【正文】 ( x ) 0 .1 .2 .3 x ?x? ?x? 考察 樣本均值的概率分布形式 。 ? 假定 ：零條件期望： 假定 E(u|x) = 0 . 那么在隨機樣本中我們有 E(ui|xi) = 0 ( | ) 0E u x ?Theorem (Unbiasedness of OLS) 定理 ( OLS的無偏性 ) ? 使用假定 ， 我們可以得到無論 b0,和 b1 取什么值 ， 它們的 OLS估計量的期望值等于它們各自的真值 。i ? 我們可以用殘差構(gòu)成誤差方差的估計 Estimating the Error Variance 估計誤差方差 ? 首先，我們注意到 ?2=E(u2), 所以 ?2的無偏估 計量是 ? ui 是不可觀測的，但我們找到一個 ui的無偏 估計量 ? ?ni iun 1 2)/1(? ? ? ?221? ? /22 iu S S R nn? ? ? ?? ?? 為什么除以 n2, 而不除以 n呢？這是因為在作 OLS估計時，我們使用了兩個限制條件，這兩個限制條件消耗了兩個殘差的自由度，換句話說，如果有 n2個殘差是隨機的，那么最后兩個殘差的值必定是確定的值，它們不能被視為隨機變量因而對方差不再有貢獻。 擁有這類性質(zhì)的估計量稱為 最佳線性無偏估計量 （ best liner unbiased estimator, BLUE） 。 x x1. 樣本統(tǒng)計量的概率分布， 是一種理論分布 – 在重復(fù)選取容量為 n的樣本時，由該統(tǒng)計量的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布 2. 隨機變量是 樣本統(tǒng)計量 – 樣本均值 , 樣本比例，樣本方差等 3. 結(jié)果來自 容量相同 的 所有 可能樣本 抽樣分布 (sampling distribution) 抽樣分布的形成過程 (sampling distribution) 總體 計算樣本統(tǒng)計量 如：樣本均值、比例、方差 樣本 樣本均值的抽樣分布 x 樣本均值的抽樣分布（ Sampling Distribution of ) 樣本均值的抽樣分布 【 例 】 設(shè)一個總體 ， 含有 4個元素 (個體 ) ， 即總體單位數(shù) N=4。 遞增的教育回報：當(dāng)受教育程度提高時，工資的變化量也隨之增加。 – : b1 的估計值反應(yīng)了 ROE若增加一個百分點工資將平均增加 18500美元。 記樣本回歸線的函數(shù)形式為： iii XXfY 10 ??)(? bb ???稱為 樣本回歸函數(shù) （ sample regression function， SRF） 。 Zero Conditional Mean Assumption 條件期望零值假定 簡單回歸模型： y = b0 + b1x + u ? E(u|x) = E(u) = 0. () ? ()說明總體回歸函數(shù)應(yīng)滿足 E(y|x) = b0 + b1x. ? E(y|x)是 x的線性函數(shù)， y的分布以它為中心。 簡單回歸模型： y = b0 + b1x + u 等式只有一個非常數(shù)解釋變量 。 b1 :衡量了在其他條件不變的情況下，多接受一年教育，工資可以增加多少 . A Simple Assumption 關(guān)于 u的假定 ? 我們假定總體中誤差項 u的平均值為零 .： E(u) = 0 () ? 思考：該假定是否具有很大的限制性（ restrictive）呢 ? A Simple Assumption 關(guān)于 u的假定 ? If for example, E(u)=5. Then y = (b0 +5)+ b1x + (u5), therefore, E(u’)=E(u5)=0. ? 上述推導(dǎo)說明我們總可以通過調(diào)整 常數(shù)項 來實現(xiàn)誤差項的均值為零 , 因此該假定的限制性不大 . Zero Conditional Mean Assumption 條件期望零值假定（ ※ ） y = b0 + b1x + u 我們需要對 u和 x之間的關(guān)系做一個關(guān)鍵假定。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機性影響 。 . . . . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 } } { { u1 u2 u3 u4 x y Population regression line, sample data points and the associated error terms 總體回歸線，樣本觀察點和相應(yīng)誤差 E(y|x) = b0 + b1x Deriving OLS Estimates 普通最小二乘法的推導(dǎo) ? 假定： E(u|x) = E(u) = 0 可以得到： ? Cov(x,u) = E(xu) = 0 since u = y – b0 – b1x， 所以有： E(y – b0 – b1x) = 0 E[x(y – b0 – b1x)] = 0 These are called moment （矩） restrictions Deriving OLS using . 使用矩方法推導(dǎo)普通最小二乘法 矩方法是將總體的矩限制應(yīng)用于樣本中。意 味 著 薪 水 變 異 中 還 有 ％ 懸 而 未 決 。 