【正文】 注意：在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中增大 xi的變動(dòng)有時(shí)是可能的 ，但在社會(huì)科學(xué)中我們很少可以人為地增加 xi的變動(dòng) 。 思考：估計(jì)所得方程說明參加免費(fèi)午餐的學(xué)生的比例越多，他們的成績(jī)?cè)讲睢? （ 4） 漸近無偏性 ， 即樣本容量趨于無窮大時(shí) ， 是否它的均值序列趨于總體真值； （ 5） 一致性 ， 即樣本容量趨于無窮大時(shí) ， 它是否依概率收斂于總體的真值； （ 6） 漸近有效性 ， 即樣本容量趨于無窮大時(shí) ， 是否它在所有的一致估計(jì)量中具有最小的漸近方差 。 樣本均值的抽樣分布 ? = 50 ? =10 X 總體分布 n = 4 抽樣分布 x n =16 5?x?50?x??x?當(dāng)總體服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)時(shí) ， 來自該總體的所有容量為 n的樣本的均值 ?x也服從正態(tài)分布 ， ?x 的數(shù)學(xué)期望為 μ， 方差為 σ2/n。 下表是一個(gè)假設(shè)的經(jīng)過 500次抽樣后的情況表。 第一節(jié) 抽樣 隨機(jī)樣本 第二節(jié) 點(diǎn)估計(jì)與抽樣分布 例 某大公司人事部經(jīng)理整理其 2500個(gè)中層干部的檔案。合理性？ ? 假定每增加一年的教育，工資增長的百分比都是相同的。 被看作是 y的樣本變動(dòng)中被可以被 x解釋的部分 判定系數(shù) 的 取值范圍 ： [0， 1] R2越接近 1，說明實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高 。 ? 在 Eviews中進(jìn)行回歸非常簡(jiǎn)單， 例 工資和受教育程度 ? 526個(gè)樣本的 OLS估計(jì)結(jié)果： 0. 93 0. 54w ag e e du c? ? ?例 投票結(jié)果和競(jìng)選支出 ? 1988年美國眾議院 173次兩黨競(jìng)選的選舉結(jié)果： ? voteA為候選人 A所得票數(shù)的百分比； ? shareA為候選人 A在競(jìng)選支出中所占百分比 1 4v ote A share A?? obsno salar y roe salar y hat uhat 1 1095 1224 129 2 1001 1 165 164 3 1 122 1398 276 4 578 1072 494 5 1368 1219 149 6 1 145 20 1333 188 7 1078 1267 189 8 1094 1265 171 9 1237 1 157 80 10 833 1450 617 11 567 1442 875 12 933 1459 526 13 1339 1237 102 14 937 1375 439 15 201 1 2022 6 : CEO Salary and Return on Equity 例：首席執(zhí)行官的薪水和 資本權(quán)益報(bào)酬率 Example: CEO Salary and Return on Equity 例： CEO的薪水和 資本權(quán)益報(bào)酬率 ? 變量 salary衡量了以 1000美元為單位的年薪，其最小值，均值和最大值分別如下： (min, mean, max)=(223, 1281, 14822). ? Roe＝凈收入 /所有者權(quán)益，為三年平均值。 我們用 {(xi,yi): i=1, … ,n} 來表示一個(gè)隨機(jī)樣本，并假定每一觀測(cè)值滿足 yi = b0 + b1xi + ui。 核樣本的 散點(diǎn)圖 （ scatter diagram)： 樣本散點(diǎn)圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地?cái)M合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。 0 500 1000 1500 2022 2500 3000 3500 500 1000 1500 2022 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入 X（元） 每 月 消 費(fèi) 支 出 Y （元） ? 概念： 在給定解釋變量 Xi條件下被解釋變量 Yi的期望軌跡稱為 總體回歸線 （ population regression line），或更一般地稱為 總體回歸曲線 （ population regression curve）。 ? E（ Y|x=16）：是總體中所有受了 16年教育的工人的平均小時(shí)工資。 產(chǎn)生并設(shè)計(jì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要原因： 1）理論的含糊性； 2）數(shù)據(jù)的欠缺； 3）節(jié)省原則。 其用意 ： 在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計(jì)和（或）預(yù)測(cè)前者的（總體）均值 。 b1代表了解釋變量 x的邊際效果，也被成為斜率參數(shù)（ slope parameter ）。換句話說，我們需要 u和 x相互獨(dú)立。 表 2 . 1 . 