【正文】 i系為參考系， j系是由 i系繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后的結(jié)果 . )( ji ee ??ji A)( ijij A ee ??i相對(duì) j系的方向余弦矩陣 j相對(duì) i系的方向余弦矩陣 zyxji,?? ???????????????????????zyxzyxzyxjieeeeeeeeeeeeeeeeeeA???????????? x y z ?????????????????????????????eeeeeeeeeeeeeeeeezyxAzzzyyyxxxij ξ η ζ 展開(kāi)： 兩矩陣之間的 關(guān)系 ?????????????????????????????????321321321)(nnnmmmllleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzyxzyxzyxji?????????ji ee?????????????????????????????????333222111)(nmlnmlnmleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzzzyyyxxxij?????????ij ee它們是兩個(gè)正交矩陣，即 Tjijiij AAA )()( 1 ?? ?矢量 Q在不同空間中的表達(dá)和轉(zhuǎn)換 假設(shè)在 j系和 i系的原點(diǎn)有一 空間向量 Q(見(jiàn)圖 33)。 之后， 也意味著 i系繞 x軸負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng) 90176。 第一次 繞 ξ軸轉(zhuǎn) 90176。 ?AA ?1?? AAAA ?21顯然有 因?yàn)?x軸與 ξ 軸重合 ?AA ?2然而 ?? AAAA ?12所以 但是，利用 有限轉(zhuǎn)動(dòng)的交換定理 ，即所謂 相對(duì)變換 ，則有 有限轉(zhuǎn)動(dòng)的交換定理 也就是說(shuō) ， 動(dòng)系先繞定系 ε 軸轉(zhuǎn)過(guò) β 角 ， 再繞定系 ξ 軸轉(zhuǎn)過(guò) α 角 ， 其結(jié)果與動(dòng)系先繞 x軸轉(zhuǎn)過(guò) α 角 ， 再繞 y1軸轉(zhuǎn)過(guò) β 角所得最終動(dòng)系相對(duì)定系的位置是相同的 ， 見(jiàn)圖311。 如果采用 3個(gè)互相獨(dú)立的角度—— 歐拉角來(lái)描述剛體的方位則變量 只有 3個(gè) 。 這樣 ， 由 A中的 (3， 2)元素可得 ?? ??0?? s i nc o s32 ??l () ?????? ?? ??? s i nc os321 l ?? ??0不妨令 () ???????)0(2)0(3131ll???? () 歐拉角的 角度解 （ 2） 同理再令 () 則 () ??????? ? ?? s i nc os 231 l ?? ??0???????)0(2)0(1313ll???? 當(dāng) l33=土 1，即 ζ ＝ 0或 π 時(shí)，求 和 將發(fā)生困難。 這從 ()式也可看出，當(dāng) ζ ＝ 0時(shí)，該等式右邊第一個(gè)矩陣不可逆，所以； 和 是無(wú)法確定的。這時(shí)，不但 不發(fā)生 “ 奇點(diǎn) ” ，而且 α 、 β 均為小量時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式可以進(jìn)行 線性化處理。 設(shè) x， y， z為以定點(diǎn) O為原點(diǎn)的笛卡爾直角坐標(biāo)三個(gè)軸， 慣性張量 J的矩陣表達(dá)式為 慣性張量 J的矩陣表達(dá)式 顯見(jiàn)， J為一 對(duì)稱(chēng)張量 。 對(duì)于剛體上任一點(diǎn) m，存在下面的矢量關(guān)系 (4． 1． 16) srr ??? 若 P點(diǎn)恰好位于剛體的質(zhì)心 C，則上式可以簡(jiǎn)化為 慣性張量的移心公式 這里，因?yàn)?∑ mr′=0 且記 M＝ ∑ m。 對(duì)移軸公式的分析 對(duì)于在同一原點(diǎn)的不同的坐標(biāo)系，慣性張量自然也具有不同的分量。 例 4． 1 解：在矩形板質(zhì)心 c作一坐標(biāo)系 cn1n2n3與坐標(biāo)系 o一 e1e2e3平行。 簡(jiǎn)化 方法 ： 我們 將 J用固連于剛體的動(dòng)坐標(biāo)系表示 ，對(duì)于動(dòng)系來(lái)講， J是一個(gè)常張量。但是，對(duì)于某些具體問(wèn)題，為。 ω為剛體角速度，是個(gè)變量，如果 J也是個(gè)變量，動(dòng)量矩的 求導(dǎo)將變得復(fù)雜 。 對(duì)轉(zhuǎn)軸公式的分析 因?yàn)?A是一個(gè)正交矩陣，而慣性張量 J為一實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，因此，我們總可以找到一個(gè) 正交矩陣 A使得 J′ ＝ A1JA成立，且J′ 為一對(duì)角矩陣，即有 ????????????zzyyxxJJJJ000000 (4． ) 圖 43為一總質(zhì)量為 M，邊長(zhǎng)為 a、 b的均質(zhì)矩形板，求其相對(duì)于固連其上的坐標(biāo)系 oe1e2e3的慣性張量。 (2)剛體對(duì) 通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 與對(duì)不通過(guò)質(zhì)心各平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相比 具有極小值 。 (4． 1． 15) 那么 圖 42 原點(diǎn)不在一起的坐標(biāo)系的慣性張量 之間的關(guān)系 。 試分別用 方向余弦 、 歐拉角和廣義歐拉角 求物塊轉(zhuǎn)動(dòng)后 ， C一e1e2e3系的最終狀態(tài)相對(duì)其最初狀態(tài)的空間關(guān)系 A。因此，其 轉(zhuǎn)動(dòng)順序 為 [1— 2— 3]型 。 ????????????????????????????c o ss i nc o ss i nc o ss i ns i nzyx(3． 2． 44) ？ ????????????????????????????????????????????????1000cscscsszyx(3． 2． 45) ???? ??? ??? (3． 2． 43) 三次歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 如果要確定三次歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 ， 由 (3． 2． 44)式得到 ??????????????????c t gyxxyxyx)c o ss i n(s i nc o ss i n/)c o ss i n(?????????? 這是一組關(guān)于歐拉角的十分復(fù)雜的非線性方程組，只能借助于計(jì)算機(jī)求數(shù)值解。 反之 ， 如果已知?jiǎng)傮w最終狀態(tài)相對(duì)最初狀態(tài)的空間關(guān)系 A， 也可以求出 相應(yīng)的三個(gè)歐拉角 。 因?yàn)樗蔷€性微分方程并對(duì)稱(chēng) ， 所以便于求解 。如果轉(zhuǎn)動(dòng)是 繞定系的坐標(biāo)軸 即參考軸進(jìn)行的，結(jié)果會(huì)是什么樣的呢 ? 繞靜系坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二次合成 繞靜系坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二次合成 為了使討論簡(jiǎn)單又能得到明確的結(jié)論，僅考慮兩次對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，即 動(dòng)系第一次繞 ξ 軸轉(zhuǎn)過(guò) α 角 ， 第二次繞 ε 軸轉(zhuǎn)過(guò) β 角 。 例 3． 3 空間中一固定不動(dòng)的向量 Q，在定系 oξεδ中為 r0＝ (0,1,0)T。 后，求 Q在 i系中的位置 ri(見(jiàn)圖 35)。 dtdωε ? rεa t ??navω ??3． 2 描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的解析法 上一節(jié)的討論實(shí)際上是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的一種簡(jiǎn)單的、幾何的、定性的描述，本節(jié)詳細(xì)介紹剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的定量的描述。 在某一時(shí)刻 ti，當(dāng)時(shí)間間隔 ⊿ t→0 時(shí) ,oci稱(chēng)為剛體在 ti時(shí)刻的 瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸 ，平均角速度向量的極值 ω i稱(chēng)為瞬時(shí)角速度向量 。 非完整系統(tǒng)： n＝獨(dú)立的坐標(biāo)數(shù) ≠獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù)＝系統(tǒng)的自由度。 所謂坐標(biāo)的微分是指在上式所描述的真實(shí)運(yùn)動(dòng)中坐標(biāo)的無(wú)限小變化，即經(jīng)過(guò) dt時(shí)間之后發(fā)生的坐標(biāo)變化 dqj (圖中實(shí)線部分 ) 由于都是坐標(biāo)的無(wú)限小變化，故變分也表現(xiàn)出微分的形式，并且和微分 具有相同的運(yùn)算規(guī)則 。 可見(jiàn) ， 廣義坐標(biāo)對(duì)于某一系統(tǒng)來(lái)講 不是唯一 的 ， 或者說(shuō) ， 可以任意選取 。 2． 2 廣義坐標(biāo)和自由度 圖 24 動(dòng)點(diǎn) M的位置 2． 2． 1 廣義坐標(biāo) 我們習(xí)慣于用笛卡爾直角坐標(biāo)系來(lái)描述系統(tǒng)的幾何位置即位形。 N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)受到 k個(gè)一階線性非完整約束時(shí)，其約束方程可以寫(xiě)作 非完整約束的類(lèi)型 或?qū)懗? () 0)( ????? dtdzcdybdxa iiiiiNii ???? ?(． 9) 0)( ????? ???? dzcybxa iiiiiNii ???),2,1( k???2． 1． 