【正文】 Variance of the OLS Estimators OLS估計(jì)量的抽樣方差 ? 我們知道估計(jì)量的隨機(jī)抽樣分布以真值為中心，現(xiàn)在想知道的是這個(gè)分布散開的程度 ? 了解這一點(diǎn) (分布的分散程度 )，將對(duì)我們?nèi)绾文軌蛟谒械墓烙?jì)量中，是否 有效 具有一定的指導(dǎo)意義。 當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時(shí)，需進(jìn)一步考察估計(jì)量的大樣本 或 漸近性質(zhì) ： Expected Values and Variances of the OLS Estimators OLS估計(jì)量的期望值和方差 ? 從總體中抽取的不同的隨機(jī)樣本可得到不同的OLS估計(jì)量，我們將研究這些 OLS估計(jì)量的分布。 因此 統(tǒng)計(jì)上常稱容量在 30（含 30）以上的樣本為 大樣本 （ largesamplesize)。 4 個(gè)個(gè)體分別為 x1=1， x2=2， x3=3， x4=4 。 假如有 1500人參加了公司培訓(xùn) ， 得到了如下的結(jié)果： 總體均值 （ population mean）： ? =51800 總體標(biāo)準(zhǔn)差 （ Population standard deviation）： ? =400 參加公司培訓(xùn)計(jì)劃的 比例 為： P =1500/2500= 參數(shù)是總體的數(shù)值特征 A parameter is a numerical characteristic of a population 一、點(diǎn)估計(jì) 假如隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為 30的樣本： ? Annual Salary Management Training Program? ? Yes ? Yes ? Yes ? … … 根據(jù)該樣本求得的 年薪樣本 平均數(shù) 、 標(biāo)準(zhǔn)差 及 參加過(guò)培訓(xùn)計(jì)劃人數(shù)的 比例 分別為： ? ??? 1 8 1 430/1 5 5 4 4 2 0/ nxx i)1/()( 2 ????? ? nxxs i??p（一）點(diǎn)估計(jì) 上述估計(jì)總體參數(shù)的過(guò)程被稱為 點(diǎn)估計(jì) （ point estimation）； 由于 點(diǎn)估計(jì)量 是由樣本測(cè)算的，因此也稱為 樣本統(tǒng)計(jì)量。 ? 自然對(duì)數(shù)的另一個(gè)重要用途是用于獲得彈性為常數(shù)的模型 ? 在 CEO的薪水和企業(yè)銷售額的例子中 ， 常數(shù)彈性模型是： 01l og( ) l og( )sal ary sal e s ubb? ? ?2 0 9 ,n ??l o g ( ) 4 .8 2 2 0 .2 5 7 l o g ( )sa lar y sa le s??2 ?β1是 y對(duì) x的彈性。意 味 著 薪 水 變 異 中 還 有 ％ 懸 而 未 決 。 – If roe=30, what is the estimated salary? 思考 :兩條線分別代表什么意思？ 擬合值和殘差 obsno salar y roe salar y hat uhat 1 1095 1224 129 2 1001 1 165 164 3 1 122 1398 276 4 578 1072 494 5 1368 1219 149 6 1 145 20 1333 188 7 1078 1267 189 8 1094 1265 171 9 1237 1 157 80 10 833 1450 617 11 567 1442 875 12 933 1459 526 13 1339 1237 102 14 937 1375 439 15 201 1 2022 6 Salaryhat是擬合值， uhat是殘差 第二章 簡(jiǎn)單回歸模型（ 2） Chapter Outline 本章大綱 ? Definition of the Simple Regression Model 簡(jiǎn)單回歸模型的定義 ? Deriving the Ordinary Least Squares Estimates 推導(dǎo)普通最小二乘法的估計(jì)量 ? Mechanics of OLS OLS的操作技巧 ? Unites of Measurement and Functional Form 測(cè)量單位和回歸方程形式 ? Expected Values and Variances of the OLS estimators OLS估計(jì)量的期望值和方差 Algebraic Properties of OLS OLS的代數(shù)性質(zhì) （ 1） OLS 殘差和為零 （一階條件 ) ? 因此 OLS 的樣本殘差平均值也為零 . 01111? ?? ( ) 0 ( 2 .3 0 )1?a n d t h u s , 0nnniiiiniiu y xubb???? ? ? ????? Algebraic Properties of OLS OLS的代數(shù)性質(zhì) （ 2）回歸元（解釋變量）和 OLS殘差之間的樣本協(xié)方差為零 (一階條件 ) 1 ? 0 ( 2 . 3 1 )n iii xu? ?? （ 3） OLS回歸線總是通過(guò)樣本的均值。 . . . . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 } } { { u1 u2 u3 u4 x y Population regression line, sample data points and the associated error terms 總體回歸線，樣本觀察點(diǎn)和相應(yīng)誤差 E(y|x) = b0 + b1x Deriving OLS Estimates 普通最小二乘法的推導(dǎo) ? 假定： E(u|x) = E(u) = 0 可以得到： ? Cov(x,u) = E(xu) = 0 since u = y – b0 – b1x， 所以有： E(y – b0 – b1x) = 0 E[x(y – b0 – b1x)] = 0 These are called moment （矩） restrictions Deriving OLS using . 