【正文】 （ 2） 在區(qū)間 ]10[， 上顯然有 xxxx n ??? 12， 且等號不恒成立，而函數(shù)nxxx ?1 、 x 都連續(xù)，根據(jù)本節(jié)習(xí)題（ B） 3，有 ??? ??? 101010 d1 dd2 xxxxxxx n， 而由 定積分的幾何意義得 21d10 ?? xx，22 1d21d2 1010 ?? ?? xxxx，所以211 d22 1 10 ??? ? nxxx． 習(xí)題 5— 2(A) 1． 判斷下列敘述是否正確？并說明理由： （ 1）在定理 的證明中，被積函數(shù)連續(xù)的條件 是不可缺少的 ； （ 2）若 ()fx連續(xù) 、 )(x? 可導(dǎo) ， 則 ?? )(0 d)()(x ttfxF ? 的導(dǎo)數(shù) 等于被積函數(shù)在上限處的值； （ 3）在 ()fx連續(xù) 、 )(x? 及 )(x? 可導(dǎo) 時， 通過將 ?? )()( d)()(xx ttfxF??化成兩個變上限定積分 ， 可求得 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )? ? ???F x f x x f x x? ? ? ?； （ 4）使用牛頓 — 萊布尼茲公式計算定積分， 首先 要 找到 被積函數(shù)在積分區(qū)間上的一個原函數(shù)，然后求該原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量 ． 答： （ 1）正確． 定理的證明中兩次 用到連續(xù)性 ，一次是使用定積分中值定理時，再一次是最后求極限時 ． （ 2）不正確． 應(yīng)該是 )()]([)( xxfxF ?? ??? ，即 被積函數(shù)在上限處的值與上限處函數(shù) )(x?的導(dǎo)數(shù)之積 ． （ 3）正確． 將函數(shù) )(xF 改寫為 ?? ?? )()( d)(d)()( xaxa xxfxxfxF?? ，再根據(jù)（ 2）求導(dǎo) ． （ 4）正確． 這就是 牛頓 — 萊布尼茲公式 )()(d)( aFbFxxfba ???（其中 )(xF 是 )(xf 在區(qū)間 ][ ba， 上的一個原函數(shù)），但是 要注意被積函數(shù)的連續(xù)性，對分段函數(shù)（或分區(qū)間連續(xù)函數(shù)）要分區(qū)間求． 2． 計算下列定積 分： （ 1） xxx d)123(10 24? ??； （ 2） xaxaxa d))((0? ??； （ 3） xxx d)11(94 ??； （ 4） xxd1123??? ?； （ 5） xxx d121 34? ? ； （ 6） ? ?33/1 21 dxx； （ 7） xxx d3110 2? ??； （ 8） ??210 21d xx ； （ 9） xx d)sin21(0? ??； （ 10） xxdtan30 2?? （ 11） ? ?40 sin1d? xx ； （ 12） xxdcos0?? ； （ 13） xxx d1220 2? ??； （ 14） xxf d)(20?，其中??? ??? .11e)( xx xxf x， ， 解： （ 1） 154]3253[d)123( 103410 24 ??????? xxxxxx． （ 2） ????????? ?? 333030 220 33d)(d))(( aaaxxaxxaxax aaa 322a? ． （ 3） ???????? ??32824]232[d)1(d)11( 942/39494 xxxxxxxx 344． （ 4） ?????? ????? 2ln01lnd1 1 2323 xxx2ln? ． （ 5） ???????? ?? 1817]2 12[d)1(d1 212221 321 34 xxxxxxxx 89 ． （ 6） ?????? 63a rc t a n1 d 33/13 3/1 2 ??xxx 6?． （ 7） ?????????? 3ln214ln2136)]3l n(213a rc t a n31[d31 10310 2 ?xxxxx 43ln2136 ??． （ 8） ?????? 06a rc s i n1 d 2/10210 2?xxx 6? ． （ 9） ????????? )11(2c os2d)s i n21(00 ?? ?? xxx 4??． （ 10） ???????? ?? 3033t a nd)1(s e cdt a n 3/030 230 2 ????? xxxxx 33 ?? ． （ 11） ????????? ?? 121]s e c[t a nc os )ds i n(1s i n1 d 4/040 240 ??? xxx xxxx 2 ． （ 12） ????????? ??? )10(01s i ns i ndc osdc osdc os2/2/02200 ??????? xxxxxxxx 2 ． （ 13） xxxxxxxxx d)(d)1(d1d12 21102020 2 ???? ????????? ???????? 2121)1(21)1(21 212102 xx 1． （ 14） ????????? ??? 2121e2edded)( 21210211020 xxxxxxf xx21e?． 3． 求下列函數(shù) )(xyy? 的導(dǎo)數(shù) xydd ： （ 1） ? ?? x t ty0 de 2； （ 2） ?? 1 dsinx tt ty； （ 3） ?? x tty0 2dsin； （ 4） ?? xx txye2 dln. 解： （ 1） ?xydd 2ex? ． （ 2） ?xydd xxsin? ． （ 3） ???xxxy 2 1)s in(dd 2 xx2sin． （ 4） ??????? )()l n()e()el n(dd 22 xxxy xx )ln2e( 2xx x ? ． 4． 求下列極限： （ 1） x tx tx lndelim 112??； （ 2）3020dsinlimxttxx??； （ 3） x xttxx 5020 sindcoslim ? ??； （ 4）??? 202020 dcos)dsin(lim xxx tttt t . 解： （ 1） ??????? 