng)問題公式： V均 =(2v1v2)/(v1+v2) 例 3：一輛汽車從 A地到 B地的速度為每小時(shí) 30 千米，返回時(shí)速度為每小時(shí) 20 千米，則它的平均速度為多少千米 /小時(shí) ?( ) 解：代入公式得 23020/(30+20)=24,選 A。一般選項(xiàng)中四個(gè)數(shù)的尾數(shù)各不相同時(shí)，可以優(yōu)先考慮尾數(shù)法?？芍?jì)算結(jié)果的尾數(shù)應(yīng)該是 9，因 12 此只能選 D。各項(xiàng)答案尾數(shù)相同，無法使用尾數(shù)法。 275016 , 16 能被 4 整除說明 275016 能被 4 整除。8 = 78 說明這個(gè)數(shù)能被整除。 ：下列四個(gè)數(shù)都是六位數(shù)， X 是比 10 小的自然數(shù)， Y是零，一定能同時(shí)被 2 、 3 、 5 整除的數(shù)是多少？ ( ) A . XXXYXX B . XYXYXY C . XYYXYY D . XYYXYX 2。日 C 當(dāng)中選擇，同時(shí)能被 3 整除，說明各位數(shù)字相加是 3 的倍數(shù)， B 是 3X ，很明顯是 3 的倍數(shù)，所以選擇 B。 4 ． [解析 ]甲捐款數(shù)是另外三人捐款總數(shù)的一半，知捐款總額是 3 的倍數(shù)；乙捐款數(shù)是另外三人捐款總數(shù)的，知捐款總額是 4 的倍數(shù)；丙捐款數(shù)是另外三人捐款總數(shù)的，知捐款總額是 5 的倍數(shù)。丙做褲子。秒殺 A 。 11 .解析：方法 1 ：烹飪的方式共有 7 種，不管前面是怎么樣的組合和排列，肯定是要乘 7 的，因此這個(gè)答案能被 7 整除，根據(jù)被 7 整除的特性， 132 一 132 =0 ，能被 7 整除。則甲為 12 份＝ 13 份一 l 份＝ 3900 一 300 = 3600 。如果差太大或心算不易看出是否 7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。如果差太大或心算不易看出是否 13 的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判 斷為止。 數(shù)字的整除特性 我們已學(xué)過奇數(shù)與偶數(shù)，我們正是以能否被 2 整除來區(qū)分偶數(shù)與奇數(shù)的。 由于 4｜ 96 能被 25 整除的整數(shù)，末兩位數(shù)只可能是 00、 2 50、 75。 由于 1251＝ 125， 1252＝ 250， 1253＝ 375； 1254＝ 500， 1255＝ 625； 1256＝ 750； 1257＝ 875； 1258＝ 10000 故能被 125 整除的整數(shù)，末三位數(shù)只能是 000， 125， 250， 375， 500， 625， 750， 875。由于 432＝ 854，即 8|432，所以 8|765432。 4．末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被 4（ 25）整除的整數(shù)必被 4（ 25）整除。 （ 17）若一個(gè)整數(shù)的末三位與 7 倍的前面的隔出數(shù)的差能被 19 整除，則這個(gè)數(shù)能被 19 整除。 11 的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查 7 的「割尾法」處理！過程唯一不同的是：倍數(shù)不是 2而是 1！ （ 12）若一個(gè)整數(shù)能被 3和 4 整除，則這個(gè)數(shù)能被 12 整除。 （ 6）若一個(gè)整數(shù)能被 2 和 3 整除，則這個(gè)數(shù)能被 6 整除。 13 份大于 12 份，所以答案肯定是小于 3900 的，只有 B 。 快速解答：甲營(yíng)業(yè)部的男女比例為 5 :3 ，所以肯定是 3 的倍數(shù)，排除 B ，甲乙營(yíng)業(yè)部總?cè)藬?shù)比為 8X : 3Y ，根據(jù)數(shù)字特性，只有當(dāng) Y = 6 時(shí)， X = 4 時(shí)才能滿足 8X + 3Y = 50 ，所以甲中有女： 3 * 4 = 12 人。 根據(jù)等差求和公式 Sn =（ al + an ) n/2, 30/2 =15 , ( al + an ) *15 一＞那么這個(gè)數(shù)肯定能被， 5 整除。 6 ．［解析］上衣和褲子系數(shù)比是（ 8 + 9 + 7 + 6 ) : ( 10 + 12 + 11 + 7 ) = 3 : 4 。結(jié)合選項(xiàng)，選擇 C ?，F(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子），則 7 天內(nèi)這四個(gè)組最多可以縫制衣服多少套 ?