【正文】 (1)級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件 , 不能因為一般項趨于零就斷定級數(shù)收斂 ?? (2)如果一般項 不趨于 零 , 則級數(shù)必發(fā)散 ?? 因此此性質(zhì)常用于判斷級數(shù)發(fā)散 ??證 設(shè)級數(shù) ??? 1nnu 的部分和為 s n ,? 且 ss nn ???l i m ,? 則 0l i ml i m)(l i ml i m 110 ??????? ????????? ssssssu nnnnnnnnn ?? 0limlim)(limlim 110 ?????? ????????? ssssssu nnnnnnnnn ?? 下頁1 1 2 1nnS u u u??? ? ? ?? ?1l im l imn n nnnu S S ?? ? ? ???若級數(shù) ????1nnu 收斂 , 則必有 . 0l i m ???? nn u定理 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 由于 1 limlim???????? nnunnn故該級數(shù)發(fā)散 . ,0lim ???? nn u解 : 例 5 . 1 1的斂散性判別級數(shù) ???? ?n nn級數(shù)收斂的必要條件 : 若級數(shù) ????1nnu 收斂 , 則必有 . 0l i m ???? nn u,1111 lim ??????nn上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 是必要不充分條件 : 若 0l i m ??? nnu , 級數(shù) 卻 不一定收斂 , 如 ????1)11l n(n n. 再舉一例： 調(diào)和級數(shù) ?????????11312111n nn?? , 01lim ??? nn , ?級數(shù)收斂的必要條件 若級數(shù) ????1nnu 收斂 , 則必有 . 0l i m ???? nn u定理 但級數(shù)是否收斂 ? 例 4. 例 4 ? 證明調(diào)和級數(shù) ??? 11n n是發(fā)散的 ?? 1 2 3 4 5 6 7123這是因為 11 1 1 1 11234nnkS kn?? ? ? ? ? ? ?????????? ?????? nnn Sn l i m,)1l n (l i m?y=1/x 發(fā)散。 214121211?? ?????????nnn。 1 nn u???收斂時 , 級數(shù) ?第二比較判別法 簡要說明 (2)： ，因為 0lim ???nnn vu ,很大時則當(dāng) n,10 ??nnvu ,?? ?nn vu因此,nn vu ?即得證 . 定理 8 (第一比較判別法的極限形式 ) 11nnnnuv??????及 lim ,nnnu lv?? ?若兩個正項級數(shù) 滿足 : (1)當(dāng) 0l+∞時 , 級數(shù) 11nnnnuv??????和 同時斂散 。故 ???? ?11nn nn (2) 利用比較法 （極限形式） 直接判斂題型 : 抓主要 項 ?上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 15 判定級數(shù) 的斂散性 : 311n nn?? ???? (1)解 因331l i m 1 ,1nnnn??? ?由比較判別法的極限形式知 收斂 . 311n nn?? ??33333311l i m l i m l i m1n n nnnnn n n nn n? ? ? ? ? ?? ????32311li m li m 1 ,11nnnnnn? ? ? ?? ? ?? ?則級數(shù) ??? 1nnu 和級數(shù) ??? 1nnv 同時收斂或同時發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項級數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 抓主要 項 ?抓大頭 綜上所述 ,? p ? 級數(shù) pn n11???當(dāng) p 1 時收斂 ,? 當(dāng) p ? 1 時發(fā)散 ?? 而 ??? 21n n發(fā)散 , 所以原級數(shù)發(fā)散 . 發(fā)散 . 收斂 . 例 5 ??? ?2 11n n，1111l i m ???? nnn例 6 ??? ??22 11n nn，1111lim2 ????? nnnn例 7 ????????? ?2211lnn n，1111lnlim 22 ??????? ??? nnn (3) 帶有參數(shù)的正項級數(shù)的討論判斂題型 : 斂散性常數(shù)討論例 ),0()3( 1.121??? ??????????nnn nnu?? ???????1211nnn nv ?解：取??221)3(1limlimnnnvunnnn?????????0)31()3(l i m 22?????????nnnn同時斂散，與故 ???????? ? 12121)3(1nn nnn??收斂，時，當(dāng)?shù)?)12(121)(12 ?? ?????? ?n ni發(fā)散，時，當(dāng) )120(1210)(12 ???? ?????? ?n nii???????12 21)3(1n nn時收斂，當(dāng) ?? 時發(fā)散當(dāng) 210 ?? ?上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 9 判定下列級數(shù)的斂散性 11( 1 ) s in 。?????1nnu發(fā)散???? 11n n?