【正文】 jx ，整個(gè)積分值為 1，所以又可得到譜匹配的局部性質(zhì)，也就是說(shuō) ? ??jAReP 是 ? ??jxeP 的包絡(luò)的一個(gè)好的近似。同 Burg 算法一樣，改進(jìn)協(xié)方差算法進(jìn)行功率譜估計(jì)時(shí)令前后向預(yù)測(cè)誤差功率之和最小，即對(duì) ??neb 、 ??nef 前后都不加窗，但得到的協(xié)方差矩陣不是 Toeplitz 矩陣，因此正則方程不能用 Levinson 遞推算法求解。模型參數(shù)算法就是基于 上述最小均方誤差時(shí)由模型參數(shù)估計(jì)信號(hào)功率的方法，主要有以下幾種經(jīng)典算法： 30 ? ? ? ? ? ?knxkanx pk f ???? ??1 ? ? ? ? ? ?fe n x n x n??? ? ?? ?2neEp ff ? ? ? ? ? ? ?knxkanx pk b ??? ??? 1 ? ? ? ? ? ?pnpnxne xb ???? ? ? ?? ?2neEp fbb ? 自相關(guān)法 (BT 法 )。 AR 模型又稱為自回歸模型，它是一個(gè)全極點(diǎn)模型，其當(dāng)前輸出是現(xiàn)在輸入和過(guò)去輸入的加權(quán)和，表示如下 (其中 ??un為白噪聲序列； p 為 AR 模型的階數(shù) ): ? ? ? ? ? ?nuknxanX pk k ???? ??1 (41) ? ? ? ?kpk kzazAzH??????11112 (42) 由隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)理論知輸出序列的功率譜 ? ? 2121 ????? pkkjkjxeaep?? ? (43) 其中 2? 為白噪聲序列的方差，因此進(jìn)行功率譜估計(jì)，必需求得 AR 模型的參數(shù) ka (k=l， 2? p)及 2? 。輸出序列 ??xn可以是平穩(wěn)的隨機(jī)序列，也可以是確定性的時(shí)間序列。方差性能差的原因是無(wú)法實(shí)現(xiàn)功率譜密度原始定義中的求均值和求極限的運(yùn)算。 歸結(jié)起來(lái)，自相關(guān)法和周期圖法的主要優(yōu)點(diǎn)是； （ 1） 計(jì)算量小 ： （ 2） 功率譜估計(jì)值正比于正弦波信號(hào)的功率。 k=index*Fs/nfft。 %產(chǎn)生含有噪聲的序列 xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 3 5 3 0 2 5 2 0 1 5 1 050 圖 34 加矩形窗仿真圖 23 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 3 5 3 0 2 5 2 0 1 5 1 050 圖 35 加漢明窗仿真圖 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 3 5 3 0 2 5 2 0 1 5 1 05 圖 36 加 blackman 窗仿真圖 24 從圖中可以看出，采用周期圖法估計(jì)得到的功率譜很不平滑，相應(yīng)的估計(jì)協(xié)方差比較大，而且采用增加采樣點(diǎn)的辦法也不能使周期圖變得更加平滑，這是周期圖法的缺點(diǎn)。 22 plot_Pxx=10*log10(Pxx)。%矩形窗 window1=hamming(100)。 figure(2) 20 plot(k,[plot_Pxx plot_Pxxplot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc])。 %數(shù)據(jù)無(wú)重疊 p=。 19 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0010 圖 31 周期圖法仿真圖 以下是利用 matlab 對(duì)平均周期圖法進(jìn)行仿真，并得到仿真圖（ 32）和（ 33）。程序如下： clear。因?yàn)檫@兩個(gè)目的不可能同時(shí)實(shí)現(xiàn)，所以必須調(diào)整 L 在方差和偏差之間進(jìn)行折衷 [18]。這樣得到的均值，其方差將是用一組數(shù)據(jù) 得 到的均值的方差的 1/L。因此提出了周期圖的改進(jìn)方法 ： 周期圖改進(jìn)的方法之一是將長(zhǎng)度為 N 的序列 )(nx 乘以同一長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)窗)(nw 。 對(duì)于高斯白噪聲的特殊情況， 22 )(),()( xxxxxx fPkkr ??? ?? ，結(jié)果為 : )()](?[ 2 fPfPE xxxP E R ?? ? 對(duì)于白噪聲情況，即使有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖也是無(wú)偏的。（ 31）式所定義的相關(guān)函數(shù)取傅立葉變換求功率譜估計(jì)時(shí)，在計(jì)算上有某些方便之處，以后的討論中，如不作特別申明，將采用這種有偏估計(jì)表示式求相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式。 ????? ??? M Mn xM nxEnxM ?)}({)(12 1l i m ????? ????? M Mn xxM krknxnxEknxnxM )()]()(*[)()(*12 1l i m 實(shí)際所能得到的隨機(jī)序列的樣本數(shù)總是有限的，由有限個(gè)樣本通過(guò)某種運(yùn)算求出的序列的均值和自相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值叫做它們的估計(jì)值。它的自相關(guān)函數(shù)為： )(kryy )()()( * krkhkh xx???? )()*1(*)()( zPzHzHzP xxyy ? 若 )(nh 為實(shí)系統(tǒng)，則 )1()*1(* zHzH ? 