假如有 1500人參加了公司培訓(xùn) ， 得到了如下的結(jié)果： 總體均值 （ population mean）： ? =51800 總體標(biāo)準(zhǔn)差 （ Population standard deviation）： ? =400 參加公司培訓(xùn)計劃的 比例 為： P =1500/2500= 參數(shù)是總體的數(shù)值特征 A parameter is a numerical characteristic of a population 一、點估計 假如隨機抽取了一個容量為 30的樣本： ? Annual Salary Management Training Program? ? Yes ? Yes ? Yes ? … … 根據(jù)該樣本求得的 年薪樣本 平均數(shù) 、 標(biāo)準(zhǔn)差 及 參加過培訓(xùn)計劃人數(shù)的 比例 分別為： ? ??? 1 8 1 430/1 5 5 4 4 2 0/ nxx i)1/()( 2 ????? ? nxxs i??p（一）點估計 上述估計總體參數(shù)的過程被稱為 點估計 （ point estimation）； 由于 點估計量 是由樣本測算的，因此也稱為 樣本統(tǒng)計量。 因此 統(tǒng)計上常稱容量在 30（含 30）以上的樣本為 大樣本 （ largesamplesize)。 Sampling Variance of the OLS Estimators OLS估計量的抽樣方差 ? 我們知道估計量的隨機抽樣分布以真值為中心，現(xiàn)在想知道的是這個分布散開的程度 ? 了解這一點 (分布的分散程度 )，將對我們?nèi)绾文軌蛟谒械墓烙嬃恐?，是?有效 具有一定的指導(dǎo)意義。 ? 在工資方程中： wage= b0 + b1educ+ u ? 如果我們假設(shè)工資一式滿足同方差， Var(u|educ)=Var(wage|educ)= ?2 那么就意味著不管 educ值為何水平 ， 工資的分布相對于教育水平而言都是相同的 。 但要估計總體的某一指標(biāo)，并非只能用一個樣本指標(biāo)，而可能有多個指標(biāo)可供選擇，即對同一總體參數(shù)，可能會有不同的估計量。 ? 如果樣本已經(jīng)得到 ， 把數(shù)據(jù)帶入之后 ， 估計量就有了一個數(shù)值 ， 稱為該估計量的一個 實現(xiàn) (realization)， 也稱為一個 估計值(estimate)。 9631 91 1850 1salary roe??Units of Measurement 測量單位 ? 如果定義 roedec = roe/100，那么新的回歸線變?yōu)椋? 一般而言，如果自變量 除以或乘上 某個非零常數(shù) c，那么 OLS斜率將 乘以或除以 c，而截距則不改變。 The sample versions are as follows: ? ?? ? 0??0??11011101????????????niiiiniiixyxnxynbbbbDerivation of OLS 普通最小二乘法的推導(dǎo) 根據(jù)樣本均值的定義以及加總的性質(zhì)，可將第一個條件寫為 xyxy1010??or,??bbbb????Derivation of OLS 普通最小二乘法的推導(dǎo) ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??????????????????????niiiniiniiiniiiniiiixxyyxxxxxyyxxxyyx1211111111??0??bbbb第二個條件： So the OLS estimated slope is 因此 OLS估計出的斜率為 ? ? ? ?? ?? ?112211p rov i d ed t h 0?at niiinniiiix x y yxxxxb????????????思考：條件說明什么？ 斜率估計量等于樣本中 x 和 y 的協(xié)方差除以 x的方差。 （ 1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出 E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（ systematic） 或 確定性 （ deterministic)部分 。換句話說，我們需要 u和 x相互獨立。 其用意 ： 在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計和（或）預(yù)測前者的（總體）均值 。 ? E（ Y|x=16）：是總體中所有受了 16年教育的工人的平均小時工資。 核樣本的 散點圖 （ scatter diagram)： 樣本散點圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。 ? 在 Eviews中進行回歸非常簡單， 例 工資和受教育程度 ? 526個樣本的 OLS估計結(jié)果： 0. 93 0. 54w ag e e du c? ? ?例 投票結(jié)果和競選支出 ? 1988年美國眾議院 173次兩黨競選的選舉結(jié)果： ? voteA為候選人 A所得票數(shù)的百分比； ? shareA為候選人 A在競選支出中所占百分比 1 4v ote A share A?? obsno salar y roe salar y hat uhat 1 1095 1224 129 2 1001 1 165 164 3 1 122 1398 276 4 578 1072 494 5 1368 1219 149 6 1 145 20 1333 188 7 1078 1267 189 8 1094 1265 171 9 1237 1 157 80