64非線性方程組的數(shù)值解法(存儲(chǔ)版)
【正文】 上討論了迭代法在 的收斂性 ， 下面討論局部收斂性 。 * ?? x1))(39。用點(diǎn) 處的一階 Taylaor展開式近似每一個(gè)分量函數(shù)值 ，有 *x)(kx)(kx0)( * ?xfi????????njkjjjkikii nixxxxfxfxf1)(*)()(* ,2,1),()()()( ?其中 為 的 Jacobi矩陣 在的 值 ， 而 寫成向量形式有 ))((39。()( 1 xFxFxx ????() 第六章非線性方程組的迭代解法 在 Newton法實(shí)際計(jì)算過程中 ， 第 k步是先解線性方程組 解出 后，再令 ，其中包括了計(jì)算向量 和矩陣 )()(39。 xF )(39。 這時(shí)可采用 “ 阻尼 Newton法 ” ， 即把 （ ） 改成 )(39。[ )()()( ????? kxFxIxF kkkk ?第六章非線性方程組的迭代解法 ???????? ??? 22 22)(39。但可以看出 N e w t o n初值關(guān)重要。???? ?? kxFAxx kkkk迭代公式是法的代替我們用較簡單的矩陣 ),(39。 若 是 單 個(gè) 方 程 ， 割 線 中 可 用 差 商于是取具有性質(zhì)? ? 是向量，代替。 ??? kkkk xxxFN e w t o nA一個(gè)可行的途徑是令，需要附加其他條件。向量由即 ,kkkkk svvvu ?，)(1 kkkkTk sAysvuk??第六章非線性方程組的迭代解法 。kTkkkkkkTkkTkkkk BssyByBsBvuAB )(1)( 11 ???????）有那么利用（如果 ,0?kkTk yBs有）中，令在（ , 1?? kk AB。????????????124212)(39。次，但每步計(jì)算量卻要少迭代方法果，比逆便可得到同樣精度的結(jié)迭代到4)7( B r oy de nx。逆 B r o y d e n 。第六章非線性方程組的迭代解法 ）（。記nTkkTkkk RvuvuAAk ???? ,1 其中總可以表示為的矩陣秩為，則由此可解出若 0?kTk sv有代入和述 kkk Auv ?。??????? mAr a n kAAA kkkk已知和。有的實(shí)際問題可以憑求解的足夠小的鄰域內(nèi) 非線性方程組的 Newton法 第六章非線性方程組的迭代解法 )()()()( )()1()()1(1 kkkkk xFxFxxA ??? ???11 39。計(jì)算結(jié)果收斂到 **)5( ,)3 9 1 1 7 6 3 1 ,5 4 6 3 4 2 8 8 (, xx T??。因?yàn)榇卫}的維數(shù)太收斂，但收斂是線形的 N e w t o n第六章非線性方程組的迭代解法 作用，反而使迭代法不僅沒有顯示出它的從而阻尼 Ne w t on法是線形收斂的。 k? Ik? )(kx?)()()1( kkk xxx ????k?例 6． 14 用 Newton法和阻尼 Newton法求解方程 ， 其中 0)( ?xF???????????????2102310)(2122122121xxxxxxxxF解：易知該方程有一個(gè)解是 。 ** ?? ?)(kx *x 雖然 Newton法具有二階局部收斂性 ， 但它要求 非奇異 。 )0(x? Txxx ),()0()0()1( ????? ,)2( ?x表 610 kx2kx1 k 0 1 2 3 4 0 0 關(guān)于 Newton法的收斂性 ， 有下面的局部收斂性定理 第六章非線性方程組的迭代解法 定理 設(shè) ， 滿足 。( 1)()1( ???? ?? kxFxFxx kk （ ) )0(x )( )(1 kk xx ???其中 是給定的初值向量 。 * ?? x*x第六章非線性方程組的迭代解法 對(duì)于非線性方程組 ， 也可以構(gòu)造類似于一元方程的 Newton迭代法 。 與單個(gè)方程的情形類似 ， 有時(shí)可以用關(guān)于導(dǎo)數(shù)的條件代替壓縮條件來判別收斂性 0lim *)( ???? xx kk *)(lim xx kk ???*x?定理 設(shè) ， 在 D內(nèi)有一不動(dòng)點(diǎn) ， 且 在 處可導(dǎo) ， 且譜半徑 ， 則迭代法 （ ） 在點(diǎn) 處局部收斂 ， 其中 ， 函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 Jacobi矩陣 （ 見 *式 ） 利用譜半徑與范數(shù)的關(guān)系 ， 我們可用
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