【正文】 于零的公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。 例題 2： 三根鐵絲，長(zhǎng)度分別是 120厘米、 180厘米、 300厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？ 【答案】 C。 關(guān)于數(shù)的整除特性，中公教育的教材上講的已經(jīng)很詳細(xì)了，但是還是不斷有學(xué)員問(wèn)相關(guān)的題型，看來(lái)大家還是不能夠完全把握此類規(guī)律。 例 1瓶，旅游團(tuán) 110個(gè)旅客集中 到冷飲店每人購(gòu)買了 1瓶汽水，他們每喝完一定數(shù)量的汽水就用空瓶去換 1瓶原裝汽水，這樣他們一共喝了 125瓶汽水，則冷飲店規(guī)定幾個(gè)空瓶換 1 瓶原裝汽水？ 解：用代入法檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)比較快的能得出答案。 .例 1：今有桃 95個(gè)，分給甲、乙兩個(gè)工作組的工人吃，甲組分到的桃有 2/9 是壞的，其他是好的，乙組分到的桃有 3/16 是壞的，其他是好的。下面就這兩類情況分別予以介紹。 棵 解析：設(shè)兩條路共有樹(shù)苗 x棵，根據(jù)栽樹(shù)原理總?cè)L(zhǎng)是不變的，所以結(jié)合上面給出的公式可以根據(jù)路程相等列方程： (x＋ 2754 － 4)4 = (x － 396－ 4)5 。 方法二：由于速度比等于路程比，由提意甲速是乙速，故在乙拐了一個(gè)彎之后的第 5棵樹(shù)乙走了 55=25 米，在這條邊上甲走了 50 米，因此正方形的邊長(zhǎng)為 25＋ 50=75； 利用封閉路線的公式，由于正方形是閉合曲線，所以有樹(shù) 754247。 倍數(shù)差 方程法解年齡問(wèn)題 熟練掌握了年齡關(guān)系之后，便可設(shè)所求為未知數(shù)，利用上述關(guān)系列方程求解。可求得 x=40。如下題： 10 年前吳昊的年齡是他兒子年齡的 7倍， 15年后，吳昊的年齡是他兒子的 2倍。 性質(zhì) 1：奇數(shù) +奇數(shù) =偶數(shù) 性質(zhì) 2：偶數(shù) +偶數(shù) =偶數(shù) 性質(zhì) 3：奇數(shù) +偶數(shù) =奇數(shù) 性質(zhì) 4：奇數(shù) 偶數(shù) =偶數(shù) 性質(zhì) 5：奇數(shù) 奇數(shù) =奇數(shù) 例題 10個(gè)連續(xù) 自然數(shù)，其中的奇數(shù)之和為 85，在這 10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，是 3的倍數(shù)的數(shù)字之和為多少？ 解析：奇數(shù)之和為 85，總共有 5項(xiàng)，那么中間哪個(gè)數(shù)就為 17，可以知道這 5個(gè)奇數(shù)為 13， 15， 17， 19， 21；由次可知這 10 個(gè)數(shù)可能為 1221和 1322，由于要3的倍數(shù)的數(shù)字之和最大，那么只可以是 12+15+18+21=66。 【經(jīng)典例題】 三位采購(gòu)員定期去某商店，小王每隔 9天去一次，大劉每隔 11天去一次，老楊每隔 7天去一次，三熱年星期二第一次在商店相會(huì)，下次相會(huì)是星期幾？ A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 解析：這道題不難，但要注意審題 ，看上去好象是 9， 11， 7的最小公倍數(shù)問(wèn)題，但這里有個(gè)關(guān)鍵詞 “ 每隔 ” ，每隔 9天，其實(shí)已過(guò)了 10天，所以要求的是 10， 12，8的最小公倍數(shù)，它們的公倍數(shù)為 120， 120247。43043=? 原式 =903100110247。 = =1 【主要考點(diǎn)】 一般的，通項(xiàng)形如 （其中 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列）的數(shù)列求和問(wèn)題，可以考慮采用錯(cuò)位相減法 求數(shù)列 前 項(xiàng)的和。