【正文】 如果 TSSP ?， 買權(quán)為虛值期權(quán)，期權(quán)不會被行使，組合會有一個正的價值：TSSP ?。 如果這一關(guān)系不成立的話，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價值的價格購入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來獲得無風險利潤。 2022/2/16 14 表 期權(quán)價格的上下限 期權(quán)種類 價格下限 價格上限 歐式買權(quán) ),0()( tTrtS P eSMa x??? tS 美式買權(quán) ),0( SPSM a x T ? tS 歐式賣權(quán) ),0()(ttTrSS P eMa x ??? )( tTrS P e?? 美式賣權(quán) ),0(TSSPM a x ? SP 2022/2/16 15 三、美式買權(quán)的提前行使 ? 美式買權(quán)的提前行使是否明智 ？ 通過下面的討論 ， 我們可以看出：提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 如果投資者認為股票價格被高估 ， 那么他的最優(yōu)選擇應(yīng)該是出售期權(quán)而并非行使它 （ 另一種可以選擇的做法是投資者持有期權(quán)并出售股票 ， 這樣就可以把利潤鎖定在 20元以上 ） 。 一旦該期權(quán)被行使 ， 投資者選擇了持有股票 ， 這種保險就消失了 。 ? 在時刻 t=T， 如買權(quán)為實值 ， 組合 A的價值為：SP+(STSP)=ST；如買權(quán)為虛值 ， 組合 A的價值為 SP。等號右邊的資產(chǎn)也就是等號左邊資產(chǎn)的組成元素。 2022/2/16 24 注釋 ? [1]顯然這一假設(shè)不符合實際 ， 因為即使是交易大廳的交易商也要支付費用 。 當股票價格下降到2S時，該組合的價值為：??????222SfS美元。 如果購買了0S美元的無風險資產(chǎn)，那么在無套利假定之下， m 個月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無風險資產(chǎn)的價值應(yīng)為股票的期望價值： 210)1( SppSeSTrf??? ( 1 0 . 2 . 9 ) 2022/2/16 29 整理得： 2120SSSeSpTrf??? ( 10. 2. 10 ) 在連續(xù)復(fù)利的條件下，對式 ( 10. 2. 4 ) ， ( 10. 2. 5 ) 中 D 的討論保持不變。因此，適當?shù)?△ 可以使上面這個證券組合成為無風險資產(chǎn)，即股票價格上升與股票價格下降時的該資產(chǎn)組合的價值相同，于是有： 2211fSfS ??????? ( 1 0 . 2 . 1 6 ) 2022/2/16 32 圖 10 . 2. 3 單期的歐式賣權(quán)二叉樹定價圖 于是，可以解得： 21201212SSSSSSff??????? ( 10 . 7 ) 資產(chǎn)組合現(xiàn)值與初始投資值應(yīng)該相等： 001fSeSTrf?????? ( 10 . 2. 18 ) 整理得出買權(quán)的最終定價公式：???????010SeSfTrf ( 10 . 2. 19 ) 式 ( 10 . 2. 10 ) 在這里仍然成立，即 有：2120SSSeSpTrf??? 2022/2/16 33 事實上，我們同樣也可以把 ( 10. 2 . 12) 式整理為用 P 表示的表達式，整理的結(jié)果為 ：? ?TrTrtteSSpefppff???????? ))(1()1(20220( 10. 2. 20 ) 例 10. 2 . 3 ， 假設(shè)無風險利率為 6 ％，某種股票的當前價格為每股 $40 美元，我們預(yù)期 3 個月后其價格可能是每股 $4 5 美元或者每股 $35 美元，其概率分別為 p 和pq ?? 1。 2022/2/16 36 行使價格為0S的買權(quán)價格在基期時被設(shè)為0f，當股票價格上漲到1S時，期權(quán)價格為1f，當股票價格下跌到2S時，則期權(quán)價格為2f。 ? 從表面上看 ， 二叉樹期權(quán)定價模型似乎有一個不足 ， 即假設(shè)每一期股票價格變動的結(jié)果只有兩種可能性 ， 而在現(xiàn)實中 ， 股票的價格可謂千變?nèi)f化 。 表 買方期權(quán)與賣方期權(quán)的定價比較 定價 一期 兩期 買方期權(quán) $ 2 . 76 $2. 74 賣方期權(quán) $ 2 . 1 7 $ 1 . 