(） A . 110 B . 115 C . 120 D . I25 7 ．某儀仗隊(duì)排成方陣，第一次排列若干人，結(jié)果多余 10 人，第二次比第一次每排增加 3 人，結(jié)果缺少 29 人，儀仗隊(duì)總?cè)藬?shù)是多少？ ( ) A . 400 B . 450 C . 500 D . 600 8 一個(gè)劇院設(shè)置了 30 排座位，第一排有 38 個(gè)座位，往后每排都比前一排多 1 個(gè)座位，這個(gè)劇院共有多少個(gè)座位？ ( ) A . 1575 B . 1624 C . 1775 D . 1864 9 . ( 09 國(guó)考真題）：甲乙共有圖書 260 本，其中甲有專業(yè)書 13 % ，乙有專業(yè)書 12 .5 % ，那么甲的非專業(yè)書有多少本？ A . 75 B . 87 C . 174 D . 67 10 . ( 09 國(guó)考真題）：某公司甲乙兩個(gè)營(yíng)業(yè)部共有 50 人，其中犯人為男性，己知甲營(yíng)業(yè)部的男女比例為 5 : 3 ，乙營(yíng)業(yè)部的男女比例為 2 : 1 ，問甲營(yíng)業(yè)部有多少名女職員？ A . 1 8 B .16 C . 12 D . 9 11 . ( 09 國(guó)考真題）：廚師從 12 種主料中挑 出 2 種，從 13 種配料中挑選出 3 種來烹飪某道菜肴，烹飪的方式共有 7 種，那么該廚師最多可以做出多少道不一樣的菜肴？ A . 1 3 1204 B . 132132 C . 130468 D . 133456 12 . ( 09 國(guó)考真題）：甲乙丙丁四個(gè)隊(duì)植樹造林，已知甲隊(duì)的植樹畝數(shù)是其余三隊(duì)植樹總畝數(shù)的的四分之一，乙隊(duì)的植樹畝數(shù)是其余三隊(duì)植樹總畝數(shù)的三分之一，丙隊(duì)的植樹畝數(shù)是其余三隊(duì)植樹總畝數(shù)的一半，丁隊(duì)植樹 3900 畝。在相減 22 一 20 =2 , 2 247。 被 8 和 125 整除特性：看一個(gè)數(shù)字的未 3 位。 如：377 , 3 + 7 + 7 =17 , 17 除 3 等于 2 ，說明 377 除 3 余 2 。 特別提示：棄九法同樣不適用于除法。考慮到選項(xiàng)中各項(xiàng)尾數(shù)均不相同，因此考慮使用尾數(shù)法。 A. 60 種 B. 65 種 C. 70 種 D. 75 種 公式解題： (41)5/4= 最接近的是 61 為最后傳到別人次數(shù)，第二接近 的是 60 為最后傳給自己的次數(shù) (一 )尾數(shù)法 尾數(shù)法是指在不直接計(jì)算算式各項(xiàng)值的情況下，只計(jì)算算式各項(xiàng)的尾數(shù)，從而得到結(jié)果的尾數(shù)，以確定選項(xiàng)中符合條件的答案的方法。 1760 米 典型兩次相遇問題，這題屬于兩岸型 (距離較近的甲岸 720 米處相遇、距離乙岸 400 米處又重新相遇 )代入公式3720400=1760 選 D。顯然 1 分鐘之后，無論甲、乙、丙跑 幾圈都回到了起跑線上。顯然 5， 9， 12 的最小公倍數(shù)為 5334＝ 180。 十五 . 最小公倍數(shù)和最小公約數(shù)問題 1．關(guān)鍵提示：最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的題一般不難，但一定要細(xì)致審題，千萬不要粗心。 2． 自然數(shù) N 次方的尾數(shù)變化情況 知識(shí)要點(diǎn)提示： 我們首先觀察 2n 的變化情況 21 的尾數(shù)是 2 22 的尾數(shù)是 4 23 的尾數(shù)是 8 24 的尾數(shù)是 6 25 的尾數(shù)又是 2 10 我們發(fā)現(xiàn) 2 的尾數(shù)變化是以 4 為周期變化的即 21 、 2 29……24n+1 的尾數(shù)都是相同的。 2452247。 【例 7】 甲乙兩名工人 8 小時(shí)共加 736 個(gè)零件，甲加工的速度比乙加工的速度快 30%，問乙每小時(shí)加工多少個(gè)零件 ? A． 30 個(gè) B． 35 個(gè) C． 40 個(gè) D． 45 個(gè) （ 2020 年 A 類真題） 解析：選用方程法。 根據(jù)已知 大號(hào)白 =10 件，因?yàn)榇筇?hào)共 50 件，所以，大號(hào)藍(lán) =40 件； 大號(hào)藍(lán) =40 件，因?yàn)樗{(lán)色共 75 件，所以，小號(hào)藍(lán) =35 件； 此題可以用另一思路進(jìn)行解析（多進(jìn)行這樣的思維訓(xùn)練，有助于提升解題能力） 大號(hào)白 =10 件，因?yàn)榘咨?25 件，所以，小號(hào)白 =15 件； 小號(hào)白 =15 件，因?yàn)樾√?hào)共 50 件，所以，小號(hào)藍(lán) =35 件； 所以，答案為 C。