【正文】 構(gòu)成 . （ 4）預(yù)測值和殘差在樣本中是不相關(guān)的（自己推導(dǎo)） iii uyy ?? ??0)?,?c o v ( ?ii uyAlgebraic Properties of OLS OLS的代數(shù)性質(zhì) 0)?(?)?(?]?)??[()?()??()?))(?(())?(?))(?(?()?,?c o v (1010????????????iiiiiiiiiiiiiiiiiuxEuEuxEuEyuyEuyEyEuEuyEyEuybbbb常用的推導(dǎo)條件 i01?10?2 x 0? ?30? ?4? ?5iiiii i iuuyuy y uyxbb??????????擬合優(yōu)度 （ Goodness of fit ） More Terminology 更多術(shù)語 ? 定義總平方和（ total sum of squares,SST）為 21()niiS S T y y????總平方和是對 y在樣本中所有變動的度量，即它度量了 y在樣本中的分散程度。2 ?963. 191 01salary roe?? 度量單位和函數(shù)形式 Units of Measurement 度量單位 例 ：首席執(zhí)行官的薪水和資本權(quán)益報(bào)酬率 其中， salary衡量了以 1000美元為單位的年薪； 假定薪水的單位是美元，而不是千美元，在Salarys對 roe進(jìn)行回歸時(shí) OLS截距和斜率的估計(jì)值是多少？ 963. 191 01salary roe??Units of Measurement 度量單位 新的回歸方程： ? 一般而言，當(dāng)因變量乘上常數(shù) c，而自變量不改變時(shí)， OLS的截距和斜率估計(jì)量也要乘上 c。這里薪水對銷售額的彈性估計(jì)量為 OLS估計(jì)量的期望值和方差 補(bǔ)充： 抽樣與抽樣分布 參數(shù)估計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn) ? 統(tǒng)計(jì)方法 描述統(tǒng)計(jì) 推斷統(tǒng)計(jì) 什么是推斷統(tǒng)計(jì)？ ? The purpose of Statistics inference(統(tǒng)計(jì)推斷 ) is to obtain information about a population from information contained in sample. 例 1 一汽車輪胎制造商生產(chǎn)一種被認(rèn)為 壽命更長的新型輪胎 。 估計(jì)量和估計(jì)值 ? 樣本的 （ 不包含未知總體參數(shù)的 ） 函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量； ? 由于一個(gè)統(tǒng)計(jì)量對于不同的樣本取值不同 ，所以 ， 估計(jì)量也是隨機(jī)變量 ， 并有其分布 。 總體的均值 、 方差及分布如下 總體分布 1 4 2 3 0 .1 .2 .3 均值和方差 ????NxNii?)(122 ?????NxNii ??樣本均值的抽樣分布 ? 現(xiàn)從總體中抽取 n＝ 2的簡單隨機(jī)樣本 ， 在重復(fù)抽樣條件下 ， 共有 42=16個(gè)樣本 。 中心極限定理 (central limit theorem) 當(dāng)樣本容量足夠大時(shí) (n ? 30) ，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布 nx?? ?從均值為 ?， 方差為 ? 2的一個(gè)任意總體中抽取容量為 n的樣本 ， 當(dāng) n充分大時(shí) ， 樣本均值的抽樣分布近似服從均值為 μ， 方差為 σ2/n的正態(tài)分布 一個(gè)任意分布的總體 ?? ?xx 中心極限定理 (central limit theorem) ?x 的分布趨于正態(tài)分布的過程 三、 點(diǎn)估計(jì)量的性質(zhì)：估計(jì)量優(yōu)劣的衡量 用 樣本統(tǒng)計(jì)量 （ sample statistics）可以作為其對應(yīng)的總體的 點(diǎn)估計(jì)量 （ point estimator)。 ? 首先，我們在一些假定下證明 OLS的無偏性。 Sampling Variance of the OLS Estimators OLS估計(jì)量的抽樣方差 在一個(gè)附加假定下計(jì)算這個(gè)方差會容易的多，因此有 ? Assume (Homoskedasticity): 假定 (同方差性 ): Var(u|x) = ?2 . . x1 x2 Homoskedastic Case 同方差的情形 E(y|x) = b0 + b1x y f(y|x) . x x1 x2 f(y|x) Heteroskedastic Case 異方差的情形 x3 . . E(y|x) = b0 + b1x Sampling Variance of OLS (cont) OLS的抽樣方差 (繼續(xù) ) ? ?2 也是無條件方差，被稱作 誤差方差 （ error variance） Var(u|x) = E(u2|x)[E(u|x)]2 E(u|x) = 0, so ?2 = E(u2|x) = E(u2) = Var(u) ? 誤差方差的平方根 ?被稱作是 標(biāo)準(zhǔn)誤差 ? E(y|x)=b0 + b1x and Var(y|x) = ?2 例 工資方程中的異方差性 當(dāng) Var(y|x)值和 x 相關(guān)時(shí) ， 我們稱誤差項(xiàng)存在 異方差 。 