【正文】 花費(fèi)的費(fèi)用要高， 因而城 1不能贊同這種方案。 ? ? ? ?? ?v s v s i?????? ??i s 表示對(duì)所有含 的子集 求和。 ,A B C 若三人都獨(dú)自經(jīng)商，則每人每月都只能獲得利潤 1萬 圓； 若 和 合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤 7萬圓； A B 若 和 合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤 5萬圓； A C 若 和 合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤 4萬圓； B C 若三人合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤 10萬圓； 則問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫@ 10萬圓的利潤應(yīng)如何分配給三人。 假設(shè)最初的父母可以是優(yōu)種、混種或劣種，它們有大 量的后代，這些后代又隨機(jī)地雌雄交配后代，今來分析 它們后代的演變情況。 B NR? B bij ij1 0 0. 5 5 , 2 8 P????????? 在前面的例 2中 ,將 改寫成 P則 0 .2 5 0 .6 5 0 .1,.0 .1 8 0 .8 0 .0 2QR? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?則 0 .2 5 0 .6 5 0 .1,.0 .1 8 0 .8 0 .0 2QR? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ?11 , IQ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? , B ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 應(yīng)用 基因遺傳問題 生物的外部特征是由生物體內(nèi)的基因決定的。令 滿足 ⑾式，即有 ? ?12,w w w?? ? ? ?1 2 1 20 .8 0 .2, , ,0 .7 0 .3w w w w?? ?????由此得到方程組 1 2 11 2 2 , w w ww w w???? ???聯(lián)系⑿則得到 12122 7 0 ,2 2 2 ,wwww???? ???故方程組的解為 ? ?12 72, , .99ww ??? ????這和前面的結(jié)果是相吻合的。從表中的數(shù)據(jù) 又可以看到，無論投保人在期初處于什么狀態(tài)，當(dāng) 時(shí)，總有 n ??? ?l im 3 1 .nn ??? ? 假設(shè) 0 , 1 , 2 , 3 , 。 問題的提出 設(shè) 表示年齡的時(shí)段，假定在一年中，今 年健康而明年患病的概率是 而今年患病明年轉(zhuǎn)為健 康的概率為 假設(shè)一個(gè)人在投保時(shí)處于健康狀態(tài)，我 們來研究若干年之后他分別處于這兩種狀態(tài)的概率。 序號(hào) 狀態(tài) 決策 序號(hào) 狀態(tài) 決策 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 ? ?3,3 ? ?0,2? ?0,1? ?3,2? ?3,1? ?0,2? ?3,0 ? ?0,1? ?3,1 ? ?2,0? ?1,1 ? ?1,1? ?2,2 ? ?2,0? ?0,2 ? ?0,1? ?0,3 ? ?0,2? ?0,1 ? ?0,1? ?0,2 ? ?0,2? ?0,0 分析 從上表中可以看到，該方案是可行的。當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，表示從此岸到 彼岸，當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，表示從彼岸到此岸。 一、過河問題 問題 有三名商人各帶一名隨從要乘一條小船過河， 這條船每次最多只能容納兩個(gè)人，并且由于某種原因， 商人們總是提防著隨從們，預(yù)感到一旦在任何地方只要 隨從人數(shù)多于商人數(shù)，就會(huì)對(duì)商人構(gòu)成危害。 建模 設(shè)在渡河過程中，此岸的商人個(gè)數(shù)為 隨從個(gè)數(shù)為 以 表示此岸的狀態(tài)向量，即 ,x,y ? ?,xy? ?? ?, , 0 , 1 , 2 , 3 .E x y x y??在 中有一部分對(duì)商人是安全的，稱為容許狀態(tài)集合， 記為 即有 E,S? ? ? ??? ? ?3 , 0 , 1 , 2 , 3 。做 網(wǎng)格線，網(wǎng)格線上的每一個(gè)交點(diǎn)代表一個(gè)狀態(tài)（用實(shí)點(diǎn) 表示）。 :nA 年齡在 2歲以上的老年蟲總數(shù) 。即 ? ?n i? n i? ? ? ? .nni P X i? ?? ⑴ 以 表示今年?duì)顟B(tài)處于 明年?duì)顟B(tài)處于 的概率，即 ijp i j? ?1 .ij n np P X j X i?? ? ?由全概率公式得到： ? ? ? ? ? ?1 , , 1 , 2 .n n ii n jii i p j p i j? ? ?? ? ? ?⑵ 即 ? ? ? ? ? ?1 11 211 1 2 ,n n npp? ? ?? ??? ? ? ? ? ?1 1 2 2 22 1 2 .n n npp? ? ?? ??由假設(shè)， 1 1 1 2 2 1 2 20. 8 , 0. 2 , 0. 7, 0. 3 ,p p p p? ? ? ?⑶ 再由于投保人處于健康狀態(tài)，即 ? ? ? ?001 1 , 2 0 .????由此得到 ? ?? ?0 1 2 3 41 1 0. 8 0. 78 0. 77 8 0. 77 78 7 / 9 .2 0 0. 2 0. 22 0. 22 2 0. 22 22 2 / 9nnn???若投保人在開始時(shí)處于疾病狀態(tài)，即 則有 ? ? ? ?001 0 , 2 1 .????? ?? ?0 1 2 3 41 0 0. 7 0. 77 0. 77 7 0. 77 77 7 / 9 .2 1 0. 3 0. 23 0. 22 3 0. 22 23 2 / 9nnn??? 從兩張表中可以看到，無論投保人在初始時(shí)處于什么 狀態(tài)，當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，該時(shí)刻的狀態(tài)趨于穩(wěn)定， 且與初始值無關(guān)。