下面我們通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明。第一桶用去 ，第二桶用去 40%以后，再?gòu)牡谝煌叭〕?8 千克油倒如第二桶，這時(shí)第二桶油與第一桶油的比是13： 14。 【經(jīng)典例題】 甲、乙兩車從 A、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，如果甲車提前一段時(shí)間出發(fā)，那么兩車將提前 30 分相遇。（ 10+2） =5 小時(shí)，采用方程法：設(shè)原來(lái)乙的速度為 X 千米 /時(shí)，因乙的速度較慢，則 5（ X+1） =6X+1，解得 X=4。 方法 乙第二次相遇所走路程是第一次的二倍，則有54242+54=120。這里速度差比 較明顯。 方法 往返乙、丙所用時(shí)間 =1218247。 【題型特征】 基本概念：成本、銷售價(jià)、利潤(rùn)、 利潤(rùn)率。（ 1－ 85%） =200 元。 有一個(gè)水池，池底有泉水不斷涌出。剩下的一只鴿子無(wú)論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了 3 只鴿子。 2．在一個(gè)口袋中有 10 個(gè)黑球、 6 個(gè)白球、 4 個(gè)紅球，至少?gòu)闹腥〕龆嗌賯€(gè)球才能保證其中有白球？ A． 14 B． 15 C． 17 D． 18 解析：抽屜原理，最壞的情況是 10 個(gè)黑球和 4 個(gè)白球都拿出來(lái)了，最后第 15 次拿到的肯定是白球。 10 臺(tái)電腦分配給 5 個(gè)村，每村至少一臺(tái)，那么有所少中不同的分配方法？ A． 126 解析： 10 臺(tái)電腦并成一排，內(nèi)部形成 9 個(gè)孔空，任意在這 9 個(gè)空中插入 4 個(gè)板，那么就把著 10 臺(tái)電腦分成了 5 部分，每一種插法就對(duì)應(yīng)一種分配方法，故有 =126 種方法 28. 簡(jiǎn)單概率問(wèn)題 【題型概述】 1. 隨機(jī)事件基本概念 隨機(jī)。要保證有一個(gè)抽屜中至少有 3 件物品，根據(jù)抽屜原理 2，至少要有 42＋ 1=9（件）物品。道理很簡(jiǎn)單。 設(shè)每頭每天吃草量為 “1”， 天吃完，每天長(zhǎng)草量 162020 =201212 =25 , =8, =10. 法 2，速度差（追及問(wèn)題），吃完草可以看著是牛追上草。解析：每個(gè)減價(jià) 35 元出售可獲得利潤(rùn)（ 45－ 35） 12=120元，則如按八五折出售的話，每件商品可獲得利潤(rùn) 120247。 【題型特征】 核心公式：溶液濃度 =溶質(zhì) /溶液 =溶質(zhì) /（溶質(zhì) +溶劑） 【經(jīng)典例題】 甲容器中有濃度為 4%的鹽水 150 克，乙容器中有某種濃度的鹽水若干，從乙中取出 450 克鹽水，放入甲中混合成濃度為 %的鹽水，那么乙容器中的濃度是多少？ 解析：法 方程法： 法 十字交叉法： 4% % 150 % ? =% % 450 2 把濃度為 20%、 30%和 50%的某溶液混合在一起，得到濃度為 36%的溶液 50 升。8+（ X－ 18） 247?？燔噺暮竺孀飞下嚨匠^(guò)慢車，共需（ ）秒鐘 解析：【答案】 A。請(qǐng)問(wèn) A、B 兩地相距多少千米？ 解析：【答案】 A。原來(lái)兩人速度和為 60247。9）=6： 5，買了紅筆 66 =36 枝 。 關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：和誰(shuí)比；增加或下降多少。 解析：令 =A，那么 A≤ ； A≥ ，故 ≤ A≤ 1。 為多少？ 解析：這道題，如果我們直接算的話會(huì)很煩瑣，展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)太多，增加計(jì)算量，先觀察沒(méi)項(xiàng)的相同部分，可知為 ，令 = ，把分式 令為 ，這樣原式就簡(jiǎn)化為 ，這樣來(lái)計(jì)算就簡(jiǎn)便多了。這些在 數(shù)字構(gòu)造上具有一定特點(diǎn)的數(shù)字都可以變換成因式相乘的形式。 