。 由自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的定義，不難得出它們的一些基本性質(zhì)，主要有： 當(dāng) )}({ nx 為復(fù)序列時(shí)， )(*)( krkr xxxx ?? ；若 )}({ nx 為實(shí)序列，則相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即 )()( krkr xxxx ?? 。 進(jìn)一步地 , 可以證明：只要相應(yīng)的總體矩存在，矩估計(jì)必定是相合估計(jì)。 E???? 稱為 ?? 估計(jì)量的偏差。 8 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：設(shè) ??Xt為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為 ? ?xxR ?，自協(xié)方差函數(shù) ? ?xxC ? ，則它們有如下性質(zhì)： （ 1） 0?? 時(shí)的自相關(guān)函數(shù)等 于均方差，自協(xié)方差函數(shù)等于方差， 即 ? ? ? ?xxRR???? ? ? 20xx xCQ? (2) 當(dāng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是實(shí)函數(shù)時(shí)，其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即： ? ? ? ?xxRR???? ? ? ? ?xxCC???? (3) τ =0時(shí)的自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最大值，即 ? ? ? ?0xx xxRR??? ? ? ? ?0xx xxCC?? (4) 若 X(t)=X(t+T)，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期為 T的周期函數(shù)，即 ? ? ? ?xx xxR R T???? ? ? ? ?xx xxC C T???? (5) 若均值 m0x? ，當(dāng) ??? 時(shí)， ??Xt與 ? ?Xt?? 相互獨(dú)立，有 ? ?lim 0xxx R ??? ? ，即對(duì)于零均值的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)時(shí)間間隔τ很大時(shí)， ??Xt與 ? ?Xt?? 相互獨(dú)立，互不相關(guān)。 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及方差與 t 無(wú)關(guān)，它的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔 12tt???有關(guān)；隨機(jī)過(guò)程的這種“平穩(wěn)”數(shù)字特征，有時(shí)就直接用來(lái)判斷隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)。 自相關(guān)函數(shù)即為隨機(jī)過(guò)程兩不同時(shí)刻之值的相關(guān)性，又稱二階矩。 設(shè) E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) , 樣本空間是 ??e?? ，設(shè) ? ?X X e? 和 ? ?Y Y e? 是定義在Ω上的隨機(jī)變量， 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 ? ?,XY 叫做二維隨機(jī)向量或二維 隨機(jī)變量。例如某地區(qū)男性健康成人的身長(zhǎng)值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉(zhuǎn)氨酶測(cè)定值等。例如某一時(shí)間內(nèi)公共汽車站等車乘客人數(shù)，電話交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)等等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。例如，當(dāng)我們要了解某一系統(tǒng)的幅頻特性 ? ?Hw時(shí)，可用一白色噪聲通過(guò)該系統(tǒng)，再?gòu)脑撓到y(tǒng)的輸出樣本估計(jì)功率譜密度，故通過(guò)估計(jì)輸出信號(hào)的 PSD，可以估計(jì)出系統(tǒng)的頻率特性。另外，經(jīng)典譜估計(jì)的功率譜定義中既無(wú)求均值運(yùn)算又無(wú)求極限運(yùn)算，因而使得譜估計(jì)的方差性能較差，當(dāng)數(shù)據(jù)很短時(shí)，這個(gè)問(wèn)題更為突出，如何選取最佳窗函數(shù)、提高頻率分辨率，如何在數(shù)據(jù)情況下提高信號(hào)譜估計(jì)質(zhì)量，還需要進(jìn)一步研究 [10]。 周期圖法與相關(guān)法相比，相關(guān)法在求相關(guān)函數(shù)時(shí)將有限長(zhǎng)序列以外的數(shù)據(jù)看做是零，因此相關(guān)法認(rèn)為除有限長(zhǎng)序列外 ??xn是全零序列，這種處理方法顯然和周期法不一樣。功率譜反應(yīng)了單位頻帶內(nèi)隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)樣本信號(hào)來(lái)對(duì)該隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)做出估計(jì)。其中周期圖法和 AR 模 型法是用得較多且最具代表性的方法。 