49 如果將以上的 4 個例子做一個比較的話，見表 ，我們發(fā)現(xiàn)這樣一些事實： 1 、 賣權(quán)的定價 一般都要 低于買權(quán)的定價 ； 2 、 由于兩期的 累計 偏差會更大，所以兩期的賣權(quán)定價 一般要 比兩期的買權(quán)定價 低 更 多 。 1 、 如果某上市公司是向每股股票派發(fā)固定數(shù)額的股息設(shè)為 D ，這上面分析的模型中需要對股票價格作出調(diào)整 ，如圖 所示。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時 ,除息日在第一期期末，該公司決定每股股票派發(fā)股價 3% 的股息。 圖 例 中美式買權(quán)的二叉樹定價圖 2022/2/16 49 在 B 點，按歐式期權(quán)算得期權(quán)價格為 99 美元，如果執(zhí)行美式期權(quán)的話，可以取得 4 美元的收益，取兩者的最大值，可知對于美式期權(quán)來講，在 B 點的期權(quán)價格同樣為 99 美元。 ? 之所以先選擇歐式期權(quán)來進行定價 ，是因為美式期權(quán)可以在期權(quán)的有效期內(nèi)任意時刻被行使 ， 其靈活性很大 ， 所以更有價值 。 而在本章節(jié)我們把收益定義為： ??????????ttSS1ln收益率 ( .1) 2022/2/16 55 可以證明，取相對價格的對數(shù)來進行計算比采用相對價格本身來計算收益更為準確。 圖 對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)圖 2022/2/16 57 一種金融資產(chǎn)的合理價格就是這種金融資產(chǎn)的期望值，期權(quán)到期時的合理價格就是可能出現(xiàn)的每一種價值與出現(xiàn)這每一種價值的概率的乘積之和。可推出： 221?? ?? r ( .9) 2022/2/16 60 何為正態(tài)分布的對稱性？ 返回節(jié) ? 將 ()代入 ()并根據(jù)正態(tài)分布的對稱性 ， 有： 1N(d)=N(D)， 于是可得： ? 返回電子版主頁 ? () ? 式 ()中的 也被稱為金融資產(chǎn)的易變性 (Volatility)。 樣本數(shù)越多，得出的結(jié)果就越可靠。雖然歷史易變性與未來的金融資產(chǎn)未來的易變性存在一定的差距，但在 B — S 模型中，用歷史易變性計算期權(quán)價值也是很 好一個替代方法。 人們買入賣權(quán)就是指望從股價下跌中獲利 。 但對于買權(quán)來說 ， 前者將使期權(quán)價格上升 ， 而后者將使期權(quán)價格下降 。 ?返回章 2022/2/16 70 半美式期權(quán)或百慕大式期權(quán) ? 歐式期權(quán)只能在到期日清算執(zhí)行 ， 而美式期權(quán)可在期權(quán)有效期內(nèi)任意時間點上通過執(zhí)有一份相反的期權(quán)頭寸而對沖 。 返回子小節(jié) 2022/2/16 72 遲付期權(quán)或或有期權(quán) ? 這種期權(quán)除非打算執(zhí)行 ， 否則不需要支付購買價格 。 ? 前兩種選擇權(quán)的到期日相同 ， 行使價格也相同 ， 所以定價公式并不復(fù)雜 。 檔板期可分為兩種： ? （ 1） 觸消期權(quán) (Knockout Option)： 觸消期權(quán)一開始與標準期權(quán)一樣 ， 但當檔板價格水平被突破時權(quán)利就會消失； 返回子小節(jié) ? （ 2） 觸發(fā)期權(quán) (Knockin Option)： 觸發(fā)期權(quán)當價格達到檔板水平時就會被激活 。 返回子小節(jié) 2022/2/16 76 檔板期權(quán)或障礙期權(quán) ? 檔板期權(quán) (Barry Option)在初始時就確定兩個價格水平 ， 其一為約定價格 ， 另一個是特定的檔板價格 (Barrier)或 引發(fā)價格 。 返回子小節(jié) 2022/2/16 74 買賣權(quán)可選期權(quán)或后定期權(quán) ? 這種期權(quán)持有者有權(quán)在未來某時刻獲得另一種期權(quán) ， 既可選買權(quán)也可選賣權(quán) 。 ? （ 2） “ 一觸即有 ” 型：該種期權(quán)只要在有效期內(nèi)某一階段為價內(nèi)期權(quán)就會有收益 。 ? 三 、 多因素期權(quán) ——期權(quán)的最終收益取決于兩 個 或 更 多 的 載 體 資 產(chǎn) 的 價 格 ， 合同條款變化型期權(quán) 。 