【正文】 ?31nniE iP D i????? ? ? ?3111||in n n nijj P D j S j i P D i S i?????? ? ? ? ? ???????? ? .nP S i?同樣 , 當(dāng) 時(shí) , 用穩(wěn)態(tài)概率 來代替 則 n ?? iw ? ? .nP S i?0. 63 2 0. 28 5 0. 89 6 0. 26 3 0. 97 7 0. 45 2nE ? ? ? ? ? ?.?即從長期看 , 每周的平均銷售量為 . 討論 在原問題中 , 若將訂購策略改為 : 若當(dāng)周末的庫存量 為零時(shí) , 訂購量為銷售量加 2, 否則不訂購 , 試建立相應(yīng) 的馬氏鏈 . 解 當(dāng)概率不變時(shí) , 則概率分布為 ? ? ? ? ? ?1 1 0 .3 6 8 , 2 0 .1 8 4 , .n n nP D P D P D? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 0 .0 6 1 , 4 0 .0 1 5nnP D P D? ? ? ?? ? ? ? ? ?5 0 .0 0 3 , 6 0 .0 0 1 , 6 0 .n n nP D P D P D? ? ? ? ? ?由此得到狀態(tài)變量 的取值為 nS , 1 , 2 , 3 , , ?11 1221 22.PPPPP??? ????概率轉(zhuǎn)移矩陣為 其中 11 8 0 2 0 8 8 0 4, 4 8 8 0 1 4 8 8P?????????120 0 0 00 0 0 0, 0 0 00 0 0P?????????21 5 1 4 8 3 5 1 4, 1 3 5 10 1 3 5P?????????22 8 0 4 0 8 8 0 1. 4 8 8 0 1 4 8 8P?????????四、合作對策模型 在經(jīng)濟(jì)或社會(huì)活動(dòng)中，幾個(gè)個(gè)體相互合作或結(jié)成聯(lián) 盟，常常能或得比他們單獨(dú)行動(dòng)能獲得的經(jīng)濟(jì)效益或社 會(huì)效益。 假設(shè)有 三人在經(jīng)商。 先給出合作對策的一般模型 記 為有 個(gè)人的集合，若對于 的 任一子集合 都有一個(gè)實(shí)數(shù) 與之對應(yīng)，且滿 足下面條件： ? ?1 , 2 , , ,In? n I,sI? ? ?vs⑴ ； ? ? 0v ??⑵ 對 的任意兩個(gè)子集合 有 I1 2 1 2, , ,s s s s ??? ? ? ? ? ?1 2 1 2 ,v s s v s v s?? ⑴ 則稱 為定義在 上的一個(gè)特征函數(shù)。 I? ?v? n Shapley提出了應(yīng)該滿足的如下幾個(gè)公理： 公理 1 設(shè) 是 的一個(gè)排列，對于 的任一子集 令 ? ? ?1 , 2 , ,In? I? ?12, , , ,ks i i i?? ?12, , , ,ks i i i? ? ? ??再定義 上的特征函數(shù) ： 則對于每 個(gè) 有 I w ? ? ? ? .w s v s??,iI?? ? ? ? ? ? .i iwv??? ? ⑶ 上式表明：合作獲利對每個(gè)人的分配與記號無關(guān)。 公理 2 若對所有包含 的子集 都有 則 ??i ,s? ?? ? ? ? ,v s i v s?? ? ? v? ? 公理 3 ? ? ? ?1.niiv v I???? ⑷ 公理 3表明各個(gè)人的分配之和等于合作獲利。 n Shapley證明了滿足著四條公理的 是唯一的，并 且解的公式為： ? ?v?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ,iisSv w s v s v s i????? ? ????⑹ 其中 是 中所有含 的子集， 是集合 中的人數(shù)， 是加權(quán)因子，其值為 iS I ??i s s? ?ws? ? ? ? ? ?1 ! ! .!s n sws n??? ⑺ 可看作為成員 對合作 的貢獻(xiàn)。 isS?? s??i 在例 1中，將 分別記為 當(dāng) 時(shí)，經(jīng)計(jì)算得下表： ,A B C ? ? ? ? ? ?1 , 2 , 3 . 1i?1 7 5 10 0 1 1 4 1 6 4 6 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 1/3 1 2/3 2 s ??1 ? ?1,2 ? ?1,3 ? ?1,2,3? ?vs? ?? ?1vs ?? ? ? ?? ?1v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?1w s v s v s??????代入⑹得 ? ?1 121 2 4 .33v? ? ? ? ? ?即 應(yīng)分得利潤 4萬圓。 3122038河 流 以 表示污水量， 表示管道長 度，由經(jīng)驗(yàn)公式，建廠費(fèi)為 Q L? （萬圓） . 鋪管費(fèi)為 0 . 5 Q L?（萬圓） . 已知三城鎮(zhèn)的污水量分別為 城鎮(zhèn)間的距離分別為 ? ? ? ?125 / , 3 / ,Q t s Q t s??? ?3 5 / ,Q t s? 12 2320 , 38 ,LL?? 試從節(jié)約總投資的角度出發(fā) ,為三個(gè)城鎮(zhèn)制定一個(gè)建造 污水處理廠的方案。 ? ? ? ?1 3 4 6 0 ,CC ??⑸ 三城合作在城鎮(zhèn) 3建廠，則總費(fèi)用為 ? ? ? ?? ?51 , 2 , 3 73 5 3 5 5 20 5 3 38 556.DC ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?比較結(jié)果， ? ?? ?1 2 3 5m i n , , , m i n 620 , 580 , 595 , 556 556.D D D D D??? 即：選擇聯(lián)合建廠是一個(gè)最佳方案。 總費(fèi)用 由三部分構(gòu)成：聯(lián)合建廠費(fèi) D? ? 