Yule在 1927 年提出了用線性回歸方程來(lái)模擬一個(gè)時(shí)間序列，從而發(fā)現(xiàn)隱含在該時(shí)間序列中的周期 ,從而發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代譜估計(jì)中最重要的方法 —— 參數(shù)模型法。 1 緒論 功率譜估計(jì)的發(fā)展 ........................................... 0 功率譜估計(jì)的方法 ........................................... 0 功率譜估計(jì)的提出 ........................................... 1 經(jīng)典譜估計(jì) ................................................. 1 現(xiàn)代譜估計(jì) ................................................. 2 功率譜估計(jì)應(yīng)用及用途 ....................................... 3 2 譜估計(jì)中的變量 隨機(jī)信號(hào)簡(jiǎn)介 ............................................... 4 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) ............................................... 6 估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo) 準(zhǔn) ......................................... 9 3 經(jīng)典功率譜估計(jì) 譜估計(jì)與相關(guān)函數(shù) .......................................... 11 周期圖法 ................................................. 15 自相關(guān)法 ................................................. 17 直接法和間接法的關(guān)系 ...................................... 17 譜估計(jì)仿真與比較 .......................................... 18 本章小結(jié) ................................................. 25 4 現(xiàn)代譜估計(jì) 平穩(wěn)隨機(jī) 信號(hào)的參數(shù)模型 ..................................... 27 AR 模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算 ................................ 28 AR 模型譜估計(jì)的實(shí)現(xiàn)及性質(zhì) .................................. 31 MA 模型譜估計(jì) ............................................. 33 ARMA 模型譜估計(jì) ........................................... 35 小結(jié) ..................................................... 36 4 論文總結(jié) .................................................. 37 參考文獻(xiàn) ..................................................... 38 致 謝 ...................................................... 40 0 1 緒論 功率譜估計(jì)的發(fā)展 功率譜估計(jì)技術(shù)淵源流長(zhǎng)，在過(guò)去的幾十年獲得了飛速的發(fā)展。在實(shí)際應(yīng)用中往往不能獲得具體信號(hào)的表達(dá)式 ,需要根據(jù)有限的數(shù)據(jù)樣本來(lái)獲得較好的譜估計(jì)效果，因而譜估計(jì)被廣泛的應(yīng)用于各種信號(hào)處理中 [1]。 “譜”最早是由英國(guó)科學(xué)家牛頓提出來(lái)的，后來(lái)法國(guó)工程師傅里葉提出了著名的傅里葉諧波分析理論，該理論至今仍然是我們進(jìn)行信號(hào)分析和處理的理論基礎(chǔ)。之后又陸續(xù)提出了 Wienerkhintchine 定理 、譜估計(jì)自相關(guān)法 BT 法等。從信號(hào)的特征來(lái)分，在這之前所說(shuō)的方法都是對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)而言，其譜分量不隨時(shí)間變化，對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其譜是時(shí)變的，近 20 年來(lái)，以 wigner 分析為代表的時(shí)域分析引起了人們的廣泛興趣，形成了現(xiàn)代譜估計(jì)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域。周期圖法包含了下列二條假設(shè)： 認(rèn)為隨機(jī)序列是廣義平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的，可以用其一個(gè)樣本 ??xn中的一段來(lái)估計(jì)該隨機(jī)序列 ??Xn的功率譜 ,這當(dāng)然必帶來(lái)誤差。其又有以下幾種方法： 法 Bartlett 平均周期圖的方法是將 N 點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列 ??xn分段求周期圖再平