1 某社區(qū)家庭每月收入 與消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)表 每月家庭可支配收入 X （ 元 ） 800 1 1 0 0 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1 1 0 0 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1 1 4 4 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1 1 5 5 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 28 60 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1 1 2 2 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1 1 5 5 1331 1562 1749 2022 2299 2640 1 1 8 8 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 187 0 2 1 1 2 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 費(fèi) 支 出 Y （元） 2022 共計(jì) 2420 4950 1 1 4 9 5 1 6 4 4 5 1 9 3 0 5 2 3 8 7 0 2 5 0 2 5 2 1 4 5 0 2 1 2 8 5 1 5 5 1 0 （ 1）由于不確定因素的影響，對(duì)同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支出不完全相同； （ 2）但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平 X的消費(fèi)支出 Y的分布是確定的，即以 X的給定值為條件的 Y的 條件分布 （ Conditional distribution）是已知的， 如： P(Y=561|X=800） =1/4。 （ 1）該收入水平下所有家庭的平均消費(fèi)支出 E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（ systematic） 或 確定性 （ deterministic)部分 。 ▼ 回歸分析的主要目的 ：根據(jù)樣本回歸函數(shù) SRF， 估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。 The sample versions are as follows: ? ?? ? 0??0??11011101????????????niiiiniiixyxnxynbbbbDerivation of OLS 普通最小二乘法的推導(dǎo) 根據(jù)樣本均值的定義以及加總的性質(zhì)，可將第一個(gè)條件寫為 xyxy1010??or,??bbbb????Derivation of OLS 普通最小二乘法的推導(dǎo) ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??????????????????????niiiniiniiiniiiniiiixxyyxxxxxyyxxxyyx1211111111??0??bbbb第二個(gè)條件： So the OLS estimated slope is 因此 OLS估計(jì)出的斜率為 ? ? ? ?? ?? ?112211p rov i d ed t h 0?at niiinniiiix x y yxxxxb????????????思考：條件說明什么？ 斜率估計(jì)量等于樣本中 x 和 y 的協(xié)方差除以 x的方差。將總平方和除以 n1,我們得到 y的樣本方差。 9631 91 1850 1salary roe??Units of Measurement 測(cè)量單位 ? 如果定義 roedec = roe/100，那么新的回歸線變?yōu)椋? 一般而言，如果自變量 除以或乘上 某個(gè)非零常數(shù) c，那么 OLS斜率將 乘以或除以 c，而截距則不改變。 120個(gè) 樣本 測(cè)試 平均里程： 36,500公里 推斷 新輪胎 平均壽命 : 36,500公里 400個(gè) 樣本 支持人數(shù)： 160 推斷 支持該候選人的選民 占全部選民的比例： 160/400=40% 例 2： 某黨派想支持某一候選人參選美國某州議員，為了決定是否支持該候選人，該黨派領(lǐng)導(dǎo)需要估計(jì) 支持該候選人的民眾占全部登記投票人總數(shù)的比例 。 ? 如果樣本已經(jīng)得到 ， 把數(shù)據(jù)帶入之后 ， 估計(jì)量就有了一個(gè)數(shù)值 ， 稱為該估計(jì)量的一個(gè) 實(shí)現(xiàn) (realization)， 也稱為一個(gè) 估計(jì)值(estimate)。 所有樣本的結(jié)果為 3,3 3,2 3,1 3 2,4 2,3 2,2 2,1 2 4,4 4,3 4,2 4,1 4 1,4 4 1,3 3 2 1 1,2 1,1 1 第二個(gè)觀察值 第一個(gè) 觀察值 所有可能的 n = 2 的樣本（共 16個(gè)） 3,4 樣本均值的抽樣分布 ? 計(jì)算出各樣本的均值 ， 如下表 。 但要估計(jì)總體的某一指標(biāo)，并非只能用一個(gè)樣本指標(biāo)，而可能有多個(gè)指標(biāo)可供選擇，即對(duì)同一總體參數(shù)，可能會(huì)有不同的估計(jì)量。 Assumption (Linear in Parameters): 假定 （關(guān)于參數(shù)是線性的） ? 在總體模型中，因變量 y 和自變量 x 和誤差 u 的關(guān)系可寫作 y = b0 + b1x + u , 其中 b0 和 b1 分別是總體的截距參數(shù)和斜率參數(shù) Assumption (Random Sampling): 假定 (隨機(jī)抽樣 ): ? 假定我們從總體模型隨機(jī)抽取容量為 n的樣本 , {(xi, yi): i=1, 2, …, n}, 那么可以寫出樣本模型為 yi = b0 + b1xi + ui Assumptions and 假定 和 ? 假定 ：解釋變量的樣本有變異 在樣本中 ， 自變量 x 并不等于一個(gè)不變常數(shù) 。 ? 在工資方程中： wage= b0 + b1educ+ u ? 如果我們假設(shè)工資一式滿足同方差， Var(u|educ)=Var(wage|educ)= ?2 那么就意味著不管 educ值為何水平 ， 工資的分布相對(duì)于教育水平而言都是相同的 。將這一點(diǎn)體現(xiàn)在分母上就需要除以 n2, 而不除以 n。 Sampling