0 . 7 1 21 7 3 5 3 5 4 5 3 ,d ? ? ? ? ?城 1至城 2的管道費(fèi) 0. 512 6 5 20 30 .d ? ? ? ?城 2至城 3的管道費(fèi) ? ? 0 . 5 13 0 .6 6 5 3 3 8 7 3 .d ? ? ? ? ? 城 3提出： 由三城鎮(zhèn)按 的比例分擔(dān)， 是 城 2鋪設(shè)的管道費(fèi)用，則由他們承擔(dān)，城 2同意，并 提出 由城 2按污水量 的比例分擔(dān)，而 由城 1獨(dú)自承擔(dān)，城 1不同意。 為了促成三城聯(lián)合建廠，應(yīng)當(dāng)尋找合理分擔(dān)費(fèi)用的方 案。聯(lián)合建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約 的投資定義為特征函數(shù)，于是有 n? ? ? ? ? ? ? ?0 , 1 2 3 0 ,v v v v? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 , 2 1 2 1 , 2 4 0 ,v C C C? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 , 3 2 3 2 , 3 2 5 ,v C C C? ? ? ?? ?1, 3 0 ,v ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 , 2 , 3 6 4 ,v I C C C C? ? ? ? ? 三城聯(lián)合建廠的效益為 由 Shapley值作為這個(gè)效益 的分配，則有表 64,0 40 0 64 0 0 0 25 0 40 0 39 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 0 0 13 s ??1 ? ?1,2 ? ?1,3 ? ?1,2,3? ?vs? ?? ?1vs ?? ? ? ?? ?1v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?1w s v s v s??????得 ? ?1 ,v? ?0 40 25 64 0 0 0 0 0 40 25 64 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 0 s ??2 ? ?1,2 ? ?2,3 ? ?1,2,3? ?vs? ?? ?2vs ?? ? ? ?? ?2v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?2w s v s v s??????得 最后得 ? ?2 ,v? ? ? ?3 ? ? 結(jié)果分析： 三城鎮(zhèn)聯(lián)合投資建廠的分擔(dān)費(fèi)用為： 城鎮(zhèn) 1 ? ? ? ?11 2 1 0 .4 .Cv ??? 城鎮(zhèn) 2 ? ? ? ?22 1 2 7 .8Cv ??? 城鎮(zhèn) 3 ? ? ? ?33 21 7. ??? 與按比例分擔(dān)比較： 城鎮(zhèn) 1收益最大， 而城鎮(zhèn) 3“吃虧”。特征函數(shù)定義為：對 中的任一子集 當(dāng)其持 有的股份超過 時(shí)， 其余 于是 4 ? ?1 , 2 , 3 , 4 .I ?1, 2, 3, 4 40 % , 30 % , 20 % , 10 %I ,s50% ? ? 1,vs ? ? ? ? 的子集為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 4 , 1 , 3 , 4 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 ,其余 個(gè)子集的 9 ? ? ? 由公式⑹，⑺可計(jì)算各個(gè)股東的 Shapley值 ? ?.i v? 對 經(jīng)計(jì)算可得 1,i?? ? 1vs ?0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 2 2 1/4 1/12 1/12 1/12 0 1/12 1/12 0 s ??1 ? ?1,2 ? ?1,3 ? ?1,4? ?vs? ?? ?1vs ?? ? ? ?? ?1v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?1w s v s v s??????1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 3 3 3 4 1/12 1/12 1/12 1/4 1/12 1/12 1/12 0 s ? ?1,2,3 ? ?1, 2, 4 ? ?1,3,4 ? ?1, 2, 3, 4? ?vs? ?? ?1vs ?? ? ? ?? ?1v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?1w s v s v s??????由此得到 ? ?1 5 .12v? ? 對 相應(yīng)的數(shù)值為 2,i?0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 2 1/4 1/12 1/12 1/12 0 1/12 0 0 s ??2 ? ?1,2 ? ?2,3 ? ?2,4? ?vs? ?? ?2vs ?? ? ? ?? ?2v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?2w s v s v s??????1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 3 3 3 4 1/12 1/12 1/12 1/4 0 1/12 1/12 0 s ? ?1,2,3 ? ?1, 2, 4 ? ?2,3, 4 ? ?1, 2, 3, 4? ?vs? ?? ?2vs ?? ? ? ?? ?2v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?2w s v s