最小公倍數(shù)：如果一個(gè)自然數(shù) 能被自然數(shù) 整除，則稱 為 的倍數(shù)，幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。在這道題中年齡差成了一個(gè)衡量年齡的基準(zhǔn)量，用它來(lái)代表各個(gè)人物各時(shí)期的年齡，不但簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程、不易出錯(cuò)，更使得題目容易理解。所以用年齡差來(lái)做運(yùn)算過(guò)程中的基準(zhǔn)量便可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為： x、 y和 z。 解答年齡問(wèn)題的一般方法： 幾年后的年齡 =大小年齡差 247。 故總共有 162 ＋ 142=60 棵樹(shù)。 （棵數(shù) 1） 例 （ 2022國(guó)家行測(cè)）為把 2022年 北京奧運(yùn)會(huì)辦成綠色奧運(yùn)，全國(guó)各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹(shù)造林，某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場(chǎng)館的兩條路 (不相交 )兩旁栽上樹(shù)，現(xiàn)運(yùn)回一批樹(shù)苗，已知一條路的長(zhǎng)度是另一條路長(zhǎng)度的兩倍還多 6000米。故乙最多買 18 本。 3：方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層人數(shù)多 8. 4：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù) =去掉的每邊人數(shù)的 2倍減去 1?？磶讉€(gè)例題： 例 4個(gè)礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水，現(xiàn)有 15 個(gè)礦泉水空瓶，不交錢最多可以喝礦泉水： 解：由題意： 3個(gè)空瓶相當(dāng)于一個(gè)瓶子中的礦泉水，顯然選 C。60+300247。這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 91247。公約數(shù)中最大的一個(gè)稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。 例 1：在前面 3場(chǎng)擊球游戲中，某人的得分分別為 1 14 144。 解法三：若 1152=27 32，那么 1152 的所有乘積為 1152 因數(shù)的個(gè)數(shù)為（ 7+1）（ 2+1）=24 個(gè)，每?jī)蓚€(gè)一組，故共有 24247。要求對(duì)排列組合有較深刻的理解，才能達(dá)到靈活運(yùn)用的目的 例題 1.：有多少種方法可以把 100 表示為（有順序的） 3 個(gè)自然數(shù)之和？（ ） 解析：插板法： 100 可以想象為 100 個(gè) 1 相加的形式，現(xiàn)在我們要把這 100 個(gè) 1 分成3 份，那么就相等于在這 100 個(gè) 1 內(nèi)部形成的 99 個(gè)空中，任意插入兩個(gè)板，這樣就把它們分成了兩個(gè)部分。 例題 1： 三個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和為 a/231 ，則 a=（ ） 【解析】將 231 分解質(zhì)因數(shù)得 231=3 7 11，則 1/3+1/7 +1/11 =131/231 ，故 a=131。 第一步，觀察數(shù)列特點(diǎn) ，看是否存是隔項(xiàng)數(shù)列，如果是，那么相隔各項(xiàng)按照數(shù)列的各種規(guī)律來(lái)解答 第二步，如果不是隔項(xiàng)數(shù)列，那么從數(shù)字的相鄰關(guān)系入手，看數(shù)列中相鄰數(shù)字在加減乘除后符合上述的哪種規(guī)律，然后得出答案。 逐步形成自己的一套解題思路和技巧。