第二比較判別法 則級數(shù) ??? 1nnu 和級數(shù) ??? 1nnv 同時收斂或同時發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項級數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? ???? ?1 )!1(.n nn例)!1()!2(1l i ml i m 1???????????nnnnuunnnn?10)2( 1l i m ???????? nnnn收斂。由比值法， ?????1!2nnnnn 8. 正項級數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實例 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 必要條件 lim 0nn u?? ?不滿足 滿足 比值判別法 lim??n1nu?nu??根值判別法 limn nn u ??? ?1??收斂 1?? 不能 用它 1??比較判別法 級數(shù)發(fā)散 判別 內(nèi)容小結(jié)： 正項級數(shù) 的審斂法 1nnu????lim nnnu lv?? ?un ?vn 1nnu????洛必達法則： ? ?? ?limfxgx00復(fù)雜的 型 , 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 作業(yè) P138 8. 13. (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 6. 10. 11. 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第五十二講 任意項級數(shù)的審斂法 腳本編寫： 教案制作： 上頁 下頁 結(jié)束 返回 首頁 鈴 一、交錯級數(shù)及其審斂法 二、絕對收斂與條件收斂 167。0l i m1????????? nnnn uu 收斂證：,212l i m12l i m ???????????nnnnnn uuuu收斂收斂 ???????? ???11 12n nnnn uuu23l im l im 3 0 ,n nnn nu uu? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? 收斂收斂 ??????????1213nnnn uu?第二比較判別法 則級數(shù) ??? 1nnu 和級數(shù) ??? 1nnv 同時收斂或同時發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項級數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? (4) 證明正項級數(shù)收斂或發(fā)散的題型 . 發(fā)散。 0?l ???1nnv ???1nnu, 設(shè) ? ? ? 1 n n u 與 ? ? ? 1 n n v 都是正項級數(shù) 如果 ,lim lvunnn???上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 注 7 使用第一和第二比較判別法 ,需記住一些已知其收斂性的級數(shù) , 而且建立不等式關(guān)系也比較繁 . 而事實上 ,一個正項級數(shù)的收斂性有其自身內(nèi)在的本質(zhì) , 可以利用級數(shù)自身的特點 ,來判定級數(shù)的收斂性 . 3211???????????????nnn uuuuu ,? ?第二比較判別法 則級數(shù) ??? 1nnu 和級數(shù) ??? 1nnv 同時收斂或同時發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項級數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 除了幾何級數(shù)外 ,數(shù)學(xué)中不存在任何一種它的和已被 嚴格確定的無窮級數(shù) . 阿貝爾 (Abel,Niels Henrik,18021829) 11 ,nnnnu aq qu aq????當(dāng)公比 | q | 1 時 , 等比級數(shù)收斂； 當(dāng)公比 | q| ? 1 時 , 等比級數(shù)發(fā)散 . qaqqaqaqaaqaqaqas nnnn ??????????????? ?111 12 ? ? ?1 .1naqq?? ?.1 aS q? ?(1) ρ 1時 , 級數(shù)收斂； (2) ρ 1 ( 包括 ρ = ?? ) 時 , 級數(shù)發(fā)散； (3) ρ= 1 時 , 不能由此斷定級數(shù)的斂散性 . 利用級數(shù)本身來進行判別 . ,11發(fā)散級數(shù) ???n n,112 收斂級數(shù) ???n n( 1)?? ???設(shè) ??? 1nnu 是正項級數(shù) , 若 ????? nnn uu 1lim , 則 比值判別法 (達朗貝爾判別法 )： ,很大時當(dāng) n,1 ???nnuu!1)!1(11nnuunn????11?? n ,10 ??? ?? ??n例 11 ???1 ! 1n n收斂 . 解 : )!1(!??nn??? 1223c o snnnn?解 ,22 3c o s 2nnnnnnu ??? ,2 nnnv ?令nnnnvv nnnnnnnnn221lim221limlim111 ?????????????????nnn 21lim ?????,121 ??,21收斂????nn