[理學(xué)]3_5初等矩陣(存儲(chǔ)版)
【正文】 ()(03 ?k，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以)([)( ijjikccjiEkkrrijEk??( , ( ) )1111nkE i j k?????????????????????行第 i?(第三種初等陣 ) j? 第 行定理 1 (初等變換和初等矩陣的關(guān)系 ) 設(shè) 是一個(gè) 矩陣 ,對 施行一次 初等行變換 ,相當(dāng)于在矩陣 的 左邊乘 以相應(yīng)的 階矩陣 。ji rr ?逆變換 。對 施行一次 初等列變換 ,相當(dāng)于在矩陣 的 右邊乘 以相應(yīng)的 階初等矩陣 ,即 A mn? AA m AA n( , )ijrrm n m m nA E i j A???????( , )ijccm n m n nA A E i j???????? ?()ikrm n m m nA E i k A???? ?()ikcm n m n nA A E i k???? ?, ( )ijr k rm n m m nA E i j k A?????? ?, ( )jic k cm n m n nA A E i j k???????(左邊乘 ) 右邊乘 ??????????例如 令 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3a a aAa a a???????( , )1 1 1 2 1 32 2 32 1 2 2 2 32 1 2 2 2 31 1 1 2 1 3011210a a aEAa a aa a aa a a?????? ?????? ????? ????其結(jié)果相當(dāng)于矩陣 進(jìn)行一次第一種初等行變換 交換矩陣的第 兩行 A,ij證明 (2) 例如 令 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3a a aAa a a???????( ( ) )2 2 31 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 32100E k Aa a a a a aa a a k a k a k ak?? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ? ?相當(dāng)于對 進(jìn)行一次第二種初等行變換 (將第 2行乘以 K) A證明 3 例如 令 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3a a aAa a a???????( , ( ) )1 1 1 2 1 32 2 32 1 2 2 2 31 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 32 1 2 2 2 311201a a akE k Aa a aa k a a k a a k aa a a?????? ?????? ??? ? ?? ????相當(dāng)于對矩陣 進(jìn)行一次第三種初等行變換 ,即將第 2行乘以 K加到第 1行 A，右乘矩陣階初等矩陣以類似地，AjiEn n ),(( , )1 1 1 1 12 1 2 2 21m n nj i nj i nm m j m i m nA E i ja a a aa a a aa a a a??????????).( ji ccjiAA?列對調(diào)列與第的第把：施行第一種初等列變換相當(dāng)于對矩陣( ( ) )11 1 1 121 2 2 21m n ni
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