【正文】 2???2 ??4nF1TE??1? 12???2??4??2 ??4??n???2 ??4??n?????2???4?單邊頻譜圖 雙邊頻譜圖 周期信號頻譜的特點 離散性 頻譜是離散的而不是連續(xù)的，這種頻譜稱為離散頻譜。 (2) 各譜線的幅度將變小，包絡(luò)線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢 。 周期三角脈沖信號 周期三角脈沖的頻譜只包含直流、奇次諧波的余弦分量，諧波的幅度以 的規(guī)律收斂。 5/)5/s i n(51)2( ????nnnSTEFan ???ω1 3． 4 傅里葉變換 根據(jù)完備正交函數(shù)中的定理二可知，信號的能量是不會變的，在各個域中能量應(yīng)該守恒，也是說之前用傅里葉級數(shù)推得頻譜函數(shù)是行不通的，怎么解決？ 問題：非周期信號的頻譜是怎樣的？ 周期信號 T1→∞ 時，周期信號就演變?yōu)榉侵芷谛盘枺? 而， T1→∞ ，使得 Fn→0 ，那又何談非周期信號的頻譜問題。 其幅度之比為常數(shù) 2π 。 ???????? ????? ttttft)/( ?tf ( t ) ??10?? ?t( t )f ?0?? ??/1?/1t( t )f ??0?? ?)/(1 ?)/(1 ?)/(2 ?( a ) ( b ) ( c )圖 3 2 2八、頻域微分特性 nnnnnnndFdtfjtdFdjtftddFtfjtddFjttfFtf?????????)()()()()()()()()()(???????）（即）（即則：若〔 例 〕 求 f(t)=tu(t)的頻譜函數(shù) F(ω )。39。 沖激函數(shù)位于信號的各諧波頻率 nω 1處，其強度為相應(yīng)傅里葉級數(shù)系數(shù) Fn的 2π 倍。 相 乘 X （ 2） 沖激信號 抽樣后 頻譜 ()sft 沖激抽樣，也稱為“ 理想抽樣 ”。連續(xù)信號離散化時 允許的最大抽樣間隔。若此頻率為奈奎斯特頻率，求黑白電視信號的最高頻率 fm。 傅里葉變換 典型信號的頻譜函數(shù)： 指數(shù)函數(shù)、矩形脈沖信號、符號函數(shù)、直流函數(shù)、階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、。 329:(1)(2)(4)(7)。 319。由抽樣定理，可分別畫出 ω s = 2ω m和 ω s = 4ω m時的抽樣信號頻譜Fs(ω ) ，如圖 (b)， (c)所示。 時域抽樣定理是充分條件，壓縮感知（ Compressed Sensing)理論內(nèi)容？ 拓展內(nèi) 容 思考題 ()sft 如何無失真的恢復(fù)出 f(t)? ()sft〔 例 〕 黑白電視每秒發(fā)送 30幅圖像，每幅圖像又分為 525條水平掃描線，每條水平線又在 650個點上采樣。 頻譜混疊 ω s=2ω m ω s變小 ω s變大 二、時域抽樣定理 一個頻譜受限的信號 f(t)，若頻譜分布在（ ω m，ω m），則信號 f(t)可以 用 等間隔的抽樣值 fs(t) 惟一 表示 ，要求 抽樣信號 p(t)的 最低頻率為 2fm。 一、抽樣信號 抽樣 )()()( tptftf s ? 抽樣信號與抽樣定理 （ 1）矩形脈沖抽樣 抽樣信號 fs(t)的頻譜 ??t)(tp2/?2/?? sTsT?E根據(jù)頻域卷積定理可得 抽樣信號 fs(t)的頻譜函數(shù)為 : ???????nsssnnSaT EP )()2(2)( ????????f(t) →F( ω ) ； p(t) →P(ω ) )()(2 1)( ???? PFF s ??????????nsssnnSaT EF )()2(2)(2 1 ????????????????nsssnFnSaTE )()2( ??????(t)??(t)=f(t) ?(t)??(tt0)= ?(tt0) 時域卷積定理： )()()()(2121 ?? FFtftf ? ???頻域卷積定理： )()(2 1)()( 2121 ??? FFtftf ?? ???????????nsssnFnSaT E )()()2(22 1 ????????? 抽樣信號的頻譜是 F(ω)波形的重復(fù)。 ????????????ntjnntjnnT eTeFt1111)( ???1 11/2/211()T jn tnTF t e d tTT?? ???????0 1T 12T1T?12T?t)(tT?)1( ????????nT nTtttf )()()( 1?????????????????nnnnTF )()(21)( 1111???????????0 1?nF12?1??12??11T? 可見，時域周期為 T1的單位沖激序列，其傅里葉變換也是周期沖激序列，而頻域周期為 ω 1，沖激強度相等，均為 ω1 。