【正文】 但是，對(duì)于某些具體問(wèn)題，為。 GωGG ??? dtddtd*ωJωωJGωGL ???????? ?dtd*矩陣表達(dá)式為 J ωωωJL ~~ ?? ?展開(kāi)成投影形式 yxxxyyzzzzxzzzxxyyyyzyyyzzxxxxJJJLJJJLJJJL?????????)()()(????????????這是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，它由歐拉首先得到，故稱之為 歐拉動(dòng)力學(xué)方程。 LG ?dtd簡(jiǎn)化后的動(dòng)量矩 及其導(dǎo)數(shù) 將 G對(duì)時(shí)間求導(dǎo)， Jxx， Jyy， Jzz為常量，而 i， j， k則是時(shí)間的函數(shù)。 簡(jiǎn)化 方法 ： 我們 將 J用固連于剛體的動(dòng)坐標(biāo)系表示 ，對(duì)于動(dòng)系來(lái)講， J是一個(gè)常張量。 ω為剛體角速度，是個(gè)變量，如果 J也是個(gè)變量，動(dòng)量矩的 求導(dǎo)將變得復(fù)雜 。這時(shí)，可得 2222222 zzzyyyxxx ωJωJωJG ??? 設(shè)某剛體繞固定點(diǎn) O轉(zhuǎn)動(dòng)， 所受外力對(duì) O點(diǎn)的矩為 L，由動(dòng)量矩定理 ，有 4． 3 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 由上一節(jié)知道， G=J c在 o一 e1e2e3中的向徑為 s=(a／ 2 b／ 2 0),于是 求矩形板的慣性張量 當(dāng) a=b時(shí)，簡(jiǎn)化可得 ??????????????????????????????????????????????????3)(000340430000400000012222222222222baMMaM a bM a bMbbaaababbMbaabMcss)sEM ( sJJ?????????????800043034122MaJ求矩形板對(duì) O點(diǎn)的主慣性矩 由慣性主軸組成的矩陣為 ????????????1000222202222P令矩陣 ?????????????800043034B求矩陣 B的三個(gè)特征值： 8， 1， 7； T)1,0,0(T)0,2/2,2/2(T)0,2/2,2/2( ?相應(yīng)的特征向量為： J′ ＝ PTJP 求得正方形板對(duì) O點(diǎn)的主慣矩為： ????????????800070001122MaJ 動(dòng)量矩 G的定義 4． 2 繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩 可以看出，這是一個(gè)以 固定點(diǎn) o為中心的橢球 ，稱之為 動(dòng)量矩橢球 。 例 4． 1 解：在矩形板質(zhì)心 c作一坐標(biāo)系 cn1n2n3與坐標(biāo)系 o一 e1e2e3平行。 對(duì)轉(zhuǎn)軸公式的分析 因?yàn)?A是一個(gè)正交矩陣，而慣性張量 J為一實(shí)對(duì)稱矩陣，因此，我們總可以找到一個(gè) 正交矩陣 A使得 J′ ＝ A1JA成立，且J′ 為一對(duì)角矩陣，即有 ????????????zzyyxxJJJJ000000 (4． ) 圖 43為一總質(zhì)量為 M，邊長(zhǎng)為 a、 b的均質(zhì)矩形板，求其相對(duì)于固連其上的坐標(biāo)系 oe1e2e3的慣性張量。也就是說(shuō)，該坐標(biāo)系的三個(gè)軸為慣性主軸，對(duì)應(yīng)的軸慣矩Jxx,Jyy,Jzz，稱 為主慣矩 ，相應(yīng)的，該坐標(biāo)系稱為 主軸坐標(biāo)系 。 這就是 轉(zhuǎn)軸公式 ，式中， A為 ox′ y′ z′ 對(duì) oxyz的方向余弦矩陣。 對(duì)移軸公式的分析 對(duì)于在同一原點(diǎn)的不同的坐標(biāo)系，慣性張量自然也具有不同的分量。 (2)剛體對(duì) 通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 與對(duì)不通過(guò)質(zhì)心各平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相比 具有極小值 。 (4． )式又稱為 移軸公式 。等式右邊包含 兩部分 ，一是 剛體對(duì)質(zhì)心 C的慣性張量 ；另一部分是將剛體的全部質(zhì)量假想地集中在質(zhì)心時(shí)，剛體對(duì) O點(diǎn)的慣性張量。 對(duì)于剛體上任一點(diǎn) m，存在下面的矢量關(guān)系 (4． 1． 16) srr ??? 若 P點(diǎn)恰好位于剛體的質(zhì)心 C，則上式可以簡(jiǎn)化為 慣性張量的移心公式 這里，因?yàn)?∑ mr′=0 且記 M＝ ∑ m。 (4． 1． 15) 那么 圖 42 原點(diǎn)不在一起的坐標(biāo)系的慣性張量 之間的關(guān)系 。 ?? 2mdeJ? ? 22 errr ????d? ?? ?? ?eerrrEreerreEerrerrerrerrrJ?????????????????????????][])[(][][2mmmmeeJeJ ???eJeeJ Te ? 如果設(shè) e與 oxyz坐標(biāo)系三個(gè)軸的夾角為 α 、 β 和 γ ， 即 e=(cosα ， cosβ ， cosγ )T 任意軸的慣性張量計(jì)算 ????????????????????????????c o sc o sc o s)c o sc o sc o s(zzyzzxyzyyyxzxxyxxTeJJJJJJJJJJeeJ 分析 結(jié)果： 剛體的慣性張量與坐標(biāo)系有關(guān) 。 其矩陣表達(dá)式 （ 稱為慣性矩陣 ） 為 () ? ?? )(TT EmJ rrrr圖 41 剛體對(duì) 定點(diǎn) O的慣性張量 給定之后，便可求得剛體對(duì) 通過(guò) O點(diǎn)的任意軸 (設(shè)其單位向量為 e)的慣性張量 Je。 設(shè) x， y， z為以定點(diǎn) O為原點(diǎn)的笛卡爾直角坐標(biāo)三個(gè)軸， 慣性張量 J的矩陣表達(dá)式為 慣性張量 J的矩陣表達(dá)式 顯見(jiàn)， J為一 對(duì)稱張量 。 試分別用 方向余弦 、 歐拉角和廣義歐拉角 求物塊轉(zhuǎn)動(dòng)后 ， C一e1e2e3系的最終狀態(tài)相對(duì)其最初狀態(tài)的空間關(guān)系 A。 