關(guān)鍵語(yǔ)句通常是指以下幾種語(yǔ)句：結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，對(duì)理解文意有影響的語(yǔ)句；內(nèi)涵比較豐富的語(yǔ)句；材料的中心句、總結(jié)句、過(guò)渡句等。 。 反：指那些材料中肯定或否定的信息，選項(xiàng)中卻把它放到對(duì)立的角度上。 ：注意四字原則 ，抓住四字原則。其經(jīng)常表現(xiàn)為：關(guān)鍵是、重要的是、重中之重、基礎(chǔ)是、更、根本原因、因此、所以、 …… 但是、優(yōu)先目標(biāo)、 …… 基石等。這些詞，把握分寸，不好推翻，多數(shù)是正確的。多閱讀是增加接觸語(yǔ)言材 料、接受信息、活躍思維，增長(zhǎng)智力的一種途徑，同時(shí)也是培養(yǎng)思維能力、提高理解力、增強(qiáng)語(yǔ)感的好方法。 三、語(yǔ)感 什么是語(yǔ)感 ? 語(yǔ)感，即語(yǔ)言感受力。 ” 語(yǔ)言是人類形成和表達(dá)思想的手段；思維是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的，間接的和概括的反映。矯枉過(guò)正：糾正偏差超過(guò)應(yīng)有的限度。解析：運(yùn)輸、銷售和制作。沿用：繼續(xù)使用。 ② 到底，畢竟?？汲烧Z(yǔ)的運(yùn)用，把關(guān)聯(lián)詞、常用詞放在一起。就題目設(shè)置的形式來(lái)看，把選詞填空從語(yǔ)段閱讀中分離了出來(lái)，放到單句或復(fù)句中去考查，考查的知識(shí)點(diǎn)包括：近義詞的辨析、常用詞的運(yùn)用、成語(yǔ)（短語(yǔ)）的運(yùn)用；難度加大； 2022年來(lái)了個(gè)大變化，去掉短文閱讀，保留片斷閱讀，增加了聽(tīng)力理解。調(diào)整心態(tài)的方法很多，例如，找知心朋友傾訴一下，去鍛煉身體，聽(tīng)聽(tīng)音樂(lè)等等。 其次，在前一階段復(fù)習(xí)計(jì)劃的基礎(chǔ)上，制定新一階段的計(jì)劃。 這里有一點(diǎn)要特別注意， 即客觀。另外， 在對(duì)前一階段進(jìn)行評(píng)估之后，我們必須制訂好下一階段的復(fù)習(xí)策略。就如同埋頭走路卻不看前途一樣，不時(shí)?；剡^(guò)頭來(lái)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié)，可能就會(huì)一直沿著錯(cuò)誤的思路走下去，導(dǎo)致我們的復(fù)習(xí)失敗。如此循環(huán)下來(lái)，必然日新而月不同。其它部分的復(fù)習(xí)也是同樣道理。 針對(duì)這些因素，考生必須適時(shí)地調(diào)整心態(tài)，否則，任何一種因素占上風(fēng)，都會(huì)影響復(fù)習(xí)的效率，打擊考生的自信心。 2022年考試有所變化， 考查角度主要有 ：（１）依次填入某幾處的詞語(yǔ)，最恰當(dāng)?shù)氖?；（２）某處填入詞語(yǔ)，最恰當(dāng)?shù)氖?。考關(guān)聯(lián)詞語(yǔ)，把關(guān)聯(lián)詞語(yǔ)與其它常用詞放在一起。究竟： ① 完畢，結(jié)束。如：比起光吃草根野菜來(lái)畢竟好多啦！在表示肯定語(yǔ)氣時(shí)， 畢竟和究竟可以通用。 （ 07四川 22） ，銷售，制作 ，運(yùn)輸，制作 ，運(yùn)輸，銷售 ，銷售，運(yùn)輸 【答案】 C。亦比喻辦法不徹底，不能從根本上解決問(wèn)題。 片段閱讀 一、片斷閱讀考查的目的 “思維形式寓于語(yǔ)言形式之中，是不同語(yǔ)言形式的共性。 二、片段閱讀分類 綜合型就是邏輯型和主觀型的綜合運(yùn)用 。二、 加強(qiáng)閱讀訓(xùn)練，提高語(yǔ)感。 弱化的詞：差不多、有些、可能、或許、大概等。 ：這是一個(gè)非常重要的方法。 品讀能體現(xiàn)內(nèi)容的概括句。這樣的題目，在片段閱讀中非常普遍，大家一定要慎重對(duì)待。諸如此類的題目，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，希望大家準(zhǔn)確定位材料中所給出的信息的狀