畢業(yè)論文多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用(存儲(chǔ)版)
【正文】 value. And discuss the applications of multiple function conditional extreme value in proving inequality , physics and production sales. 【 key words】 Extremum,Conditional extreme value,Lagrange multiplier method,Gradient method, Application 。 1 多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 118632022049 羅永濱 指導(dǎo)教師：陳麗華 【摘要】 多元函數(shù)條件極值是多元函數(shù)微分學(xué)的重要組成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘數(shù)法、標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式符號(hào)法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法等方法在解多元函數(shù)條件極值問題上的運(yùn)用，以及探討多元函數(shù)條件極值在證明不等式、物理學(xué)、生產(chǎn)銷售 等 問題上的應(yīng)用 . 【關(guān)鍵詞】 極值；條件極值；拉格朗日乘數(shù)法；梯度法； 應(yīng)用 多元函數(shù)條件極值是多元函數(shù)微分學(xué)的重要組成部分， 它不僅在理論上有重要的應(yīng)用，而且在其它學(xué)科及有關(guān)實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，于是如何判定與求解多元函數(shù)條件極值就成為許多學(xué)者研究的問題，雖然以前也有不少學(xué)者研究過，但多數(shù)還只是理論上的研究，實(shí)際利用方面的研究較少 .如文 [1]討論了方向?qū)?shù)法在求解多元函數(shù)條件極值上應(yīng)用，文 [2]討論了柯西不等式在求解一些特殊的多元函數(shù)條件極值問題時(shí)的應(yīng)用 .本文首先對(duì)多元函數(shù)條件極值的解題方法進(jìn)行了歸納與總結(jié)，通過具體實(shí)例對(duì)各種解法進(jìn)行分析類比， 從中 可以看到不同的條件極值問題可以有 不同的解題方法，其中最常用的是 拉格朗日乘數(shù)法，但對(duì)有些問題若能用一些特殊解法可以更簡單 .面對(duì)不同的極值問題如何采用最佳的解決方法是快速解題的關(guān)鍵 .文章最后討論了如何通過條件極值解決不等式證明、物理學(xué)、生產(chǎn)銷售等 實(shí)際應(yīng)用問題 . 多元函數(shù)極值與條件極值的有關(guān)概念 函數(shù)的極值 定義 設(shè) n ( 2)n? 元函數(shù) [3] 12( , , )nz f x x x? 在點(diǎn) 0 0 012( , , , )nx x x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 ,如果對(duì)該鄰域內(nèi)任一異于 0 0 012( , , , )nx x x 的點(diǎn) 12( , , )nx x x 都有 0 0 01 2 1 2( , , ) ( , , , )nnf x x x f x x x?(或0 0 01 2 1 2( , , ) ( , , , )nnf x x x f x x x?) ， 則 稱 函 數(shù) 在 點(diǎn) 0 0 012( , , , )nx x x 有極大值 ( 或 極 小值 ) 0 0 012( , , , )nf x x 、極小值統(tǒng)稱為極 值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) . 函數(shù)的條件極值 定義 [3] 函數(shù) 12( , , , )nz f x x x? 在 m 個(gè)約束條件 12( , , , ) 0inx x x? ? ( 1, 2 , , 。 m i n 3( , , ) 2333a b cV V a b c?? 說明： 以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法，但在實(shí)際解題過程中，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來快速解題，如標(biāo)準(zhǔn)量代換 法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法 . 標(biāo)準(zhǔn)量代換法 求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí) ,我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量 ,稱其余各量為比較量 ,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來 ,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了 .如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式 ,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量 . 例 [4] 設(shè) x y z a? ? ? ,求 2 2 2u x y z? ? ? 的最小值 . 解 取 33x y z a??? 為標(biāo)準(zhǔn)量 , 令 ,33aaxy??? ? ? ?, 則 3az ??? ? ? ( ,??為任意實(shí)數(shù) ), 從而有 2 2 2( ) ( ) ( )3 3 3a a au ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 222 2 23a ? ? ??? ? ? ? 222 2 2()33aa? ? ? ?? ? ? ? ? ? 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 0????, 即 3ax y z? ? ? 時(shí)成立， 所以 u 的最小值為 23a . 不等式法 [4] 利用均值不等式 均值不等式是常用的不等式，其形式為 1212 nn n a a aa a a n? ? ??， 6 這里 0, 1, 2ka k n?? ，且等號(hào)成立的充分條件是 12 na a a? ? ? . 例 已知 1 1 1 12x y z? ? ?， ( 0, 0, 0)x y z? ? ?，求 ( , , ) 2 2 2f x y z x y z? ? ?的極小值 . 解 0, 0, 0,x y z? ? ? ( , , ) 2 2 2f x y z x y z? ? ? ? 14( ) 2x y z? ? ? 1 1 14 ( ) ( )x y zx y z? ? ? ? ? 4 ( 3 )x y y z x zy x z y z x? ? ? ? ? ? ? 4 (3 2 2 2 ) 3 6? ? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 6x y z? ? ? 時(shí)，等號(hào)成立 . 利用柯西不等式 柯西不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù) 12, , , na a a 和 12,nb b b ，總有 21 1 2 2()nna b a b a b? ? ? ? 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) ( )nna a a b b b? ? ? ? ? ? ,iia R b R??,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù) 12, , , na a a 與 1, 2, nbb b 對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，等號(hào)成立 .運(yùn)用柯西不等式，主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，進(jìn) 而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值 . 例 已知 2 2 2( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) 9x y z? ? ? ? ? ?，求 ( , , ) 2 2f x y z x y z???的最值 . 解 首先將 ( , , ) 2 2f x y z x y z??? 變形為 ( , , )f x y z ? 2( 2) 2( 1 ) ( 4) 10x y z? ? ? ? ? ?； 再設(shè) ( , , ) 2( 2) 2( 1 ) ( 4)g x y z x y z? ? ? ? ? ?， 于是，根據(jù)柯西不等式及已知條件，有 ? ?22 ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 4 )x y z? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 22 ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) 8 1x y z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 即： 9 2( 2) 2( 1 ) ( 4) 9x y z? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) 且僅當(dāng) 2 2 22 1 42 2 1( 2) ( 1 ) ( 4) 9x
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