39。 )(tfE2? t2??)]}([)]([{21)( 00 ????? ????? jGjGjF解： )( ?jF??? 20 ??0?0??2?E( ) S a ( )2G j E ?????七、時域微分特性 EG: )()( )( ttf n??的頻譜函數(shù) F(ω) )()()()()(???FjdttfdFtfnnn??則：若由時域微分性 njF )()( ?? ?〔 例 〕 如圖所示信號 f(t)為三角形函數(shù) t)/( ?tf ( t ) ??10?? ?t( t )f ?0?? ??/1?/1t( t )f ??0?? ?)/(1 ?)/(1 ?)/(2 ?( a ) ( b ) ( c )圖 3 2 2?????????01)2()( ?tttf????tt?????????01)2()( ?tttf解 : 將 f(t)微分兩次后，得 )(1)(2)(1)(39。 沖激函數(shù)的傅里葉變換 )(1 tf?/12/?2/?? t1 1 ( ) Sa ( )2Fj ??? ???2 ??4??2???4??0??)(t?t)1(0??1 1)( ??jF?1)(8 ??F沖激偶的傅里葉變換 ,1)]([ ?t?? F 上式兩邊對 t 求導(dǎo)得： ? ???? ???? ? dejtdtd tj)(2 1)(同理： F F ? ???? ??? ? det tj2 1)(三、 傅里葉變換的基本性質(zhì) 線性 〔 例 〕 利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號的頻譜函數(shù)。 2nF〔 例 〕 試求圖所示周期矩形脈沖信號 f(t)在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。 譜線間隔 ω 1=2π /T1 只與周期 T1有關(guān)，且與T1 成反比； 零值點頻率 ω 1=2mπ /τ 只與 τ 有關(guān)，且與 τ 成反比； 譜線幅度 與 T1和 τ 都有關(guān)系，且與 T1 成反比與 τ 成正比。 )2,1( 2 ??????? mm? ?? 2 ? ?? m?(e) 周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，可分解為無限多個頻率分量，但其 主要能量集中在第一個零分量頻率之內(nèi) 。 描述各次諧波 振幅 與頻率關(guān)系的圖形稱為 振幅頻譜 描述各次諧波 相位 與頻率關(guān)系的圖形稱為 相位頻譜 典型周期信號的傅里葉級數(shù) nA n?則對應(yīng)的振幅頻譜 和相位頻譜 稱為 單邊頻譜 。 在三角型傅里葉級數(shù)展開式中， a0是 直流成分 ； a1cosω 1t, b1sinω 1t稱為 基波分量 ， ω 1=2π /T1為 基波頻率 ； ancosω 1nt, bnsinω 1nt稱 n次 諧波分量 。 nω1t (3) 函數(shù)集 在區(qū)間 (∞ ， ∞ )內(nèi)，對于 有限帶寬信號類來說是一個完備的正交函數(shù)集 。 當 i=r時 (2) 因為對于非零函數(shù) sint，有 即 sint在區(qū)間 (0， 2π) 內(nèi)與 {cosnt}正交。 Ki為一正數(shù)。 1829年，狄義赫利指出，周期信號只有滿足了若干限制條件，才能用傅里葉級數(shù)來表示。 定理 1: 設(shè) {f1(t)， f2(t),… , fn(t) }在 (t1,t2)區(qū)間內(nèi)是某一類信號 (函數(shù) )的 完備正交函數(shù)集 ，則這一類信號中的任何一個信號 f(t)都可以精確地 表示為 {f1(t)，f2(t),… , fn(t) }的 線性組合 。因此，根據(jù)正交函數(shù)集的定義， 該函數(shù)集 {cosnt}在區(qū)間 (0,π /2)內(nèi)不是正交函數(shù)集 。 （ 1）在一個周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的個數(shù)應(yīng)是有限的； （ 2）在一個周期內(nèi)，極大值和極小值的個數(shù)是有限的； （ 3）在一個周期內(nèi)，信號時絕對可積的。 t????? ??2? ?2f ( t )圖 3 3解 : 由圖可知，該信號 f(t)在一個周期區(qū)間 (π,π) 內(nèi)，有 由三角型傅里葉級數(shù)展開式，得 故該信號 f(t)的三角型傅里葉級數(shù)展開式為 ????????????ttttf0)(. .. )2,1,0(,00 ??? naa nnnnt dtntbnn2)1(c os2s i n1 1??? ???????? ??ω1 12 ??? T?ω1