使用矩方法推導(dǎo)普通最小二乘法 矩方法是將總體的矩限制應(yīng)用于樣本中。 這里將 樣本回歸線 看成 總體回歸線 的近似替代 注意： 01( | )i i i i iY E Y X u X ubb? ? ? ? ? 樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式 /樣本回歸模型 ： 同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機(jī)形式： 由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，稱為 樣本回歸模型 （ sample regression model） 。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機(jī)性影響 。 . . x1=5 x2 =10 E(y|x) = b0 + b1x y f(y) 給定 x時(shí) y的 條件分布 ? 下標(biāo)的使用慣例： –橫截面數(shù)據(jù)－－ i –時(shí)間序列數(shù)據(jù)－－ t 例 2： 一個(gè)假想的社區(qū)有 100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月 家庭消費(fèi)支出 Y與每月 家庭可支配收入 X的關(guān)系。 b1 :衡量了在其他條件不變的情況下，多接受一年教育，工資可以增加多少 . A Simple Assumption 關(guān)于 u的假定 ? 我們假定總體中誤差項(xiàng) u的平均值為零 .： E(u) = 0 () ? 思考：該假定是否具有很大的限制性（ restrictive）呢 ? A Simple Assumption 關(guān)于 u的假定 ? If for example, E(u)=5. Then y = (b0 +5)+ b1x + (u5), therefore, E(u’)=E(u5)=0. ? 上述推導(dǎo)說(shuō)明我們總可以通過(guò)調(diào)整 常數(shù)項(xiàng) 來(lái)實(shí)現(xiàn)誤差項(xiàng)的均值為零 , 因此該假定的限制性不大 . Zero Conditional Mean Assumption 條件期望零值假定（ ※ ） y = b0 + b1x + u 我們需要對(duì) u和 x之間的關(guān)系做一個(gè)關(guān)鍵假定。 我們稱之為 簡(jiǎn)單回歸模型 ， 一元線性回歸模型 . Some Terminology 術(shù)語(yǔ)注解 Some Terminology 術(shù)語(yǔ)注解 簡(jiǎn)單回歸模型： y = b0 + b1x + u y通常被稱為 因變量 (Dependent Variable) 左邊變量 (LeftHand Side Variable) 被解釋變量 (Explained Variable) 回歸子 (Regressand) 響應(yīng)變量（ response variable） 被預(yù)測(cè)變量（ predicted variable） 術(shù)語(yǔ)注解 簡(jiǎn)單回歸模型： y = b0 + b1x + u x通常被稱為 自變量 (independent Variable) 右邊變量 (rightHand Side Variable) 解釋變量 (explanatory Variable) 回歸元 (regressor) 控制變量（ control variable） 預(yù)測(cè)變量（ predictor variable） 術(shù)語(yǔ)注解 在簡(jiǎn)單回歸模型： y = b0 + b1x + u b0 , b1被稱為 回歸系數(shù) (regression coefficients ）。 簡(jiǎn)單回歸模型： y = b0 + b1x + u 等式只有一個(gè)非常數(shù)解釋變量 。 ? For example, y=eb0+b1x+u . 轉(zhuǎn)化為： log(y)=b0+b1x+u For example, 01y x ubb? ? ?For example, 011yuxbb???簡(jiǎn)單回歸模型例子（例 ） A simple wage equation wage= b0 + b1educ+ u 上述簡(jiǎn)單工資函數(shù)描述了受教育年限和工資之間的關(guān)系， educ用受教育的年限來(lái)度量 u : 包含了其他非觀測(cè)因素，如勞動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、天生素質(zhì)、任現(xiàn)職時(shí)間等。 Zero Conditional Mean Assumption 條件期望零值假定 簡(jiǎn)單回歸模型： y = b0 + b1x + u ? E(u|x) = E(u) = 0. () ? ()說(shuō)明總體回歸函數(shù)應(yīng)滿足 E(y|x) = b0 + b1x. ? E(y|x)是 x的線性函數(shù)， y的分布以它為中心。 相應(yīng)的函數(shù)： 01( | )E y x xbb??例 2中，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為： （ *）式稱為 總體回歸函數(shù) （方程） PRF的隨機(jī)設(shè)定形式。 記樣本回歸線的函數(shù)形式為： iii XXfY 10 ??)(? bb ???稱為 樣本回歸函數(shù) （ sample regression function， SRF） 。 估計(jì)方法 有多種，其種最廣泛使用的是 普通最小二乘法 （ ordinary least squares, OLS）。 – : b1 的估計(jì)值反應(yīng)了 ROE若增加一個(gè)百分點(diǎn)工資將平均增加 18500美元。 ? 值得強(qiáng)調(diào)的是表面上低的 R2不一定說(shuō)明OLS回歸方程是沒(méi)有價(jià)值的 GoodnessofFit 擬合優(yōu)度 ? Exam