卡爾丹轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣 ?????????????????????????????????????????????cscsscssscccccsscsscccsssssccA按照卡爾丹角所規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)順序 ， 若用 A A A3分別表示每次轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)系相對(duì)該次轉(zhuǎn)動(dòng)前的動(dòng)系的方向余弦矩陣 ， 則三次轉(zhuǎn)動(dòng)后剛體相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)前 (定系 )的方向余弦矩陣 A為 A＝ A3A2A1 () ????????????????csscA000011?????????? ??????csscA001002????????????100003 ????csscA運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 用卡爾丹角描述剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí) ， 角速度的合成也同樣服從向量加法 ， 即 在動(dòng)系 oxyz上投影，可得 上式就是 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 (3． 2． 52) (3． 2． 53) () ???? ??? ????????????????????????????????s i nc o ss i nc o ss i nc o sc o szyx????????????????????????????????????????????????1000scscscczyx??????????????????tgyxxyxyx)s i nc o s(c o ss i nc o s/)s i nc o s(??????????三次卡爾丹轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 例 （自學(xué)） 如圖 316， 一長(zhǎng)方塊 ， 設(shè)其上 、 下面均是邊長(zhǎng)為 3的正方形 ， 高為 4。β 為內(nèi)卡爾丹環(huán)相對(duì)外卡爾丹環(huán)的轉(zhuǎn)角，稱為 內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)角 ； γ 為陀螺轉(zhuǎn)子相對(duì)內(nèi)卡爾丹環(huán)的轉(zhuǎn)角，稱為自轉(zhuǎn)角 。這時(shí)，不但 不發(fā)生 “ 奇點(diǎn) ” ，而且 α 、 β 均為小量時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式可以進(jìn)行 線性化處理。因此，其 轉(zhuǎn)動(dòng)順序 為 [1— 2— 3]型 。 ? 卡爾丹角在陀螺儀中有明確的定義 ? 姿態(tài)角多用于表示船舶、飛機(jī)、火箭等載體的方位。不管采用那種順序，三個(gè)轉(zhuǎn)角是互相獨(dú)立的。 這從 ()式也可看出，當(dāng) ζ ＝ 0時(shí)，該等式右邊第一個(gè)矩陣不可逆，所以； 和 是無(wú)法確定的。 ????????????????????????????c o ss i nc o ss i nc o ss i ns i nzyx(3． 2． 44) ？ ????????????????????????????????????????????????1000cscscsszyx(3． 2． 45) ???? ??? ??? (3． 2． 43) 三次歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 如果要確定三次歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 ， 由 (3． 2． 44)式得到 ??????????????????c t gyxxyxyx)c o ss i n(s i nc o ss i n/)c o ss i n(?????????? 這是一組關(guān)于歐拉角的十分復(fù)雜的非線性方程組，只能借助于計(jì)算機(jī)求數(shù)值解。 ?? ??0?? ??0歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 用歐拉角描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) ， 歐拉角同樣也是時(shí)間的函數(shù) ， 即 根據(jù) 歐拉定理，剛體繞相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成時(shí)，角速度的合成服從向量加法。這是采用歐拉角描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 所固有的缺點(diǎn)。 這樣 ， 由 A中的 (3， 2)元素可得 ?? ??0?? s i nc o s32 ??l () ?????? ?? ??? s i nc os321 l ?? ??0不妨令 () ???????)0(2)0(3131ll???? () 歐拉角的 角度解 （ 2） 同理再令 () 則 () ??????? ? ?? s i nc os 231 l ?? ??0???????)0(2)0(1313ll???? 當(dāng) l33=土 1，即 ζ ＝ 0或 π 時(shí)，求 和 將發(fā)生困難。 反之 ， 如果已知?jiǎng)傮w最終狀態(tài)相對(duì)最初狀態(tài)的空間關(guān)系 A， 也可以求出 相應(yīng)的三個(gè)歐拉角 。 ?? ??? ,??歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣 在一定的條件下 ， 剛體的任一方位均可用一組歐拉角唯一地確定 。歐拉角的規(guī)定 是：初始狀態(tài)兩個(gè)坐標(biāo)系重合，將剛體先繞 oz軸轉(zhuǎn)過(guò) 角，再繞新的 x軸轉(zhuǎn)過(guò) ζ 角，最后再繞新的oz軸轉(zhuǎn)一個(gè)角 。 如果采用 3個(gè)互相獨(dú)立的角度—— 歐拉角來(lái)描述剛體的方位則變量 只有 3個(gè) 。 因?yàn)樗蔷€性微分方程并對(duì)稱 ， 所以便于求解 。 比較 (3． 2． 25)和 (3． 2． 24)兩式，可得 (3． 2． 25) )( 110110 rωArA ????上式用矩陣： 110110 ~ rωArA ???ωAA ~1010 ???() 泊松方程 ???????????????????????????????????