同時由于貼現(xiàn)率較高 ， 未來同樣預(yù)期贏利的現(xiàn)值就較低 。 ? 返回節(jié) ? （ 一 ） 基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的價格 ? 現(xiàn)行資產(chǎn)價格越高 ， 買權(quán)的價值越大 ， 期權(quán)費就越高 ． 人們買入買權(quán)就是指望從股價上漲中獲利 。因為未來的收益變動而不是過去的收益變動才與未來到期期權(quán)的定價有關(guān)。 這樣，求SPST?的概率 *P 的式子( 10 . 0) 中的所有變量都是已知的了，可以很容易的求出*P 。在 ( .5) 式中， r 、 T 和 SP 都是已知的，未知量只有兩個，一個是到期時SPST?的概率*P，一個是期權(quán)到期時在溢價的條件下，基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的期望值)|( SPSSETT?，下面我們分別求這兩個值。 如果價格的對數(shù)呈正態(tài)分布，那么價格將是對數(shù)正態(tài)分布的（見圖 ）。 傳統(tǒng)上將收益定義為： 11???ttSS收益率 即 t+1 時刻比 t 時刻資產(chǎn)價格的增加值。 由于對于美式期權(quán)來講， C 點的期權(quán)價格有所變化，因而在 A 點的 期權(quán)價格要重新確定。我們通過例子來詳細說明。 2022/2/16 45 圖 例 中現(xiàn)金股利情況下的二叉樹定價圖 2 、 如某上市公司是 按照 股票市價的一個固定比率 來 派發(fā)股息，設(shè) 這個固定比率 為a， 并設(shè)除息日在第一期期末，則二叉樹期權(quán)定價模型修正為 圖 所示。受其影響，股票買權(quán)的價格會隨之下降，股票賣權(quán)的價格隨之等幅上升。但是，增加期數(shù)會使計算量呈幾何級數(shù)增長，這就 必須 借助計算機來協(xié)助計算了。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時 ， 試求執(zhí)行價格為 $40 美元的買權(quán)和賣權(quán)的合理價格。 圖 10. 2. 5 兩期歐式期權(quán) 的 二叉樹定價圖 假設(shè)現(xiàn)期股票價格為0S，在無風險利率fr之下，預(yù)期在第 — 期里股票價格可0S由上漲到 1S或者下跌到2S，概率分別為 p 和pq ?? 1。 現(xiàn)在考慮以價格0f 買入一份賣權(quán)，以及按照套頭率 △ ，以價格0S 購買 △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無風險資產(chǎn)組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 1 5 ) 當股票價格上升到 1S時，該組合的價值為：??????111SfS。 同樣假設(shè)現(xiàn)期股票價格為0S ，在無風險利率fr 之下，股票價格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S，概率分別為 p 和pq ?? 1。 2022/2/16 25 二、單期歐式期權(quán)的定價模型 返回節(jié) （一）歐式買權(quán)的定價模型 假設(shè)現(xiàn)期 時 股票價格為0S ，在無風險利率fr 之下，在任何一個單位時間段內(nèi)，股票價格的預(yù)期變動只取兩個可能值，即 ： 股票價格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S ， 其 概率服從二次分布，分別為 p 和pq ?? 1。 其中二叉樹 (Binomial Tree)期權(quán)定價模型最早是由考克斯 (Cox) 、 羅斯 (Ross) 和魯賓斯坦(Rubinstein)(1979年 )提出的 ， 他們所依據(jù)的原則也是無套利原則以及風險中性原則 。如果知道了其中的的三個，就可以確定第四個變量的均衡值。 2022/2/16 20 五、賣權(quán)與買權(quán)之間的平價關(guān)系 ? 在時刻 t=0， 考慮下面兩個組合： 返回電子版主頁 ? 組合 A：一份行使價格為 SP的歐式買權(quán)和價值為 ? 的現(xiàn)金 。 第一個理由在于期權(quán)能夠提供保險 。 不僅如此 ， 如果股票的價格在一個月后跌到 30元以下 ， 沒有提前行使期權(quán)的投資者一定會慶幸自己做出了正確的選擇 。 所以， 在時刻 t =0 時，應(yīng) 有： 000???? rTS P eSP