Sn? 時(shí)系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率只與時(shí)刻 時(shí) 系統(tǒng)所處的概率與轉(zhuǎn)移概率有關(guān)。 1,iip ? i 例如在前面三個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率中，轉(zhuǎn)移概率矩陣 為 8 2 5 5 .0 0 1P?????????并且從每個(gè)狀態(tài)最終都轉(zhuǎn)移到第三種狀態(tài) , 因而這樣的 鏈?zhǔn)俏真?。由于體內(nèi)的每 個(gè)基因都可以是兩種基因之一，因此體內(nèi)的基因?qū)︻愋? 可能有三種： 分別被稱為優(yōu)種、混種和劣 種。 由前面的計(jì)算公式得到 8 1 4 2 543 6 3 3 64 4 8 4 263 3 3 3 3, = ,4 1 8 4 253 3 3 3 32 1 4 8 543 6 3 3 6NN? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?的行和 31441122.11221344B???????????????????????根據(jù)矩陣 和 的性質(zhì)，上式表明從狀態(tài) 3出發(fā)經(jīng)過 BN 546代后它們的后代都會(huì)變成優(yōu)種或劣種，從狀態(tài) 3出發(fā)其 后代全變?yōu)閮?yōu)種的概率為 3.4 上面表明：近親繁殖的后代變成劣種的可能性很大。 I? ?v? n Shapley提出了應(yīng)該滿足的如下幾個(gè)公理： 公理 1 設(shè) 是 的一個(gè)排列，對(duì)于 的任一子集 令 ? ? ?1 , 2 , ,In? I? ?12, , , ,ks i i i?? ?12, , , ,ks i i i? ? ? ??再定義 上的特征函數(shù) ： 則對(duì)于每 個(gè) 有 I w ? ? ? ? .w s v s??,iI?? ? ? ? ? ? .i iwv??? ? ⑶ 上式表明：合作獲利對(duì)每個(gè)人的分配與記號(hào)無關(guān)。 3122038河 流 以 表示污水量， 表示管道長 度，由經(jīng)驗(yàn)公式，建廠費(fèi)為 Q L? （萬圓） . 鋪管費(fèi)為 0 . 5 Q L?（萬圓） . 已知三城鎮(zhèn)的污水量分別為 城鎮(zhèn)間的距離分別為 ? ? ? ?125 / , 3 / ,Q t s Q t s??? ?3 5 / ,Q t s? 12 2320 , 38 ,LL?? 試從節(jié)約總投資的角度出發(fā) ,為三個(gè)城鎮(zhèn)制定一個(gè)建造 污水處理廠的方案。聯(lián)合建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約 的投資定義為特征函數(shù)，于是有 n? ? ? ? ? ? ? ?0 , 1 2 3 0 ,v v v v? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 , 2 1 2 1 , 2 4 0 ,v C C C? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 , 3 2 3 2 , 3 2 5 ,v C C C? ? ? ?? ?1, 3 0 ,v ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 , 2 , 3 6 4 ,v I C C C C? ? ? ? ? 三城聯(lián)合建廠的效益為 由 Shapley值作為這個(gè)效益 的分配，則有表 64,0 40 0 64 0 0 0 25 0 40 0 39 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 0 0 13 s ??1 ? ?1,2 ? ?1,3 ? ?1,2,3? ?vs? ?? ?1vs ?? ? ? ?? ?1v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?1w s v s v s??????得 ? ?1 ,v? ?0 40 25 64 0 0 0 0 0 40 25 64 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 0 s ??2 ? ?1,2 ? ?2,3 ? ?1,2,3? ?vs? ?? ?2vs ?? ? ? ?? ?2v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?2w s v s v s??????得 最后得 ? ?2 ,v? ? ? ?3 ? ? 結(jié)果分析： 三城鎮(zhèn)聯(lián)合投資建廠的分擔(dān)費(fèi)用為： 城鎮(zhèn) 1 ? ? ? ?11 2 1 0 .4 .Cv ??? 城鎮(zhèn) 2 ? ? ? ?22 1 2 7 .8Cv ??? 城鎮(zhèn) 3 ? ? ? ?33 21 7. ??? 與按比例分擔(dān)比較： 城鎮(zhèn) 1收益最大， 而城鎮(zhèn) 3“吃虧”。 總費(fèi)用 由三部分構(gòu)成：聯(lián)合建廠費(fèi) D? ? 0 . 7 1 21 7 3 5 3 5 4 5 3 ,d ? ? ? ? ?城 1至城 2的管道費(fèi) 0. 512 6 5 20 30 .d ? ? ? ?城 2至城 3的管道費(fèi) ? ? 0 . 5 13 0 .6 6 5 3 3 8 7 3 .d ? ? ? ? ? 城 3提出： 由三城鎮(zhèn)按 的比例分擔(dān)， 是 城 2鋪設(shè)的管道費(fèi)用，則由他們承擔(dān)，城 2同意，并 提出 由城 2按污水量 的比例分擔(dān)，而 由城 1獨(dú)自承擔(dān)，城 1不同意。 n Shapley證明了滿足著四條公理的 是唯一的，并 且解的公式為： ? ?v?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ,iisSv w s v s v s i????? ? ????⑹ 其中 是 中所有含 的子集， 是集合 中的人數(shù)， 是加權(quán)因子，其值為 iS I ??i s s? ?ws? ? ? ? ? ?1 ! ! .!s n sws n??? ⑺ 可看作為成員 對(duì)合作 的貢獻(xiàn)。 假設(shè)有