高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座關(guān)于求圓錐曲線方程的方法(存儲版)
【正文】 的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過線段AB的中點(diǎn)，同時橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程 命題意圖 本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計(jì)新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng) 知識依托 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題 錯解分析 不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯誤 恰當(dāng)?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關(guān)鍵 技巧與方法 本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式 解法二，用韋達(dá)定理 解法一 由e=,得,從而a2=2b2,c=b 設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上 則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=－,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,設(shè)l的方程為y=－x+1 右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對稱點(diǎn)設(shè)為(x′,y′),由點(diǎn)(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2= ∴所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1 解法二 由e=,從而a2=2b2,c=b 設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－ 直線l y=x過AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=－1 若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一 例3如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點(diǎn)，求以直線OPOP2為漸近線且過點(diǎn)
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