222 el i m/1el i mln del i m1111xxxxx tx xxxt e ． （ 2） ?????2203020 3s inlimds inlim xxx ttxxx 31． （ 3） ??????????????44042050205020 52/l i m5 1c o sl i mdc o sl i ms i n dc o sl i m xxxxx xttx xttxxxxxx 101?． （ 4） ?????????????1s i nl i mds i nl i mc o s2s i nds i n2l i mdc o s)ds i n(l i m 00040002020 2xxxtt txxxxttttttt txxxxxxxx1． 習(xí)題 5— 2(B) 1． 求 變力 2)( tttF ?? 沿數(shù)軸從點 1?t 到點 2?t 所 做 的功 . 解： 根據(jù)習(xí)題 51（ A） 3， xttttFW d)(d)( 21 221 ?? ??? 33 243132383 24]332[ 2132/3 ??????? tt ． 2． 設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 0d1d1 20 220 2 ???? ??xy tttt ，求 xydd . 解： 方程 0d1d1 20 220 2 ???? ??xy tttt 兩邊同時對 x 求導(dǎo)， 有 012dd412 42 ???? xxxyy ，解得 24411dd yxxxy ???? ． 3． 若函數(shù) )(xf 連續(xù)，設(shè) ?? x ttxfy1 d)(，求 xydd . 解： ?? x ttfxy1 d)(，根據(jù)乘積求導(dǎo)法則， xydd )(d)(1 xxfttfx ?? ? ． 4． 證明：當(dāng) 0?x 時，函數(shù) ttxI x t de)(0 2? ??取得最小值 . 證明： 函數(shù) )(xI 在 )( ????， 內(nèi)有定義， 2e)( xxxI ??? ， 由 0)( ?? xI 得唯一駐點 0?x ，又 22 e2e)( 2 xx xxI ?? ???? ， 01)0( ????I ，于是 0?x 是函數(shù) ttxI x t de)(0 2? ??的唯一極小值點，從而也是最小值點 ，所以當(dāng) 0?x 時，函數(shù) ttxI x t de)(0 2? ??取得最小值 . 5． 若函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ][ ba， 上連續(xù)，在 )( ba， 內(nèi)可導(dǎo)，且 0)( ?? xf ，設(shè) ??? xa ttfaxxF d)(1)( ， 證明 ： 在區(qū)間 )( ba， 內(nèi) 0)( ?? xF . 證明：2)(d)())(()(axttfaxxfxF xa????? ?． （方法 1）由定積分中值定理，ax fxfax axfaxxfxF ???? ????? )()()( ))(())(()( 2 ?? （其中 xa ??? ），由 0)( ?? xf ，有函數(shù) )(xf 單調(diào)減少，而 x?? ，得 )()( ?fxf ? ， 所以在區(qū)間 )( ba， 內(nèi)證明 0)( ?? xF . （方法 2） 因為 ))((d)( axxftxfxa ???，所以 22 )(d)]()([)(d)(d)()(axttfxfaxttftxfxF xaxaxa??????? ??? （ tx? ）， 由 0)( ?? xf ， 有 函數(shù) )(xf 單 調(diào)減 少 ，而 tx? ，于是 0)()( ?? tfxf ，得0d)]()([ ??? xa ttfxf ，所以在區(qū)間 )( ba， 內(nèi)證明 0)( ?? xF . （方法 3） 設(shè) ?)(xg ??? xa ttfaxxf d)())((，則 0))(()( ????? axxfxg ， 于是函數(shù) )(xg 在區(qū)間 ][ ba， 上單調(diào)減少， 0)()( ?? agxg ，所以 0)( ?? xF . 6． 若函數(shù) )(xf 可導(dǎo)，且 0)0( ?f ， 2)0( ??f ，求極限200d)(limxttfxx??. 解： ?????????? )0(21)0()(l i m212 )(l i md)(l i m00200 fxfxfxxfx ttfxxxx1． （注：由于 )(xf? 未必連續(xù)，因此極限 xxfx 2 )(lim0?不能再用洛必達(dá)法則） 7． 設(shè)函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ]10[， 連續(xù)，且 1)( ?xf ，證明方程 ?x2 1d)(0 ?? x ttf在開區(qū)間 )10(， 有且僅有一個實根 . 證明： 設(shè) ?? xxF 2)( 1d)(0 ?? x ttf，根據(jù)已知 ， 函數(shù) )(xF 在閉區(qū)間 ]10[， 連續(xù)，又 01)0( ???F ， ??1)1(F ?10 d)( ttf，由于連續(xù)函數(shù) 1)( ?xf ，則 1d)(10 ?? ttf， 從而 0)1( ?F ，由零點定理得 方程 ?x2 1d)(0 ?? x ttf在開區(qū)間 )10(， 至少有一個實根 . 而 0)(2)( ???? xfxF ， )(xF 單調(diào)增加， 于是方程 0)( ?xF 至多有一個實根，即方 程 ?x2 1d)(0 ?? x ttf在開區(qū)間 )10(， 至多有一個實根 . 綜上， 證明方程 ?x2 1d)(0 ?? x ttf在開區(qū)間 )10(， 有且僅有一個實根 . 8． 若函數(shù)??? ???? 其它， ，0 10)(6)( 2 xxxxf 求函數(shù) ??? x ttfx0 d)()(在 ),( ???? 內(nèi)的表達(dá)式． 解： 當(dāng) 0?x 時， 0d0d)()(00 ???? ??xx tttfx ； 當(dāng) 1