江西財經(jīng)大學(xué)20xx-20xx期末考試課件線性代數(shù)4(存儲版)
【正文】 、轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì) ?（反）對稱矩陣的等價定義 為對稱矩陣則若 AA ，A T ?為反對稱矩陣則若 AA ，A T ???例 8： ?證明：對任意矩陣 A， AAT為對稱陣 ?證明： TT )AA( ?為對稱陣TAA?TAA?TTT A)A(?? 由方陣 A的元素（不改變排列方式）構(gòu)成的行列式，記作 AAA T ?)1(性質(zhì)AKKA n?)2(nnnn BABA ??)3(?可推廣列有限項 ?注意： BABA ???)1(AKKA ?)2(五、方陣的行列式 ?例 9：已知 A為 5階方陣， K為常數(shù) TK A AaA求?TK A A解 T5 AAK?25 aK??例 10：設(shè) A， B是對稱矩陣，證明 AB是對稱矩陣的充要條件為 :AB=BA ?證明： “ 必要性” 是對稱矩陣AB?BAAB)AB(ABBBAA TTTTT ????? 有?))(( BAABABAB T ???由)AB)AB(BAAB( T ???由充分性ABBAAB)AB( TTT ????例 11：設(shè) A、 B、 均為 n階方陣，且 )(21 IBA ??IIB 2 ?證明： 的充要條件是 : AA ?2 證明：“必要性” )( 22 IBAA ???由)2(41)(21)(21 22 IBBIBIBA ???????)(21)2(41 22 IBAIBBAA ?????? 有若IBIBIBB ????? 22 222即)(”“ 22 AAIB ???由充分性)(21 IBA ???)2(41 22 IBBA ???)(21)22(4122 IBIBAIB ????? 有若AA ?? 2?例 12：若 A為 n階方陣，且 IAA T ??證明： 11 或??A?證明：對于 n階方陣 ,對 IAA T ?兩邊取行列式 IAA T ? 1?TAA12?? A 1??AAA T ???例 13： f(x)＝ a0x2+a1x+a2， A為 n階矩陣，定義 f(A)=a0A2+a1A+a2In。 我們不能由 AB=0 推出 A=0 或 B=0 ?例 6： ?????????6432A????????????21521B???????? ???66711C CB ?且? 求 AB、 AC ?解： ????????????????????215216432AB???????????????????????????????????????????)2(654)1(6214)2(352)1(3212???????????8844???????? ???????????667116432AC?????????????????????????66)7(466)11(463)7(263)11(2???????????8844?????????????8844ACAB?注意 :矩陣乘法一般不滿足消去律 ?上面的例 6 ?AB=AC 且 OA ??不一定能推出 B=C ?這與普通代數(shù)方程 ”“ CBO ，AACAB ??? 可得當不同 !! ? ：若 A為方陣 ,K為正整數(shù) ,則 ? ? KLLkKK AAAAAA ??? 且個? ?? ?? ?IAAAA oLKLK ??? ??注意 :(1) ? 稱 A為冪零矩陣 OAOA K ????例如： ???????????1111A222000011111111???????????????????????????????AOA ?但為冪零矩陣稱 ??????????1111?（ 2）若 A2=A，則 A為冪等矩陣 ?例如 ?????????1001A?????????1001為冪等矩陣?????????1001?????????????????10011001A 2??（ 3）若 ， 則 A為么冪矩陣 ?例如 ?????????1001A?????????????????????????100110011001A 3?為么冪矩陣?????????1001IA K ?I1001???????????例如： ??????????1001AI1001??????????為么冪矩陣??????????1001???
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