定理 ?2的無偏估計(jì) ? 在假定 ，我們有 22?()E ?? ?Error Variance Estimate (cont) 誤差方差估計(jì)量 (繼續(xù) ) ? ? ? ?? ?2112 21? ???? ?se /ixx????bb????? ?回 歸 的 標(biāo) 準(zhǔn) 誤如 果 我 們 用 替 換 ， 那 么 我 們 可 得 到的 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 差 ，Summary 總結(jié) ? Unbiasedness of OLS (cont) OLS的無偏性 ? Sampling Variance of OLS (cont) OLS的抽樣方差 ? The definitions of standard deviation and standard error 標(biāo)準(zhǔn)方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義 ? Estimating the Error Variance 估計(jì)誤差方差 作業(yè) OLS的無偏性（證明） ? 為了思考無偏性，我們需要用總體的參數(shù)重新寫出估計(jì)量 ? 把公式簡單地改寫為 ? ?? ???????2221 w h e r e,?xxssyxxixxiibOLS的無偏性 (繼續(xù)） ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?010101i i i i ii i i i ii i i i ix x y x x x ux x x x x x x ux x x x x x x ubbbbbb? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?22111 21 1 120, a nd t hus?()?()i i i ix i iiixiixx x x x x x xs x x ux x usx x E uEsbbbb b b? ? ? ? ???????? ? ?? ? ????因 此 ， 分 子 可 被 重 寫 作OLS的無偏性 0110011011010)(])?[()?()?(???bbbbbbbbbbbbb???????????????uExEEuxxuxxy故而由于Theorem (Sampling Variances of the OLS Estimators) 定理 ( OLS 估計(jì)量的抽樣方差 ) ? 在假定 到 下 ， 我們有 (): ? and ? ?????? niix xxsV a r122221)(? ??b220 2?()()iixV a rx x n?b ????證明： ? ?? ?? ? ? ?21122222222 2 2 222222222l e t ? 111111iiiixi i i ixxiixxxxxd x xVar Var d usVar d u d Var ussddsssssbb??????????? ? ?????????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????????????0 0 1 11112122222222222? ?( ) ( ( ) )?( ( ) ) ( )?( ) ( )?( ) ( )()()()ixiiiVar Var x uVar x Var uVar x Var ux Var Var unx x xxs n n x xxx x nb b b bbbbb????? ? ? ?? ? ?????????? ? ? ?????????????證明： 證明：定理 ?2的無偏估計(jì) 0 1 0 1 0 10 0 1 10 0 1 1112 2 2 21111? ? ? ?? ()? ?( ) ( ) 1? ??0 ( ) ( ) ( 2)??( 1 ) ( 2) : ( ) ( ) ( )?? ( ) ( ) ( )?2( ) ( ) ( )i i i i i iiii i ii i iiiu y x x u xuxu u xu u u x xu u u x xu u x xb b b b b bb b b bb b b bbbbbbb? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??（ ）兩 邊 求 取 平 均 值 ：? ?22 2 2 2 22 2 2 21 1 1 122 2 21211 1 1 1112[ ( ) ] [ ] ( 1 )? ?[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ]?( ) ( ) ( )()? ?[ 2( ) ( ) ( ) ] [ 2( ) ( ) ]?()iiiiii niii i i i iiixiiE u u E u nu n n nnE x x x x Ex x Var x xxxE u u x x E u x xx x usu x x???b b b b?b?b b b bbb?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ????????????????2112 2 21 1 1 12 2 2 2?( ) ( )? ?[ 2( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] 2? ?( ) ( 2) , ( )ii i iixxE u x x x x EE u n Ebbb b b b ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????＝ 2即