答案為 C。1998 年乙 的 年齡 =4 歲 ， 則 2020 年乙的年齡為 10 歲。解法二，利用 “年齡差 ”是不變的，列方程求解。倍數(shù)差－小年齡 。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是 5，去一行、一列則一共要去 9 人，因而我們可以得到如下公式： 去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù) 2－ 1 解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。 方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。 練習(xí)： 1. 5 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 102。 【例 1】 在前面 3 場(chǎng)擊球游戲中，某人的得分分別為 1 14 144。 【例 3】 一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)比乙店便宜 12%，兩店同樣按 20%的利潤(rùn)定價(jià)，這樣 1 件商品乙店比甲店多收入24 元，甲店的定價(jià)是多少元？ ( ) 【答案 C】解析：設(shè)乙店進(jìn)貨價(jià)為 x 元，可列方程 20%x20%（ 112%)x=24，解得 x=1000，故甲店定價(jià)為 1000（ 112%)（ 1+20%)=1056 元 。成本 6 利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù) =(售價(jià) 成本 )247。商店有時(shí)減價(jià)出售商品，我們把它稱為 “打折 ”，幾折就是百分之幾十。如果僅靠出水口出水，那么多長(zhǎng)時(shí)間將水漏完？（ ） 【答案 D】解析：出水口每小時(shí)漏水為（ 815－ 520） 247。經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或供 16頭牛吃 6 天?？梢钥闯鰜?，并不是每一個(gè)類似問題的 “抽屜 ”都很明顯， 有時(shí)候 “抽屜 ”需要我們構(gòu)造，這個(gè) “抽屜 ”可以是日期、撲克牌、考試分?jǐn)?shù)、年齡、書架等等變化的量，但是整體的出題模式不會(huì)超出這個(gè)范圍。所以我們應(yīng)將 40 個(gè)同學(xué)看作 40 個(gè)抽屜，將書本看作蘋果，如某個(gè)同學(xué)借到了書，就相當(dāng)于將這個(gè)蘋果放到了他的抽屜中。 【例 4】 有紅色、白色、黑色的筷子各 10 根混放在一起。其中第（ 6）題是已知 “蘋果數(shù) ”和 “答案 ”來求 “抽屜數(shù) ”。解此類問題的重點(diǎn)就是要找準(zhǔn) “抽屜 ”，只有 “抽屜 ”找準(zhǔn)了， “蘋果 ”才好放。從而得出： 抽屜原理 1：把多于 n 個(gè)的物體放到 n 個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的物體。帶入題目四個(gè)選項(xiàng)，經(jīng)過檢驗(yàn)可知，只有 A 選項(xiàng) 16 分 40 秒過后，甲運(yùn)動(dòng)的距離為 ： 90（ 1660＋ 40)/60＝ 1500＝ 3005 符合 “甲正好走了整數(shù)個(gè)正方形的邊長(zhǎng) ”這個(gè)要求，它是正確答案。 考慮由于甲行走的比乙快，因此當(dāng)甲再行走 150 米，來到拐彎處的時(shí)候，乙行走的路程還不到 150 米。考慮一種特殊情況，就是甲、乙都來到了這個(gè)正方形的某個(gè)角旁邊，但是不在同一條邊上，這個(gè)時(shí)候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時(shí)候甲還是不能看到乙。這類問題的計(jì)算需要掌握的最基本公式是 (2)本題的陷阱條件 ： “現(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取 出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩倍溶液的濃度相同。2=較大數(shù)； (和 —差 )247。當(dāng)他回到第 5 棵樹時(shí)，共用了 30 分鐘，計(jì)共走了 30247。 【例題 2】電視臺(tái)向 100 人