2 定常約束與非定常約束 約束方程中 不顯含 時(shí)間 t的約束稱(chēng)為 定常約束 。一個(gè)由 N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)的非完整約束方程可寫(xiě)作 () )3。 虛擬樣機(jī) 仿真分析基本步驟 如圖 13所示。 ?列出 B B2的運(yùn)動(dòng)微分方程 。這種方法應(yīng)是一種規(guī)格化的方法，能方便、快捷地統(tǒng)一處理各類(lèi)問(wèn)題、面向計(jì)算機(jī)的分析方法。 自行車(chē)、曲柄滑塊機(jī)構(gòu)以及人體站立時(shí)的支撐相則可視為非樹(shù)狀結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。我們僅研究多剛體系統(tǒng)并以此作為研究多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。因而它們是機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)中重點(diǎn)研究的內(nèi)容，也是本書(shū)要重點(diǎn)介紹的內(nèi)容。它由許多構(gòu)件和零件組成。 機(jī)械系統(tǒng)：是機(jī)構(gòu)與機(jī)器的總稱(chēng)。 而 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 和 動(dòng)力學(xué)分析 ，一方面是用于現(xiàn)有機(jī)械系統(tǒng)的性能分析與改進(jìn)，另一方面是為機(jī)構(gòu)的綜合提供理論依據(jù)。但是，在某些情況，比如構(gòu)件的變形很小，且構(gòu)件的變形對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性影響不大，仍然可以將這類(lèi)系統(tǒng)視為多剛體系統(tǒng)。 多剛體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示例 機(jī)械系統(tǒng)中，機(jī)械手，空間飛行器以及人體步行時(shí)的擺動(dòng)相都可以視為樹(shù)狀結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。 多剛體動(dòng)力學(xué)的主要研究 ① 尋求建立多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的解析方法。 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模 ?將曲柄滑塊機(jī)構(gòu)看作由 B1和 B2組成的系統(tǒng) ， 解除約束 ，如圖所示 ， X1， Y1， X1， Y1與 Y2均為約束反力 。另一方面，它又是虛擬樣機(jī)分析 開(kāi)發(fā)工具 ，其開(kāi)放性的程序結(jié)構(gòu)和多種接口，可以成為特殊行業(yè)用戶(hù)進(jìn)行特殊類(lèi)型虛擬樣機(jī)分析的 二次開(kāi)發(fā)工具平臺(tái) 。 完整約束與非完整約束的表達(dá) 約束方程的一般表達(dá) 式 若用 xi、 yi、 zi表示系統(tǒng)中某質(zhì)點(diǎn)的笛卡爾直角坐標(biāo) ， 那么 N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的完整約束的約束方程 可寫(xiě)作 0),( 111111 ?tzyxzyxzyxzyxf NNNNNNk ????????非完整約束的約束 方程取微分的形式。非完整約束又分為 一階線性非完整約束 、 一階非線性非完整約束 、 二階非完整約束 等。其約束方程為 x2+y2＝ (l0vt)2 (2． 1． 13) 顯然， M所受的約束 是非定常約束 。 因此 ， 上述中的 (x， y)， (φ ， r)， (A， φ )等都可以作為描述 M點(diǎn)的位形的廣義坐標(biāo) 。也就是系統(tǒng)的可能運(yùn)動(dòng) (圖中的虛線所示 )與真實(shí)運(yùn)動(dòng)在某時(shí)刻的差，記作 δ qj 既有 不同點(diǎn) ，也有 共同點(diǎn) 。 自由度計(jì)算 綜上所述，若一個(gè)系統(tǒng)的 廣義坐標(biāo)數(shù)為 n，則： 完整系統(tǒng) : n =獨(dú)立的坐標(biāo)數(shù) ＝獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù) ＝系統(tǒng)的自由度。 靜錐和動(dòng)錐 如果將剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程分為 若干時(shí)間間隔 ，每一時(shí)刻歐拉轉(zhuǎn)軸的位置顯然是不同的 。 設(shè)剛體的瞬時(shí)角速度為 ω， 則剛體上相對(duì)定點(diǎn)的向徑為r的點(diǎn)的速度為 rωrv ??? dtd() () vωrεdtdva ?????其中， 為剛體的角加速度； 稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)加速度； 稱(chēng)為向心加速度。 圖 34 解：因?yàn)?j系相對(duì) i系的方向余弦矩陣 ???????????????????????010100001333222111nmlnmlnmlA ij??????